espacios vectoriales, Apuntes de Álgebra

¡Descarga espacios vectoriales y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!

40 – Matem´aticas I

Parte II

Algebra Lineal

41 – Matem´aticas I : Algebra Lineal´

Tema 4

Espacios vectoriales reales

4.1 Espacios vectoriales

Definici´on 88.- Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre de “suma de vectores” y otra que recibe el nombre de “producto de vectores por n´umeros reales” o “producto por escalares”, que verifican las siguientes propiedades:

(1) u + v ∈ V ; ∀ u, v ∈ V.

(2) u + v = v + u ; ∀ u, v ∈ V.

(3) u + (v + w ) = (u + v ) + w ; ∀ u, v , w ∈ V.

(4) Existe un vector, llamado vector cero y denotado por 0 , tal que: 0 + u = u + 0 = u ; ∀ u ∈ V.

(5) Para cada u ∈ V , existe un vector de V , llamado opuesto de u y denotado por −u , tal que u + (−u) = 0.

(6) k u ∈ V ; ∀ k ∈ IR y ∀ u ∈ V.

(7) k(u + v ) = k u + k v ; ∀ k ∈ IR y ∀ u, v ∈ V.

(8) (k + l)u = k u + l u ; ∀ k, l ∈ IR y ∀ u ∈ V.

(9) (kl)u = k(l u); ∀ k, l ∈ IR y ∀ u ∈ V.

(10) 1 u = u ; ∀ u ∈ V.

Por ser los escalares de IR , se dice que V es un IR -espacio vectorial. Se pueden considerar espacios vectoriales sobre otros cuerpos de escalares, como C.

Ejemplo Los conjuntos IRn^ , los conjuntos de polinomios Pn[X] = {P (X) ∈ IR[X] : gr(P ) ≤ n} y los conjuntos de matrices reales Mm×n = {matrices de tama˜no m×n}, con las operaciones usuales en cada uno de ellos, son espacios vectoriales reales.

Propiedades 89.- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:

(i) 0 u = 0. (ii) k 0 = 0. (iii) (−1)u = −u.

(iv) k u = 0 ⇐⇒ k = 0 ´o u = 0.

(v) El vector cero de un espacio vectorial es ´unico.

(vi) El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es ´unico. (^).

4.2 Subespacios vectoriales

Definici´on 90.- Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio vectorial de V , si W es un espacio vectorial con las operaciones definidas en V.

Como W ⊆ V , todos los vectores de W verifican las propiedades 2 a 5 y 7 a 10, por tanto es suficiente probar que las operaciones suma y producto por escalares son internas en W , es decir, que se verifican las propiedades (1) y (6) en W :

( 1 ∗^ ) u + v ∈ W ; ∀ u, v ∈ W ( 6 ∗^ ) k u ∈ W ; ∀ u ∈ W y ∀ k ∈ IR

43 – Matem´aticas I : Algebra Lineal´ 4.3 Base y dimensi´on

Observaci´on: El comentario anterior a esta definici´on nos indica la manera de reducir un conjunto generador del espacio a una base. Igualmente, podemos construir una base a partir de un conjunto linealmente independiente de vectores: si S es linealmente independiente y lin S 6 = V , tomando v ∈ V pero que v ∈/ lin S , el conjunto S ∪ {v } es linealmente independiente (ver el Lema 96 siguiente); y as´ı, se a˜naden vectores a S hasta generar V.

Lema 96.- Si S es un conjunto linealmente independiente de vectores de V y v ∈ V −lin S , entonces S∪{v } es linealmente independiente. (^).

De cierta forma, estamos diciendo que una base tiene el menor n´umero posible de generadores y el mayor n´umero posible de vectores linealmente independientes (ver Lema 97 siguiente); luego ¿no tendr´a una base un n´umero fijo de vectores? La respuesta la proporciona el Teorema de la base.

Lema 97.- Sean V un espacio vectorial y B una base de V formada por n vectores. Entonces cualquier conjunto {v 1 , v 2 ,... , vm } de vectores de V, con m > n, es linealmente dependiente. (^).

Teorema de la base 98.- Cualesquiera dos bases de un espacio vectorial tienen el mismo n´umero de elementos.

Demostraci´on: La demostraci´on es muy sencilla si tenemos en cuenta el Lema anterior, pues si B 1 es una base de n elementos y B 2 es una base de m elementos, por ser B 1 base y B 2 linealmente independiente, m 6 > n y por ser B 2 base y B 1 linealmente independiente n 6 > m, luego n = m.

Definici´on 99.- Un espacio vectorial V se dice de dimensi´on finita si tiene un conjunto finito de vectores que forman una base, y llamaremos dimensi´on de V , dim V , al n´umero de vectores de cualquier base de V. Al espacio vectorial V = { 0 } le consideramos de dimensi´on finita, de dimensi´on cero, a´un cuando no tiene conjuntos linealmente independientes. Si no existe un conjunto finito de este tipo, se dice que V es de dimensi´on infinita (y no nos son ajenos pues IR[X] es un espacio vectorial de dimensi´on infinita).

Ejemplo P 2 [X] = {P (X) ∈ IR[X] : gr(P ) ≤ 2 } tiene dimensi´on 3, pues B = { 1 , X, X^2 } forman una base. En general, dim(Pn[X]) = n + 1 y B = { 1 , X,... , Xn} es una base suya.

Ejemplo 100 Los conjuntos IRn^ = IR × IR × · · · × IR = {(x 1 ,... , xn) : xi ∈ IR, ∀ i} con las operaciones habituales de suma y producto por escalares

x + y = (x 1 ,... , xn) + (y 1 ,... , yn) = (x 1 + y 1 ,... , xn + yn) λx = λ(x 1 ,... , xn) = (λx 1 ,... , λxn)

son espacios vectoriales con dim IRn^ = n, ya que cualquier vector x ∈ IRn^ puede escribirse de la forma

x = (x 1 , x 2 ,... , xn) = x 1 (1, 0 ,... , 0) + x 2 (0, 1 ,... , 0) + · · · + xn(0, 0 ,... , 1)

y este conjunto de vectores

B =

e 1 = (1, 0 ,... , 0), e 2 = (0, 1 ,... , 0),... , en = (0, 0 ,... , 1)

es linealmente independiente. A esta base se la denomina base can´onica de IRn^. (^4)

Conocer a priori la dimensi´on de un espacio facilita la obtenci´on de bases: Proposici´on 101.- Si V es un espacio vectorial, con dim V = n. Entonces, un conjunto de n vectores de V es base de V , a) si el conjunto es linealmente independiente, o b) si genera a^ V^.^.

4.3.1 Coordenadas en una base

Definici´on 102.- Sean V un espacio vectorial de dimensi´on finita y B = {v 1 , v 2 ,... , vn } una base de V. Para cada vector v ∈ V , se llaman coordenadas de v en la base B a los n ´unicos n´umeros reales c 1 , c 2 ,... , cn tales que v = c 1 v 1 + c 2 v 2 + · · · + cn vn. Fijando un orden para los vectores de la base, el vector de IRn^ , de las coordenadas de v en B se denota por (v )B = (c 1 , c 2 ,... , cn) y m´as usualmente por [v ]B cuando lo escribimos como vector columna en las operaciones con matrices: [v ]B = (c 1 , c 2 ,... , cn)t^.

44 – Matem´aticas I : Algebra Lineal´ 4.3 Base y dimensi´on

Ejemplo Si B = {v 1 , v 2 , v 3 } es una base de V y v = v 1 − v 2 + 2v 3 , se tiene que (v )B = (1, − 1 , 2) (v 1 )B = (1, 0 , 0) (v 2 )B = (0, 1 , 0) (v 3 )B = (0, 0 , 1)

o tambi´en

[v]B =

 (^) [v 1 ]B =

 (^) [v 2 ]B =

 (^) [v 3 ]B =

Nota: Al usar vectores de coordenadas, es imprescindible mantener el orden de los vectores. Si, en el ejemplo anterior, tomamos como base B 1 = {v 2 , v 3 , v 1 }, tenemos que (v )B 1 = (− 1 , 2 , 1) que es un vector de coordenadas distinto de (v )B = (1, − 1 , 2).

Fijada una base, la unicidad de las coordenadas asigna a cada vector de V un ´unico vector de IRn^ , de manera que disponer de las coordenadas es, en el fondo, disponer del vector. Adem´as, se cumple (ver ejercicio 4.14):

[v + w ]B = [v ]B + [w ]B y [λv ]B = λ[v ]B , luego [λ 1 v 1 +· · ·+λn vn ]B = λ 1 [v 1 ]B + · · · + λn[vn ]B

y con esto, no es dificil probar que:

v ∈ lin{v 1 ,... , vk} ⊆ V ⇐⇒ [v]B ∈ lin{[v 1 ]B ,... , [vk]B } ⊆ IRn {v 1 ,... , vk} lin. independiente en V ⇐⇒ {[v 1 ]B ,... , [vk]B } lin. independiente en IRn {v 1 ,... , vn} base de V ⇐⇒ {[v 1 ]B ,... , [vn]B } base de IRn

por lo que se puede trabajar sobre las coordenadas en lugar de sobre los vectores.

4.3.2 Espacios de las filas y las columnas de una matriz

De lo anterior, tenemos que independientemente del espacio vectorial en que nos encontremos, fijada una base, podemos trasladar todo el trabajo operativo sobre los vectores de IRn^ ; por lo que resulta muy interesante conocer esta secci´on.

Definici´on 103.- Consideremos la matriz Am×n =

a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n .. .

am 1 am 2... amn

Los m vectores de IRn^ : r 1 = (a 11 ,... , a 1 n), r 2 = (a 21 ,... , a 2 n),... , rm = (am 1 ,... , amn), se denominan vectores fila de A y al subespacio lineal generado por ellos, Ef (A) = lin{r 1 , r 2 ,... , rm }, espacio de las filas de A. Por supuesto Ef (A) ⊆ IRn^. Los n vectores de IRm^ : c 1 = (a 11 ,... , am 1 ), c 2 = (a 12 ,... , am 2 ),... , cn = (a 1 n,... , amn), se denominan vectores columna de A y el subespacio lineal generado por ellos, Ec(A) = lin{c 1 , c 2 ,... , cn }, espacio de las columnas de A. Por supuesto Ec(A) ⊆ IRm^.

Proposici´on 104.- Si A es una matriz de tama˜no m×n, entonces las operaciones elementales sobre las filas (resp. columnas) de A no cambian el espacio de las filas (resp. columnas) de A.

Demostraci´on: Puesto que hacer operaciones elementales sobre las filas es hacer combinaciones lineales de los vectores fila, el subespacio lineal generado es el mismo. (Igual para las columnas.)

Corolario 105.- Sea A una matriz, entonces:

a) Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz A, forman una base de Ef (A).

b) Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz At^ , forman una base de Ec(A).

Demostraci´on: Basta probar que los vectores no nulos de una forma escalonada son linealmente independientes, pero eso se comprueba f´acilmente ya que debajo de cada elemento principal s´olo hay ceros.

46 – Matem´aticas I : Algebra Lineal´ 4.5 Espacios vectoriales con producto interior

Ejemplo Consideremos las bases B = { 1 , X, X^2 } y B 1 = {X − 1 , X + 1, X^2 − 1 } de P 2 [X]. La matriz de paso de la base B 1 a la base B ser´a:

P =

[X − 1]B [X + 1]B [X^2 − 1]B

 (^) y P −^1 =

− 1 2

1 2

− 1 1 2 2

1 2

1 2 0 0 1

la matriz de paso de B a B 1.

Ejemplo Consideremos en IR^3 la base can´onica Bc = {e 1 = (1, 0 , 0), e 2 = (0, 1 , 0), e 3 = (0, 0 , 1)} y la base B 1 = {v 1 = (1, 0 , −1), v 2 = (2, − 1 , 1), v 3 = (0, − 1 , 1)}. Como v 1 = 1(1, 0 , 0) + 0(0, 1 , 0) − 1(0, 0 , 1) = e 1 − e 3 , se tiene que (v 1 )Bc = (1, 0 , −1); y lo mismo para los otros vectores, luego la matriz de paso de la base B 1 a la base Bc ser´a:

P =

[v 1 ]Bc [v 2 ]Bc [v 3 ]Bc

 (^) y P −^1 =

− 1

la matriz de paso de la base Bc a la base B 1. (^4)

Nota: A la vista del ejemplo anterior, obtener las coordenadas de un vector de IRn^ en la base can´onica de IRn es inmediato, pues (x)Bc = x. Pero ¡ciudado!, al trabajar con vectores de IRn^ no hay que confundir el vector con las coordenadas en una base, pues la igualdad anterior ´unicamente es cierta en la base can´onica.

4.5 Espacios vectoriales con producto interior

4.5.1 Producto interior. Norma. Distancia

Definici´on 109.- Un producto interior en un espacio vectorial real V es una funci´on que a cada par de vectores u, v ∈ V le asocia un n´umero real, que denotaremos por 〈u, v 〉, de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades:

1.- 〈u, v 〉 = 〈v , u〉; ∀ u, v ∈ V.

2.- 〈u + v , w 〉 = 〈u, w 〉 + 〈v , w 〉; ∀ u, v , w ∈ V.

3.- 〈k u, v 〉 = k〈u, v 〉; ∀ u, v ∈ V y ∀ k ∈ IR.

4.- 〈u, u〉 ≥ 0; ∀ u ∈ V y 〈u, u〉 = 0 ⇐⇒ u = 0.

Otra propiedades que se deducen de las anteriores son:

1.- 〈 0 , u〉 = 0 2.- 〈u, v + w 〉 = 〈u, v 〉 + 〈u, w 〉 3.- 〈u, k v 〉 = k〈u, v 〉

Ejemplo Considerar en P 2 [X], la funci´on 〈P (X), Q(X)〉 = P (1)Q(1) + P ′(1)Q′(1) + P ′′(1)Q′′(1).

(1) 〈P (X), Q(X)〉 = P (1)Q(1) + P ′(1)Q′(1) + P ′′(1)Q′′(1) = Q(1)P (1) + Q′(1)P ′(1) + Q′′(1)P ′′(1) = 〈Q(X), P (X)〉

(2) 〈P (X) + R(X), Q(X)〉 =

P (1) + R(1)

Q(1) +

P ′(1) + R′(1)

Q′(1) +

P ′′(1) + R′′(1)

Q′′(1)

P (1)Q(1)+P ′(1)Q′(1)+P ′′(1)Q′′(1)

R(1)Q(1)+R′(1)Q′(1)+R′′(1)Q′′(1)

= 〈P (X), Q(X)〉 + 〈R(X), Q(X)〉

(3) 〈kP (X), Q(X)〉 = kP (1)Q(1) + kP ′(1)Q′(1) + kP ′′(1)Q′′(1)

= k

P (1)Q(1) + P ′(1)Q′(1) + P ′′(1)Q′′(1)

= k〈P (X), Q(X)〉

47 – Matem´aticas I : Algebra Lineal´ 4.5 Espacios vectoriales con producto interior

(4) 〈P (X), P (X)〉 = P (1)P (1) + P ′(1)P ′(1) + P ′′(1)P ′′(1) =

P (1)

P ′(1)

P ′′(1)

Y, se da la igualdad si y s´olo si, P (1) = P ′(1) = P ′′(1) = 0. Entonces, sea P (X) = a + bX + cX^2 , de donde P ′(X) = b + 2cX y P ′′(X) = 2c; de las igualdades se tiene:

P (1) = P ′(1) = P ′′(1) = 0 ⇐⇒

a + b + c = 0 b + 2c = 0 2 c = 0

⇐⇒ a = b = c = 0 ⇐⇒ P (X) = 0.

Luego tenemos un producto interno definido en P 2 [X]. (^4)

A partir de un producto interior sobre un espacio V se definen los conceptos de norma, distancia y ´angulo.

Definici´on 110.- Si V es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma (o longitud o m´odulo) de un vector v ∈ V se denota mediante ‖v ‖ y se define como

‖v ‖ = +

〈v , v 〉.

La distancia entre dos vectores u y v de V se denota mediante d(u, v ) y se define como

d(u, v ) = ‖u − v ‖ = +

〈u − v , u − v 〉.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz 111.- Para todo u, v ∈ V, espacio con producto interior, se tiene

〈u, v〉^2 ≤ ‖u‖^2 ‖v‖^2 o en la forma |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖. (^).

Propiedades b´asicas de la norma 112.-

1.- ‖u‖ ≥ 0; ∀ u ∈ V

2.- ‖u‖ = 0 ⇐⇒ u = 0

3.- ‖k u‖ = |k| ‖u‖; ∀ u ∈ V y ∀ k ∈ IR

4.- ‖u + v ‖ ≤ ‖u‖+‖v ‖; ∀ u, v ∈ V

Propiedades b´asicas de la distancia 113.-

1.- d(u, v ) ≥ 0; ∀ u, v ∈ V

2.- d(u, v ) = 0 ⇐⇒ u = v

3.- d(u, v ) = d(v , u); ∀ u, v ∈ V

4.- d(u, v ) ≤ d(u, w )+d(w , v ); ∀ u, v , w ∈ V

La prueba de estas propiedades es an´aloga a la de las propiedades del m´odulo colplejo.

Observaci´on: Sean V un espacio con producto interior y B = {u 1 ,... , un } una base de V. Tomemos dos vectores v = a 1 u 1 + · · · + an un y w = b 1 u 1 + · · · + bn un , entonces

〈v, w〉 = 〈a 1 u 1 + · · · + anun, w〉 = a 1 〈u 1 , w〉 + · · · + an〈un, w〉 = a 1 〈u 1 , b 1 u 1 + · · · + bnun〉 + · · · + an〈un, b 1 u 1 + · · · + bnun〉 = a 1 〈u 1 , u 1 〉b 1 + · · · + a 1 〈u 1 , un〉bn + · · · + an〈un, u 1 〉b 1 + · · · + an〈un, un〉bn

a 1 · · · an

〈u 1 , u 1 〉 · · · 〈u 1 , un〉 .. .

〈un, u 1 〉 · · · 〈un, un〉

b 1 .. . bn

 = (v)B QB [w]B = [v]tB QB [w]B

luego, fijada una base, un producto interior se puede obtener a partir de las coordenadas en la base. La matriz QB obtenida se denomina matriz de Gram o matriz m´etrica. Por las propiedades del producto interior, QB es sim´etrica y los elementos de la diagonal positivos.

4.5.1.1 El espacio eucl´ıdeo n -dimensional IRn

Definici´on 114.- Sobre el espacio vectorial IRn^ definimos la funci´on que a cada x, y ∈ IRn^ le asocia

〈x, y 〉 = x · y = (x 1 ,... , xn) · (y 1 ,... , yn) = x 1 y 1 + · · · + xnyn =

∑n i=

xiyi

Como puede comprobarse f´acilmente dicha funci´on es un producto interior, el que se conoce como producto interior eucl´ıdeo o producto escalar eucl´ıdeo (ya usado en IR^2 y IR^3 ). Este producto interior da lugar a la norma y distancia eucl´ıdeas, ya conocidas: ‖x‖ =

x^21 + · · · + x^2 n y d(x, y ) = ‖x − y ‖ =

(x 1 − y 1 )^2 + · · · + (xn − yn)^2. Se llama espacio eucl´ıdeo n -dimensional a IRn^ con el producto interior eucl´ıdeo.

49 – Matem´aticas I : Algebra Lineal´ 4.6 Ejercicios

Es decir, en una base ortonormal, la obtenci´on de cordenadas puede resultar m´as sencilla. Pero no s´olo eso, si no que tambi´en se tiene:

Teorema 122.- Si P es la matriz de paso de una base ortonormal B 1 a otra base ortonormal B 2 , entonces P es una matriz ortogonal (es decir, P −^1 = P t^ ).

La prueba es puramente operativa, usando la definici´on de matriz de paso y el apartado b) del ejercicio 4. (ver tambi´en el ejercicio 4.29).

Definici´on 123.- Sean V un espacio vectorial con producto interior, W subespacio de V y B = {w 1 , w 2 ,... , wk } una base ortonormal de W. Para cada v ∈ V , llamaremos proyecci´on ortogonal de v sobre W al vector de W ProyW (v ) = 〈v , w 1 〉w 1 + 〈v , w 2 〉w 2 + · · · + 〈v , wk 〉wk. Al vector v −ProyW (v ) se le llama componente ortogonal de v sobre W.

El vector proyecci´on ortogonal no depende la base ortonormal elegida, es decir, tomando cualquier base ortonormal se obtiene el mismo vector. La prueba puede encontrarse en el Anexo 1, p´ag. 49, tras la demostraci´on del Lema 124 siguiente.

Lema 124.- Sean V un espacio vectorial con producto interior, W un subespacio de V y B una base orto- normal de W. Entonces para cada v ∈ V , el vector v − ProyW (v ) es ortogonal a W. (^).

Proceso de ortonormalizaci´on de Gram-Schmidt 125.- Sean V un espacio vectorial con producto interior y de dimensi´on finita. Vamos a describir este proceso que construye a partir de una base B = {v 1 , v 2 ,... , vn } una base ortonormal B∗^ = {u 1 , u 2 ,... , un }.

Demostraci´on:

1 a^ etapa.- Como v 1 6 = 0 por ser de B , el vector u 1 =

v 1 ‖v 1 ‖

tiene norma 1 y lin{u 1 } = lin{v 1 }.

2 a^ etapa.- Sea W 1 = lin{u 1 }, por el Lema anterior, el vector v 2 − ProyW 1 (v 2 ) es ortogonal a W 1 , en particular a u 1 , y es distinto del vector 0 pues ProyW 1 (v 2 ) ∈ W 1 y v 2 ∈/ W 1 = lin{v 1 }, entonces tiene que

u 2 =

v 2 − ProyW 1 (v 2 ) ∥ ∥v 2 − ProyW 1 (v^2 )

∥ =^

v 2 − 〈v 2 , u 1 〉u 1 ‖v 2 − 〈v 2 , u 1 〉u 1 ‖

∈ lin{v 1 , v 2 }

es ortogonal a u 1 y tiene norma 1. Adem´as, lin{u 1 , u 2 } = lin{v 1 , v 2 }. 3 a^ etapa.- Sea ahora W 2 = lin{u 1 , u 2 }, como antes, el vector v 3 − ProyW 2 (v 3 ) es ortogonal a W 2 , en particular a u 1 y u 2 , y es distinto del vector 0 , pues ProyW 2 (v 3 ) ∈ W 2 y v 3 ∈/ W 2 = lin{v 1 , v 2 }, entonces se tiene que

u 3 =

v 3 − ProyW 2 (v 3 ) ∥ ∥v 3 − ProyW 2 (v^3 )

∥ =^

v 3 − 〈v 3 , u 1 〉u 1 − 〈v 3 , u 2 〉u 2 ‖v 3 − 〈v 3 , u 1 〉u 1 − 〈v 3 , u 2 〉u 2 ‖ ∈ lin{v 1 , v 2 , v 3 }

es ortogonal a u 1 y u 2 , y tiene norma 1. Adem´as, lin{u 1 , u 2 , u 3 } = lin{v 1 , v 2 , v 3 }. n a^ etapa.- Con la repetici´on del proceso se ha construido un conjunto ortonormal de n vectores no nulos, B∗^ = {u 1 , u 2 ,... , un }, tal que lin B∗^ = lin B = V. Luego B∗^ es una base ortonormal de V.

4.6 Ejercicios

4.1 Determinar si son espacios vectoriales los siguientes conjuntos:

a) IR^2 con las operaciones: (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′) y k(x, y) = (2kx, 2 ky). b) A = {(x, 0) : x ∈ IR} con las operaciones usuales de IR^2. c) IR^2 con las operaciones: (x, y) + (x′, y′) = (x + x′^ + 1, y + y′^ + 1) y k(x, y) = (kx, ky). d) El conjunto de los n´umeros reales estr´ıctamente positivos, IR+^ −{ 0 }, con las operaciones: x+x′^ = xx′ y kx = xk^.

50 – Matem´aticas I : Algebra Lineal´ 4.6 Ejercicios

4.2 ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de IR^3 ´o IR^4?

a) {(a, 1 , 1) ∈ IR^3 : a ∈ IR} ⊆ IR^3 b) {(a, b, c) ∈ IR^3 : b = a + c} ⊆ IR^3 c) {(a, b, c, d) ∈ IR^4 : a + 2d = 7} ⊆ IR^4 d) {(a, b, c, d) ∈ IR^4 : ba = 0} ⊆ IR^4

4.3 Sean v 1 = (2, 1 , 0 , 3), v 2 = (3, − 1 , 5 , 2) y v 3 = (− 1 , 0 , 2 , 1) vectores de IR^4. ¿Cu´ales de los vectores (2, 3 , − 7 , 3), (0, 0 , 0 , 0), (1, 1 , 1 , 1) y (− 4 , 6 , − 13 , 4), est´an en lin{v 1 , v 2 , v 3 }?

4.4 ¿Para qu´e valores reales de λ los vectores v 1 = (λ, − 21 , − 21 ) v 2 = ( − 21 , λ, − 21 ) y v 3 = ( − 21 , − 21 , λ) forman un conjunto linealmente dependiente en IR^3?

4.5 Dados tres vectores linealmente independientes u , v y w , demostrar que u + v , v + w y w + u son tambi´en linealmente independientes.

4.6 Sea V un espacio vectorial y S = {v 1 ,... , vk } un conjunto de vectores de V. Probar que:

a) lin S es un subespacio vectorial de V. b) Si W es un subespacio de V que contiene a los vectores de S , entonces lin S ⊆ W.

4.7 Probar que si los vectores v 1 ,... , vk son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir como una combinaci´on lineal de los restantes.

4.8 Determinar la dimensi´on de los siguientes subespacios de IR^4 :

a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, 0). b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con d = a + b y c = a − b. c) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con a = b = c = d.

4.9 Demostrar que los vectores soluci´on de un sistema no homog´eneo compatible, AX = B , de m ecuaciones con n inc´ognitas no forman un subespacio de IRn^. ¿Qu´e ocurre si el sistema es homog´eneo, es decir, si B = 0?

4.10 Sean E y F subespacios de un espacio V. Probar que: E ∩ F = {v ∈ V : v ∈ E y v ∈ F } es un subespacio de V.

4.11 Considerar en IR^4 los conjuntos de vectores:

A = {(1, 2 , − 1 , 3), (0, 1 , 0 , 3)} B = {(1, − 1 , 1 , 0), (2, 3 , 1 , 2), (0, 0 , 0 , 1)}

a) Hallar las dimensiones de lin(A) y de lin(B), y encontrar una base b) Hallar las ecuaciones param´etricas de lin(A) y de lin(B). c) Hallar las ecuaciones cartesianas de lin(A) y de lin(B). d) Hallar la dimensi´on de lin(A) ∩ lin(B).

4.12 Consideremos en el espacio vectorial IR^3 la base B = {u 1 , u 2 , u 3 }. Sea E el subespacio engendrado

por los vectores v 1 = u 1 + 3u 3 , v 2 = 2u 1 − 3 u 2 + u 3 , v 3 = 4u 1 − 3 u 2 + 7u 3. Sea F el subespacio engendrado por los vectores w 1 = u 1 + u 2 + u 3 , w 2 = 2u 1 + 3u 2 + 4u 3 , w 3 = 3u 1 + 4u 2 + 5u 3. Hallar una base de E , una base de F , el subespacio E ∩ F y una base de E ∩ F.

4.13 Sea M 2 × 2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre IR y sea E el subconjunto de

M 2 × 2 formado por las matrices de la forma

a b + c −b + c a

con a, b, c ∈ IR.

a) Demostrar que E es un subespacio vectorial.

b) Probar que las matrices A 1 =

, A 2 =

y A 3 =

, forman una base de E.

4.14 Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensi´on n. Demostrar que el conjunto {v 1 , v 2 ,... , vn }

es una base de V si, y s´olo si el conjunto {[v 1 ]B , [v 2 ]B ,... , [vn ]B } es una base de IRn^.

52 – Matem´aticas I : Algebra Lineal´ 4.6 Ejercicios

4.28 Dados los vectores x = (x 1 , x 2 , x 3 ) e y = (y 1 , y 2 , y 3 ) de IR^3 , demostrar que la expresi´on 〈x, y 〉 = 2 x 1 y 1 + 2x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 1 y 2 + x 2 y 1 define un producto interior. Encontrar una base {u 1 , u 2 , u 3 } ortonormal respecto al producto interior anterior tal que u 2 y u 3 tengan igual direcci´on y sentido que los vectores (0, 1 , 0) y (0, 0 , 1), respectivamente.

4.29 Probar que una matriz A de orden n es ortogonal si, y s´olo si sus vectores fila forman un conjunto

ortonormal en IRn^.