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Cap´ıtulo 2
Espacios vectoriales
2.1. Primeras definiciones
Definici´on 2.1 Sea V 1 un conjunto y K = R o C. Se dice que V es un espacio vectorial (e.v.) sobre el cuerpo K, si dadas las operaciones
- : V × V → V (operaci´on interna) (x, y) x + y · : K × V → V (operaci´on externa) (α, x) αx
se satisfacen las siguientes propiedades
(V, +) asociativa, conmutativa, elemento neutro y elemento opuesto.
i. (α + β)u = αu + βu, ∀α, β ∈ K ∀u ∈ V ii. α(u + v) = αu + αv, ∀α ∈ K ∀u, v ∈ V iii. (αβ)u = α(βu), ∀α, β ∈ K ∀u ∈ V iv. (1Ku) = u, ∀u ∈ V (^1) Ser´an por ejemplo vectores, matrices o polinomios
A los elementos de V se les llama vectores y a los elementos de K escalares.
Ejemplo 2.1 Algunos ejemplos los encontramos en los vectores de Rn, en el conjunto de las matrices Mn×m(K) y el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n, que lo denotaremos Pn[x].
Proposici´on 2.1 Un subconjunto L ⊆ V con V e.v. se dice que es un subespacio vectorial de V si
i. u + v ∈ L ∀u, v ∈ L ii. αu ∈ L ∀α ∈ K, ∀u ∈ L
o equivalentemente αu + βv ∈ L ∀α, β ∈ K, ∀u, v ∈ L
Nota 2.1 Una condici´on necesaria para que un conjunto L ⊆ V sea subespacio vectorial es que OV ∈ L.
Ejercicio 2.1 Probar que los siguientes conjuntos son subespacios de los espacios indi- cados.
- L = {(x, 0) | x ∈ R} de V = R^2
- L = {(x, 0) | x ∈ R} ∪ {(0, y) | x ∈ R} de V = R^2
- L =
{( (^) a 0 0 a
| a ∈ R
de M 2 (R)
- L = {a + ax | a ∈ R} de P 1 [x].
Nota 2.2 Otro ejemplo de espacio vectorial es el de la funciones con operaciones de adici´on y multiplicaci´on por escalares. Algunos subespacios vectoriales suyos los encon- tramos en las funciones continuas, derivables e integrables.
1. L + M = V
2. L ∩ M = OV
En esta situaci´on se dice que V es suma directa de los subespacios L y M , y se representa V = L ⊕ M.
2.1.2. Subespacio engendrado por un conjunto
Proposici´on 2.2 Sea L = {l 1 ,... , ln} un conjunto de vectores. Entonces
< L >=
{ (^) ∑n
i=
αili | αi ∈ K
es un subespacio vectorial y se llama subespacio engendrado o generado por L.
Nota 2.
La proposici´on anterior es muy ´util en la pr´actica para demostrar que un conjunto es un subespacio vectorial. La expresi´on que aparece en (2.1) recibe el nombre de combinaci´on lineal de l 1 ,... , ln. Si S es un subespacio vectorial que contiene a L (L ⊆ S), entonces < L >⊆ S. En otras palabras, < L > es el menor subespacio que contiene a L.
Ejemplo 2.2 Prueba que los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales
- A = {(x, x, y, y, z) | x, y, z ∈ R}
- B = {
( (^) a a b b
| a, b ∈ R}
- C = {a + ax + bx^2 + bx^4 + cx^5 , | a, b, c ∈ R}
Definici´on 2.3 Sean L 1 y L 2 dos conjuntos de vectores. Se dice que son equivalentes si
< L 1 >=< L 2 >
Ejercicio 2.
¿Cu´ales de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales? a) A = {(x, y)| x − y = 0} b) B = {(x, y)| x − y = 1} c) C = {
a b c d
| a + d = 1} d) Los vectores de R^3 cuya primera componente es nula. e)D = {a + bx^2 | a, b ∈ R} f) Los vectores (x, y) tales que xy = 0. g) Los vectores (x, y, z) tales que z − y + 3x = 0. h) E = {
a b c d
| a + b + c + d = 0}. i) F = {a + (2a)x + bx^2 | a, b ∈ R}.
2.2. Sistemas generadores de un espacio vectorial
Definici´on 2.4 Se dice que S = {u 1 ,... , un} ⊆ V es un sistema generador de un espacio vectorial V si < S >= V , es decir, todo elemento de V se puede expresar como combinaci´on lineal de los elementos de S, es decir, si existen^2 α 1 ,... , αn ∈ K tales que
v =
∑^ n i=
αivi ∀v ∈ V (^2) no tienen porqu´e ser ´unicos
2. S =
⊂ M 2 (R)
- S = { 1 , x} ⊂ P 1 [x].
- S = {1 + x, 2 + 2x, 3 + 3x} ⊂ P 1 [x].
Nota 2.5 Supongamos que u 1 ,... , un son linealmente dependientes ∑^ n i=
αiui = OV
donde por ejemplo α 1 ̸= 0K. Entonces u 1 es combinaci´on lineal de u 2 ,... , un ya que
α 1 u 1 = −
∑^ n i=
αiui ⇐⇒ α 1 ̸= 0K
u 1 = −
∑^ n i=
(αi/α 1 )ui.
Definici´on 2.6 Sea S = {u 1 ,... , un} ⊆ V un conjunto de vectores. Se dice que u 1 ,... , un son linealmente independientes o que S es un sistema libre, si la ´unica soluci´on de la ecuaci´on (^) ∑n
i=
αiui = OV (2.3)
es la soluci´on trivial, es decir, α 1 =... = αn = 0K.
Teorema 2.1 (de Steinitz) Sean V un espacio vectorial y S = {u 1 ,... , un} un sistema generador de V. Si {v 1 ,... , vm} son linealmente independientes, entonces m ≤ n.
Ejercicio 2.
- Decir si los vectores {(1, 1 , 2), (1, 2 , 1), (3, 1 , 1)} son linealmente dependientes o independientes.
- Comprobar si los siguientes sistemas de matrices {( 1 0 0 0
son linealmente independientes.
- Determinar el valor que ha de tomar k para que los vectores
{(4, 1 , 2), (5, 2 , 1), (2, k, 4)}
sean linealmente dependientes.
- Se considera el espacio vectorial M 2 (R). Probar que son linealmente dependientes o independientes
- Probar que los polinomios p(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1, q(x) = 2x^3 + x^2 + x + 3 y r(x) = x^2 + 2, son linealmente independientes. ¿Pertenece el polinomio s(x) = −x^3 + 3x^2 + 2 al espacio engendrado por A = {p(x), q(x), r(x)}?
- Si OV ∈ S, ¿puede ser S un sistema libre?
- Dados los vectores v 1 = (− 2 , 5 , 7), v 2 = (3, 5 , −3), v 3 = (0, 5 , 0) y v 4 = (4, − 1 , 2), expresar v 4 como combinaci´on lineal de v 1 , v 2 y v 3.
2.4. Base y dimensi´on de un espacio vectorial
Definici´on 2.7 Un conjunto de vectores linealmente independientes que sean sistema generador de un espacio vectorial se llama base del espacio vectorial.
Proposici´on 2.3 Sea S = {u 1 ,... , un} una base de un espacio vectorial V , entonces todo elemento de V se puede escribir de forma ´unica como combinaci´on lineal de S.
Demostraci´on. Por R.A.
Supongamos lo contrario, es decir, que existe v ∈ V tal que
v =
∑^ n i=
αiui v =
∑^ n i=
βiui
Teorema 2.3 Todas las bases de un mismo espacio vectorial finitamente generado tienen el mismo n´umero de elementos.
Definici´on 2.8 El n´umero com´un de elementos que posee cualquier base de un mismo espacio vectorial V finitamente generado se llama dimensi´on del espacio vectorial y la denotaremos dim(V )
Ejemplo 2.4 Recogemos las dimensiones de algunos de los espacios vectoriales expuestos anteriormente:
dim(R^2 ) = 2 dim(R^3 ) = 3 dim(M 2 (R)) = 4 dim(P 3 [x]) = 4 dim(∅) = 0
Proposici´on 2.4 Sean V un e.v. de dimensi´on n y m > n. El conjunto de vectores {v 1 ,... , vm} son linealmente dependientes para cualesquiera v 1 ,... , vm de V.
Proposici´on 2.5 Si dim(V ) = n y {v 1 ,... , vn} son linealmente independientes, entonces {v 1 ,... , vn} es base de V.
Proposici´on 2.6 Si dim(V ) = n y S = {v 1 ,... , vn} es sistema generador de V , entonces {v 1 ,... , vn} es base de V.
Ejercicio 2.10 Aplicar las Proposiciones 2.5 y 2.6 para probar que
B = {(1, 2 , −1), (0, 1 , 1), (1, − 1 , 1)}
es base de R^3.
Proposici´on 2.7 Sea V un e.v. y L ⊆ V un subespacio vectorial de V. Entonces
dim(L) ≤ dim(V )
Adem´as, si dim(L) = dim(V ) entonces L = V.
Corolario 2.1 Sean V un e.v. y L 1 , L 2 dos subespacios de V. Entonces
dim(L 1 ∩ L 2 ) ≤ m´ın{dim(L 1 ), dim(L 2 )}
Demostraci´on. Se propone como ejercicio.
Teorema 2.4 Sean L y M dos subespacios vectoriales de V. Entonces,
dim(L) + dim(M ) = dim(L + M ) + dim(L ∩ M )
En el caso particular que L y M sean complementarios respecto de V , se tiene
dim(L) + dim(M ) = dim(L + M ) = dim(V )
Ejercicio 2.
- Sea V = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) ∈ R^5 / x 1 − x 2 + x 3 = 0 y x 2 + x 4 + x 5 = 0}. Pro- bar que es subespacio vectorial de R^5 y hallar una base de V.
- Prueba que E =
a b c d
| a = b − 3 c, c = d
es un subespacio vectorial de M 2 (R) y halla su dimensi´on.
- Probar que
B 1 =
1 + x + 2x^2 , 3 − x, 2 x + x^2
y B 2 =
−1 + 2x + x^2 , 3 − x^2 , 1 + x + 2x^2
son bases del espacio vectorial de los polinomios cuadr´aticos P 2 [x].
- Dados S = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ R^4 | x 1 + x 2 + x 3 = 0 y x 1 + x 2 − x 3 = 0} y T = ⟨(1, − 1 , 2 , 1), (1, − 1 , 0 , 1), (2, − 2 , 3 , 1), (1, − 1 , 1 , 2)⟩, se pide a) Demostrar que S es un subespacio vectorial de R^4. Hallar una base y la dimensi´on de S y T.
y adoptaremos la siguiente notaci´on
v(α 1 ,... , αn)B.
Ejercicio 2.
- Comprobar que las coordenadas del vector (2, 3) respecto de las bases can´onicas (BC) y B = {(1, 0), (1, 1)} son (2, 3)BC y (− 1 , 3)B respectivamente.
- Dada la siguiente base de R^3 B = {(1, 1 , 1), (1, 1 , 0), (1, 0 , 0)} calcular las coordenadas del vector u = (3, 3 , 1) respecto de la base B. (Sol: (1, 2 , 0)B )
Nota 2.6 Si B = {e 1 ,... , en} es una base de un e.v., entonces
ei(0,... , 1 ↑ i
Proposici´on 2.8 Las coordenadas de un vector respecto de una base son ´unicas.
Demostraci´on. Este resultado ya fue probado en la proposici´on 2.
2.5.1. Cambio de base
En esta secci´on nos proponemos determinar las coordenadas de un vector v ∈ Rn respecto de una base B 2 = {u 1 ,... , un} cuando se conocen las coordenadas de ese vector v respecto de una base diferente B 1 = {e 1 ,... , en}.
Para resolver este problema planteamos dos posibilidades
Primera posibilidad (Forma directa):
- Calcular v a partir de sus coordenadas respecto de la base B 1 (v =
∑^ n i=
αiei)
- Resolver el sistema v =
∑^ n i=
γiui
Segunda posibilidad (Utilizando las matrices de cambio de base).
Vamos a centrarnos en la segunda opci´on y por sencillez, consideramos el caso par- ticular de n = 2. Sean
e 1 = (e 11 , e 12 ), e 2 = (e 21 , e 22 ), u 1 = (u 11 , u 12 ), u 2 = (u 21 , u 22 ), v = (v 1 , v 2 ).
Usando la definici´on de coordenadas respecto de una base, se tiene
α 1 e 1 + α 2 e 2 = v, γ 1 u 1 + γ 2 u 2 = v,
o equivalentemente
α 1 (e 11 , e 12 ) + α 2 (e 21 , e 22 ) = (v 1 , v 2 ), γ 1 (u 11 , u 12 ) + γ 2 (u 21 , u 22 ) = (v 1 , v 2 ).
Igualando ambas expresiones, se tiene ( e 11 e 21 e 12 e 22
α 1 α 2
u 11 u 21 u 12 u 22
γ 1 γ 2
Y por tanto (^) ( u 11 u 21 u 12 u 22
e 11 e 21 e 12 e 22
α 1 α 2
γ 1 γ 2
La matriz B =
( (^) u 11 u 21 u 12 u 22
)− 1 ( (^) e 11 e 21 e 12 e 22
recibe el nombre de matriz de cambio de base.
En el caso que el espacio sea Rn^ y las bases sean ei = (ei 1 ,... , ein) y ui = (ui 1 ,... , uin) 1 ≤ i ≤ n, entonces la matriz de cambio de base viene dada por
B =
u 11... un 1 ... ... u 1 n... unn
e 11... en 1 ... ... e 1 n... enn
Si las coordenadas de un vector u son XB y XB′ respecto de las bases B y B′, denotaremos por P y Q a las matrices de cambio de base XB = P XB′ , XB′ = QXB. a) Determina la matriz P. ¿Qu´e relaci´on hay entre las matrices P y Q? b) Utilizando la matriz de cambio de base, calcula las coordenadas respecto de B del vector u cuyas coordenadas respecto de B′^ son (-4,-2,5). c) ¿Cu´ales son las coordenadas respecto de B′^ del vector v cuyas coordenadas respecto de B son (7,8,1)?
- Sean B 1 = {(1, 3 , 2), (4, − 1 , 0), (2, 0 , 1)} y B 2 = {(1, 0 , 0), (1, 1 , 0), (1, 1 , 1)} dos bases de R^3. Si el vector v tiene por coordenadas (1, − 1 , 0) respecto de B 1 , se pide a) Calcula las componentes del vector v. b) Halla, mediante la matriz de cambio de base, las coordenadas de v respecto de B 2.
