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Apéndice C
Álgebra lineal
lección 30 El propósito de este breve apéndice es juntar algunos resultados básicos de álgebra lineal sobre el 30.10.
polinomio característico.
Aquí K denotará un cuerpo y V un espacio K-vectorial de dimensión finita n.
C.1 El determinante y traza de un endomorfismo lineal
Escojamos una base e 1 ,... , en de V. Para toda aplicación K-lineal φ : V → V (es decir, un endomorfismo
de V) se tiene
φ (ej) = ∑
1 ≤i≤n
aij ei
para algunos aij ∈ K. Los elementos aij forman una matriz de n × n
A :=
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
. . .
an 1 an 2 · · · ann
Bajo esta convención, los vectores de V se representan por las matrices columna:
v = c 1 e 1 + c 2 e 2 + · · · + cn en ↔
c 1
c 2
. . .
cn
y a φ (v) corresponde la matriz columna se obtiene multiplicando la matriz de arriba por A por la izquierda:
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
. . .
an 1 an 2 · · · ann
c 1
c 2
. . .
cn
Las aplicaciones K-lineales φ , ψ : V → V forman un anillo (no conmutativo) EndK (V) respecto a la
suma punto por punto y la composición habitual como la multiplicación
( φ + ψ )(v) := φ (v) + ψ (v), ( φ ◦ ψ )(v) := φ ( ψ (v)).
C.2. EL POLINOMIO CARACTERÍSTICO APÉNDICE C. ÁLGEBRA LINEAL
A cada elemento a ∈ K corresponde el endomorfismo
μ a : V → V, v 7 → a v.
La aplicación
K → End(V), a 7 → μ a
es un homomorfismo de anillos que define una estructura de K-álgebra sobre EndK (V) y en particular de
un espacio K-vectorial. La correspondencia
EndK (V) → Mn(K),
φ 7 → A
define un isomorfismo de K-álgebras, y en particular de espacios vectoriales sobre K.
C.1.1. Definición. El determinante y la traza de un endomorfismo φ : V → V se definen como es el
determinante y la traza de la matriz correspondiente respecto a alguna base:
det φ := det A, tr φ := tr A = a 11 + a 22 + · · · + ann.
Estas definiciones no dependen de una base particular. En efecto, el determinante es multiplicativo:
det(AB) = det(A) · det(B) para cualesquiera A, B ∈ Mn(K),
mientras que la traza satisface la propiedad
tr(AB) = tr(BA) para cualesquiera A, B ∈ Mn(K).
Ahora la matriz de φ respecto a otra base e
′ 1 ,... , e
′ n es de la forma^ B^ =^ U A U
− 1 , donde U ∈ GLn(K) es
alguna matriz invertible (la matriz de cambio de base), y luego
det(U A U
− 1 ) = det(U) · det(A) · det(U)
− 1 = det(A), tr(U A U
− 1 ) = tr(A U
− 1 U) = tr(A).
C.1.2. Observación. Sean φ , ψ : V → V aplicaciones K-lineales.
El determinante es multiplicativo: det( φ ◦ ψ ) = det( φ ) · det( ψ ).
La traza es K-lineal: tr(a φ + b ψ ) = a tr( φ ) + b tr( ψ ) para cualesquiera a, b ∈ K.
Demostración. Se sigue de las identidades det(AB) = det(A) · det(B) y tr(a A + b B) = a tr(A) + b tr(B)
para las matrices.
C.2 El polinomio característico
C.2.1. Definición. Para una matriz
A =
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
. . .
an 1 an 2 · · · ann
∈ Mn(K)
C.2. EL POLINOMIO CARACTERÍSTICO APÉNDICE C. ÁLGEBRA LINEAL
Para cualquier polinomio f = cm X
m
m− 1
- · · · + c 1 X + c 0 ∈ K[X] y un endomorfismo φ
pongamos
f ( φ ) := cm φ
m
m− 1
- · · · + c 1 φ + c 0 id ∈ EndK (V),
donde
φ
i := φ ◦ · · · ◦ φ ︸ ︷︷ ︸
i
C.2.4. Proposición (Teorema de Cayley–Hamilton). Sea φ : V → V un endomorfismo de un espacio vectorial
sobre K de dimensión finita. Entonces, el polinomio característico satisface p φ ( φ ) = 0.
Demostración. Fijemos una base de V. Sea A ∈ Mn(K) la matriz que representa a φ en esta base. Pongamos
B := X · In − A. Tenemos
pA := det B = X
n
n− 1
para algunos a 0 , a 1 ,... , an− 1 ∈ K. Tenemos que probar que
pA(A) = A
n
n− 1
- · · · + a 1 A + a 0 In = O.
La matriz adjunta de B tiene forma
adj B = X
n− 1 · Bn− 1 + X
n− 2 · Bn− 2 + · · · + X · B 1 + B 0
para algunas matrices B 0 , B 1 ,... , Bn− 1 ∈ Mn(K) (note que cada cofactor de B es un polinomio de grado
≤ n − 1). Las entradas de adj B son algunos polinomios de grado ≤ n − 1. Tenemos
det B · In = B · adj B = (X · In − A) · adj B = X · adj B − A · adj B,
de donde
X
n · In + an− 1 X
n− 1 · In + an− 2 X
n− 2 · In + · · · + a 1 X · In + a 0 · In
= X
n · Bn− 1 + X
n− 1 · Bn− 2 + · · · + X
2 · B 1 + X · B 0 − (X
n− 1 · ABn− 1 + · · · + X · AB 1 + AB 0 ).
Al igualar los coeficientes de las mismas potencias de X, se obtiene un sistema de ecuaciones
In = Bn− 1 ,
an− 1 · In = Bn− 2 − ABn− 1 ,
an− 2 · In = Bn− 3 − ABn− 2 ,
a 2 · In = B 1 − AB 2 ,
a 1 · In = B 0 − AB 1 ,
a 0 · In = −AB 0.
Multpliquemos la primera ecuación por A n por la izquierda, la segunda por A n− 1 , etcétera:
A
n = A
n Bn− 1 ,
an− 1 A
n− 1 = A
n− 1 Bn− 2 − A
n Bn− 1 ,
an− 2 A
n− 2 = A
n− 2 Bn− 3 − A
n− 1 Bn− 2 ,
a 2 A
2 = A
2 B 1 − A
3 B 2 ,
a 1 A = AB 0 − A
2 B 1 ,
a 0 In = −AB 0.
APÉNDICE C. ÁLGEBRA LINEAL C.2. EL POLINOMIO CARACTERÍSTICO
Al sumar todas estas ecuaciones, nos queda
pA(A) = O.
C.2.5. Comentario. Se conoce la siguiente prueba cómica del teorema de Cayley–Hamilton:
pA(A) = det(A · In − A) = det(O) = 0.
Sin embargo, esto no tiene sentido: pA(B) es una matriz, mientras que para cualquier matriz B, el deter-
minante det(B − A) es un elemento de K.
C.2.6. Comentario. El espacio de matrices Mn(K) tiene dimensión n 2 sobre K: como una base se pueden
tomar las matrices elementales eij donde 1 ≤ i, j ≤ n. De manera equivalente, el espacio vectorial EndK (V)
tiene dimensión n
2 , donde n = dimK (V). De aquí está claro que todo endomorfismo φ ∈ EndK (V) sa-
tisface algún polinomio no nulo de grado ≤ n
2 : las potencias φ
0 = id, φ , φ
2 ,... , φ
n^2 son necesariamente
linealmente dependientes, así que existen algunos coeficientes c 0 , c 1 ,... , c n^2 ∈ K, no todos nulos, tales que
c n^2 φ
n 2
2
El teorema de Cayley–Hamilton es un resultado sorprendende porque este nos dice que tal polinomio no
nulo puede tener grado n y lo construye de modo explícito.
C.2.7. Comentario. El determinante, traza y polinomio característico eventualmente están bien definidos
para endomorfismos φ : V → V, lo que sugiere que debe haber definiciones y pruebas más elegantes y
moralmente correctas que no usan elección de base y matrices. Hemos usado las matrices para ahorrar
tiempo y también porque eventualmente nos interesan ejemplos y cálculos explícitos.
