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DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT
Ap´endice A
Nociones de ´algebra vectorial
Galileo dec´ıa que la F´ısica est´a en un gran libro que se abre continuamente ante nuestros ojos y que no se puede comprender sin antes aprender la lengua en que est´a escrito. Esa lengua es la matem´atica. En este ap´endice introducimos algunas herramientas matem´aticas esenciales que manejaremos a lo largo del libro.
A.1. Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores
libres, deslizantes y ligados
A.1.1. Magnitudes escalares y vectoriales
Los objetos que maneja la F´ısica son magnitudes mensurables, tambi´en llamadas observables f´ısicos: son magnitudes que se pueden comparar con un patr´on o unidad y expresar, con una cierta precisi´on, como un m´ultiplo de esta unidad. Las magnitudes f´ısicas pueden representarse mediante diferentes objetos matem´aticos. En particular, las magnitudes f´ısicas que manejaremos en este libro ser´an de dos tipos: escalares y vectoriales.
Galileo Galilei [Pisa, 1564; Arce- tri (Florencia), 1642]: Fue el pione- ro en usar el m´etodo experimental para determinar las leyes de la Na- turaleza, y se le considera el fun- dador de la Din´amica, ya que fue el primero en determinar las leyes del movimiento de los proyectiles y en enunciar la ley de la inercia; hallazgos recogidos en su obra Dis- corsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze atte- nenti alla mecanica e i movimenti locali (Discursos y demostraciones entorno a dos nuevas ciencias rela- cionada con la mec´anica y los mo- vimientos locales), de 1602. Cons- truy´o uno de los primeros telesco- pios y sus observaciones le llevaron a defender el heliocentrismo fren- te al geocentrismo aristot´elico. La Inquisici´on le abri´o un proceso y le prohibi´o defender sus ideas.
Las magnitudes escalares son aqu´ellas que se caracterizan mediante uno (^) magnitudes escalares (por lo general) o varios n´umeros reales que son invariantes bajo traslaciones y rotaciones del sistema de referencia.
EJEMPLO: La energ´ıa cin´etica, la temperatura, la intensidad de corriente, la carga el´ectrica, el resultado de un partido de f´utbol.
Las magnitudes vectoriales son aqu´ellas que se caracterizan no s´olo por su magnitudes vectoriales magnitud sino, adem´as, por su direcci´on y sentido. Se representan mediante vectores. Los vectores se pueden visualizar como flechas cuya longitud es proporcional a la magnitud y cuyas direcci´on y sentido coincide con las del vector.
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EJEMPLO: La posici´on, velocidad y aceleraci´on de una part´ıcula, la fuerza, el momento de una fuerza.
Como veremos enseguida, hay varios tipos de magnitudes vectoriales. Otras magnitudes f´ısicas se describen mediante otros objetos matem´aticos: vectores cuyas componentes son n´umeros complejos, matrices, tensores, etc. En parti- cular, los tensores son de uso frecuente en ciertas aplicaciones t´ecnicas (por ejemplo, el momento de inercia de un sistema respecto de los distintos ejes que pasan por un punto fijo o las tensiones de un cuerpo seg´un las distintas direc- ciones que pasan por un punto se representan por tensores), pero su estudio excede los objetivos de este libro.
A.1.2. Vectores
Un segmento de recta queda determinado por sus dos puntos extremos. Cuando estos puntos est´an dados en cierto orden, se dice que el segmento est´a orientado. vector Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo determinan se llama origen y el segundo extremo del vector. Para indicar un vector se usa una flecha encima de la letra que lo representa, por ejemplo ~v, o una flecha encima de las letras que representan su origen y su extremo, por ejemplo AB~. Otras veces se utilizan letras negritas, por ejemplo v. En este libro usaremos la notaci´on ~v, excepto en los casos en los que se desee poner de manifiesto el origen y el extremo, en cuyo caso emplearemos la notaci´on AB~. recta de aplicaci´on La recta que contiene el vector se llama recta de aplicaci´on o recta de acci´on del vector, y determina la direcci´on del mismo. La orientaci´on sobre la recta, direcci´on (^) definida como aqu´ella que va del origen al extremo del vector, determina el sentido^ sentido^ del vector. Todos los vectores situados sobre una misma recta o sobre rectas paralelas tienen la misma direcci´on. Sobre cada recta hay dos sentidos opuestos. Toda magnitud vectorial puede representarse por un vector cuya longitud sea proporcional al valor de esa magnitud y cuya direcci´on y sentido sean las correspondientes a la magnitud. m´odulo Se llama m´odulo de un vector a la longitud del segmento orientado que lo define. El m´odulo de un vector es siempre un n´umero positivo o nulo. Si el vector es ~v = AB~ , el m´odulo se representa mediante cualquiera de las siguientes notaciones: |~v| = v = | AB~ |. (A.1)
Cuando el m´odulo es nulo el segmento se reduce a un punto (sin direcci´on ni sentido). Se define como vector nulo aqu´el que tiene su m´odulo igual a cero.
A.1.3. Vectores libres, deslizantes y ligados
En F´ısica las magnitudes vectoriales aparecen en tres situaciones diferentes. A cada una de estas situaciones le corresponde un tipo de vector.
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no cambia si la aplicamos sobre puntos de la misma recta de acci´on. M´as ade- lante dedicaremos mucha atenci´on al estudio de las fuerzas aplicadas a s´olidos r´ıgidos.
Vectores ligados
vectores ligados Los vectores ligados son aqu´ellos que quedan caracterizados por su:
(A) m´odulo,
(B) direcci´on,
(C) sentido y
(E) punto de aplicaci´on.
As´ı, dos vectores ligados son equivalentes si tienen el mismo m´odulo, direcci´on, sentido y punto de aplicaci´on. Matem´aticamente se caracterizan mediante un conjunto de n n´umeros reales (es decir, un vector libre) y las coordenadas de un punto. En F´ısica usaremos vectores ligados para describir magnitudes vectoriales que no son invariantes ni ante (1), ni ante (2).
EJEMPLO:
Una magnitud f´ısica que puede describirse mediante un vector ligado es la velocidad instant´anea de una part´ıcula puntual, ~v(t). Se trata de un vector, que s´olo tiene sentido f´ısico si est´a aplicado sobre el punto donde se encuentra la part´ıcula en ese instante, punto que a su vez queda caracterizado por un vector ligado, el vector posici´on ~r(t).
Otra magnitud que debe describirse mediante un vector ligado es la fuerza aplicada sobre un cuerpo deformable (por ejemplo un chicle). El cuerpo experimenta deformaciones distintas seg´un se aplique la fuerza en uno u otro punto.
b
c (^) d
a
FIGURA A.1: Si los cuatro vectores ~a, ~b, ~c, d~ fuesen vectores libres entonces
~a, ~b y ~c ser´ıan equivalentes. Si los cua- tro vectores fuesen vectores deslizan- tes entonces s´olo ~a y ~b ser´ıan equiva- lentes. Si los cuatro vectores fuesen vectores ligados entonces no habr´ıa dos vectores equivalentes.
Otra magnitud que debe describirse mediante un vector ligado es el mo- mento de una fuerza en un punto (sobre el que volveremos en el cap´ıtu- lo 3). Este vector s´olo tiene sentido f´ısico si est´a aplicado sobre el punto respecto al cual se ha calculado el momento de la fuerza.
A.1.4. Caracterizaci´on algebraica de un vector
Componentes de un vector
Supongamos en el espacio un sistema de coordenadas cartesianas ortogona- les de origen O y ejes x, y, z. Sean P 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) el origen y el extremo de un vector dado ~a (fig. A.2). componentes Se llaman componentes de un vector ~a respecto del sistema (O; x, y, z) a las
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A.1 Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores libres, deslizantes y ligados 65
proyecciones de ~a sobre los ejes x, y, z; es decir, a los n´umeros
ax = x 2 − x 1 , (A.2) ay = y 2 − y 1 , (A.3) az = z 2 − z 1. (A.4)
Para denotar un vector en un cierto sistema de coordenadas cartesianas escribiremos ~a = (ax, ay, az ). Los vectores libres opuestos (es decir, aqu´ellos que tienen igual m´odulo y direcci´on, pero sentidos opuestos) tienen todas las componentes iguales en valor absoluto, pero de signos contrarios. Dos vectores libres iguales tienen las mismas componentes en cualquier sis- tema de coordenadas.
a
P 1
P 2
x
y
z
ay
ax
az
O
FIGURA A.2: Componentes del vec- tor ~a respecto del sistema (O; x, y, z).
Como se ilustra en la fig. A.2, la longitud del vector ~a coincide con la de la diagonal de un paralelep´ıpedo recto cuyas aristas son ax, ay , az. Por tanto, el m´odulo de ~a verifica
|~a| =
ax^2 + ay 2 + az 2 , (A.5)
donde la ra´ız cuadrada se toma siempre positiva.
EJEMPLO: ~a = (1, − 2 , 3), |~a| =
12 + (−2)^2 + 3^2 =
Cosenos directores
Se llaman cosenos directores de un vector, respecto de un sistema de coor- cosenos directores denadas ortogonales (O; x, y, z), a los cosenos de los ´angulos que forma el vector con el sentido positivo de los ejes coordenados. Los ´angulos hay que tomarlos entre 0 y π radianes, de manera que los cosenos directores puedan ser positivos o negativos. Si los ´angulos del vector ~a = (ax, ay , az ) con el sentido positivo de los ejes x, y, z son, respectivamente α, β, γ (fig. A.3), los cosenos directores se deducen de las f´ormulas que expresan que la proyecci´on de un segmento sobre un eje, es igual a la longitud del segmento por el coseno del ´angulo que el segmento forma con el eje
ax = |~a| cos α, (A.6) ay = |~a| cos β, (A.7) az = |~a| cos γ. (A.8)
Sustituyendo estas igualdades en la ec. (A.5), resulta
cos^2 α + cos^2 β + cos^2 γ = 1, (A.9)
que es la relaci´on fundamental que liga los cosenos directores de un vector. x
y
z
O
a b
g
a
FIGURA A.3: ´Angulos α, β y γ co- rrespondientes al vector ~a en el siste- ma (O; x, y, z).
Conocidas las componentes de un vector se puede calcular tanto su m´odulo, mediante (A.5), como sus cosenos directores, mediante (A.6)–(A.8). El m´odulo determina la longitud del vector. Los cosenos directores determinan la direcci´on y sentido del vector. Los vectores de m´odulo unidad se llaman vectores unitarios o versores. A cada vector ~a le corresponde un versor que tiene la misma direcci´on y el vectores unitarios mismo sentido. Este vector se denota por ~u~a.
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A.2 Algebra vectorial´ 67
A.2.2. Suma y diferencia de vectores
Adici´on de vectores
Para sumar geom´etricamente dos vectores ~a y ~b se procede de la siguiente manera. Se coloca el origen de ~b sobre el extremo de ~a; el vector ~a + ~b es aqu´el cuyo origen es el origen de ~a y cuyo extremo es el extremo de ~b (fig. A. izquierda). Este procedimiento se conoce con el nombre de regla de la poligonal. Al mismo resultado se llega tomando ~a y ~b con el mismo origen O y definien- do la suma como la diagonal que pasa por O, del paralelogramo determinado por ~a y ~b (fig. A.4 derecha). Este procedimiento se conoce como regla del para- lelogramo.
b
a
a+b b^ a+b
a
FIGURA A.4: Representaci´on geom´etrica de la suma de dos vectores ~a y ~b. A la izquierda usando la regla de la poligonal. A la derecha usando la regla del paralelogramo.
Proyectando la poligonal formada por los vectores ~a, ~b y ~a + ~b sobre los ejes coordenados, resulta que las componentes del vector suma ~a + ~b son la suma de las componentes de los vectores ~a = (ax, ay , az ) y ~b = (bx, by , bz).
Por ejemplo, al proyectar sobre el eje x (fig. A.5) la componente de ~a + ~b es P 1 ¯P 3 = P 1 ¯P 2 + P 2 ¯P 3 = ax + bx, donde Pi¯Pj es la distancia (que puede ser negativa) entre los puntos Pi y Pj.
a+b b a
x
z
y
P
P 1 P 2
P 3
FIGURA A.5: La componente x del vector ~a + ~b es P 1 ¯P 3 = P 1 ¯P 2 + P 2 ¯P 3 = ax + bx.
Se puede, por tanto, establecer la siguiente definici´on: El vector suma de
vector suma
~a y ~b es el vector que tiene por origen y extremo, respectivamente, el origen y el extremo de la poligonal obtenida llevando un vector a continuaci´on del otro. Las componentes del vector suma respecto del sistema (O; x, y, z) son las sumas de las componentes ~a = (ax, ay , az ) y ~b = (bx, by , bz) respecto del sistema (O; x, y, z), es decir,
~a + ~b = (ax + bx, ay + by , az + bz ), (A.12)
que es la forma algebraica de describir la suma de los vectores ~a y ~b.
EJEMPLO: ~a = (1, 2 , 3), ~b = (1, − 2 , 3); ~a + ~b = (2, 0 , 6).
De la fig. A.4 izda., usando el teorema de Pit´agoras, se deduce inmediata- mente que el m´odulo del vector suma verifica
|~a + ~b|^2 = |~a|^2 + |~b|^2 + 2 |~a| |~b| cos θ, (A.13)
donde θ es el ´angulo entre ~a y ~b. Por otra parte, puesto que, como se ve en la fig. A.4 izda., ~a, ~b y ~a + ~b son los lados de un tri´angulo, se cumple la desigualdad triangular:
|~a + ~b| ≤ |~a| + |~b|, (A.14)
donde la igualdad se alcanza ´unicamente en el caso θ = 0.
-b
a
a-b -b
a
a-b
FIGURA A.6: Representaci´on geom´etrica de la diferencia de dos vectores ~a y ~b.
Sustracci´on de vectores
El vector diferencia ~a −~b de dos vectores es igual a la suma de ~a y del vector
vector diferencia
−~b, opuesto a ~b. Por tanto, las componentes del vector diferencia ~a − ~b respecto del sistema (O; x, y, z) son
~a − ~b = (ax − bx, ay − by , az − bz ). (A.15)
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Para visualizar geom´etricamente la diferencia ~a − ~b procederemos como en el caso de la suma, tomando −~b en vez de ~b. Las figs. A.6 izda. y dcha. son las an´alogas a las figs. A.4 izda. y dcha. para este caso de la diferencia de vectores.
Propiedades de la suma de vectores Cualesquiera que sean los vectores ~a y ~b, se verifican las siguientes propie- dades:
Propiedad asociativa:
(~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c). (A.16)
Propiedad conmutativa: ~a + ~b = ~b + ~a. (A.17)
Elemento neutro (el vector nulo, ~0):
~a + ~0 = ~a. (A.18)
Elemento sim´etrico (para cada vector ~a, su opuesto −~a):
~a + (−~a) = ~ 0. (A.19)
A.2.3. Producto de un escalar por un vector
Sea un vector ~a = (ax, ay , az ) y un escalar λ. Se llama producto del escalar el escalar λ por el vector ~a λ por el vector ~a (o producto del vector ~a por el escalar λ) al vector que tiene: (1) el m´odulo igual al producto del m´odulo de ~a por el valor absoluto de λ; (2) la misma direcci´on que ~a; (3) el mismo sentido que ~a si λ es positivo y el sentido opuesto si λ es negativo. Las componentes del vector λ ~a respecto del sistema (O; x, y, z) son, por tanto, λ~a = (λ ax, λ ay , λ az ). (A.20) Por ejemplo, la fig. A.7 representa los vectores ~a, − 2 ~a, 3~a.
a
3a
-2a
FIGURA A.7: Vectores ~a, − 2 ~a, 3 ~a. EJEMPLO: ~a = (− 7 , 2 , 3), λ = 12 ; λ ~a =
Si λ = (^) |~^1 a| , el vector
~u~a = λ~a =
~a |~a|
(A.21)
es un vector de m´odulo unidad (o unitario o versor) y de la misma direcci´on y sentido que ~a. Por tanto, todo vector puede escribirse como el producto de su m´odulo por un vector unitario de su misma direcci´on y sentido:
~a = |~a| ~u~a. (A.22)
Si dos vectores, ~a y ~b, son paralelos, uno de ellos se puede escribir como el producto de un escalar λ por el otro vector, donde λ tiene como valor absoluto
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70 Nociones de ´algebra vectorial
A.3. Producto escalar y producto vectorial
A.3.1. Producto escalar
producto escalar Se llama producto escalar o interno de dos vectores ~a, ~b al escalar obtenido como producto de los m´odulos de ~a y ~b por el coseno del ´angulo formado por los dos vectores. Indicaremos el producto escalar de dos vectores mediante un punto “·” entre ellos. As´ı, ~a · ~b = |~a| |~b| cos θ, (A.33)
siendo θ el ´angulo que forman los vectores ~a y ~b. Mediante las componentes de los vectores ~a y ~b, su producto escalar se expresa ~a · ~b = axbx + ay by + az bz. (A.34)
La condici´on necesaria y suficiente para que dos vectores sean perpendicu- lares es que el producto escalar sea cero. Si ~a y ~b tienen la misma direcci´on y el mismo sentido θ = 0 y ~a ·~b = |~a| |~b|. Si ~a y ~b tienen la misma direcci´on y sentido opuesto (se dice entonces que son vectores antiparalelos) θ = π y ~a · ~b = −|~a| |~b|. Con el producto escalar, el ´angulo θ entre los vectores ~a y ~b se calcula mediante la f´ormula
cos θ =
~a · ~b |~a| |~b|
. (A.35)
EJEMPLO: ~a = (1, 2 , 3), ~b = (0, − 4 , 5); ~a · ~b = 1 · 0 + 2 · (−4) + 3 · 5 = 7, θ = arc cos √ 147 √ 41.
Ahora que hemos introducido el producto escalar, la ec. (A.13) se puede reescribir como |~a + ~b|^2 = |~a|^2 + |~b|^2 + 2 ~a · ~b. (A.36)
Es f´acil comprobar que
|~a − ~b|^2 = |~a|^2 + |~b|^2 − 2 ~a · ~b. (A.37)
La interpretaci´on geom´etrica del producto escalar ~a · ~b pasa por observar que |~b| cos θ es el m´odulo (o el m´odulo multiplicado por −1) del vector que se obtiene al proyectar el vector ~b sobre el vector ~a (fig. A.8). An´alogamente |~a| cos θ es el m´odulo (o el m´odulo multiplicado por −1) del vector que se obtiene al proyectar el vector ~a sobre el vector ~b. As´ı pues, ~a · ~b se puede interpretar como el escalar que se obtiene al multiplicar el m´odulo de ~a por el m´odulo (o el m´odulo multiplicado por −1) del vector que se obtiene al proyectar el vector ~b sobre el vector ~a.
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A.3 Producto escalar y producto vectorial 71
Propiedades del producto escalar
Cualesquiera que sean el escalar λ y los vectores ~a y ~b, se verifican las siguientes propiedades:
Propiedad conmutativa: ~a · ~b = ~b · ~a. (A.38)
Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores:
~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c. (A.39)
λ (~a · ~b) = (λ ~a) · ~b. (A.40)
Vector proyecci´on
El vector proyecci´on de ~b sobre ~a (fig. A.8), que denotaremos por P~~a(~b) es vector proyecci´on un vector que tiene la misma direcci´on que ~a, el mismo sentido si 0 < θ < π 2 o sentido opuesto si π 2 < θ < π y cuyo m´odulo es el valor absoluto de
|~b| cos θ =
~a · ~b |~a|
. (A.41)
El vector proyecci´on de ~b sobre ~a se expresa
P^ ~~a(~b) = ~a^ ·^
~b |~a|
~a |~a|
. (A.42)
El vector proyecci´on de ~a sobre ~b, que denotaremos por P~~b(~a), se obtiene inter-
cambiando en la ec. (A.42) los papeles de ~a y ~b.
FIGURA A.8: Vector proyecci´on de ~b sobre ~a. El m´odulo de este vector es el valor absoluto de |~b| cos θ. La direc- ci´on coincide con la de ~a. El sentido es el de ~a o el opuesto, dependiendo del valor de θ.
A.3.2. Producto vectorial
Se llama producto vectorial o externo de dos vectores ~a y ~b, y lo denotaremos
producto vectorial
por ~a × ~b (o por ~a ∧ ~b), al vector que tiene: (1) el m´odulo igual al producto de los m´odulos de ~a y ~b por el seno del ´angulo (positivo) que forman,
|~a × ~b| = |~a| |~b| sen θ; (A.43)
(2) la direcci´on perpendicular al plano determinado por las direcciones de los vectores ~a y ~b; (3) el sentido igual al que se obtiene al aplicar la regla de la mano derecha: consideremos los dedos coraz´on, ´ındice y pulgar de la mano derecha. Colocamos el dedo ´ındice en la misma direcci´on y sentido que ~a, el dedo coraz´on en la misma direcci´on y sentido que ~b, entonces el sentido del vector ~a ×~b es el del pulgar (fig. A.9).
Equivalentemente, el sentido de ~a ×~b tambi´en se puede definir, aplicando la regla del sacacorchos, como el de avance de un sacacorchos de ~a a ~b siguiendo el ´angulo menor de π. N´otese que para conocer el sentido de ~a × ~b hay que conocer previamente la orientaci´on de un triedro en el espacio (la mano derecha o el sacacorchos).
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A.4 Independencia lineal. Bases 73
Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores:
~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c. (A.47)
λ (~a × ~b) = (λ ~a) × ~b. (A.48)
Adem´as, es f´acil comprobar que los versores fundamentales verifican
~ı × ~ = ~k, (A.49) ~ × ~k = ~ı, (A.50) ~k ×~ı = ~. (A.51)
Como veremos m´as adelante, las ecs. (A.49)–(A.51) implican que los versores fundamentales forman una base cartesiana en un espacio vectorial de dimen- si´on 3.
A.4. Independencia lineal. Bases
A.4.1. Independencia lineal
Un conjunto de vectores {~v 1 ,... , ~vk} se dice que es linealmente indepen- diente si la ecuaci´on linealmente independiente λ 1 ~v 1 +... + λk~vk = ~ 0 (A.52)
s´olo tiene la soluci´on trivial λ 1 =... = λk = 0. Si existe alguna soluci´on no trivial a la ec. (A.52); es decir, si al menos uno de los λi 6 = 0, entonces diremos que los vectores {~v 1 ,... , ~vk} son linealmente dependientes. Ning´un vector de un conjunto de vectores linealmente independientes puede expresarse como combinaci´on lineal de los otros. Es decir, la ecuaci´on
λ 1 ~v 1 +... + λi− 1 ~vi− 1 + λi+1~vi+1 +... + λk~vk = ~vi (A.53)
no tiene soluci´on. En un conjunto de vectores linealmente dependientes hay al menos un vector que puede expresarse como combinaci´on lineal de los otros. La dimensi´on de un espacio vectorial V es el mayor n´umero posible de vectores linealmente independientes en V.
A.4.2. Bases
Un conjunto de vectores B = {~v 1 , ~v 2 ,... , ~vk} se dice que es una base de un base espacio vectorial V de dimensi´on k si:
{~v 1 , ~v 2 ,... , ~vk} es linealmente independiente, y
cualquier vector ~v de V se puede escribir como combinaci´on lineal de los vectores de la base. Es decir, existe un conjunto de n´umeros λ 1 , λ 2 ,... , λk , tales que ~v = λ 1 ~v 1 + λ 2 ~v 2 +... + λk~vk.
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74 Nociones de ´algebra vectorial
base ortogonal Una base se dice base ortogonal si el producto escalar de cualquier pareja de vectores de la base es cero. base ortonormal Una base se dice base ortonormal si es una base ortogonal y est´a formada por vectores unitarios. base cartesiana Si k ≥ 3, una base B = {~v 1 , ~v 2 ,... , ~vk} se dice base cartesiana si es una base ortonormal y adem´as ~v 1 × ~v 2 = ~v 3 ,... , ~vk− 1 × ~vk = ~v 1.
EJEMPLO: {~ı, ~, ~k} es una base cartesiana de R^3 porque:
{~ı, ~, ~k} es linealmente independiente,
∀~v ∈ R^3 ∃ vx, vy , vz ∈ R : ~v = vx~ı + vy~ + vz~k,
|~ı| = |~| = |~k| = 1,
~ı · ~ = ~ı · ~k = ~ · ~k = 0,
se verifican las ecs. (A.49)–(A.51).
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76 Nociones de ´algebra vectorial
(b) igual al coseno del ´angulo que forman ~a y ~b. (c) igual al m´odulo de la proyecci´on de ~a sobre ~b. (d) igual al m´odulo de ~a.
A.3. El vector proyecci´on de ~a sobre ~b no puede tener
(a) la misma direcci´on que ~a. (b) la misma direcci´on que ~b. (c) m´odulo mayor que el de ~a. (d) m´odulo mayor que el de ~b.
A.4. Dada la expresi´on vectorial ~a × ~b = ~a, con ~a y ~b no nulos, se cumple que
(a) ~b es un vector unitario paralelo a ~a. (b) ~b es un vector unitario perpendicular a ~a. (c) ~b es un vector unitario coplanario con ~a. (d) la expresi´on no es correcta para ning´un ~b.
A.5. Dados los vectores ~a, ~b y ~c no nulos, el resultado de ~a · (~b × ~c)
(a) es cero si los tres vectores son coplanarios. (b) es un vector perpendicular a ~a, ~b y ~c. (c) es cero si ~b y ~c son coplanarios. (d) siempre es un escalar no negativo.
A.6. Sean tres vectores no nulos ~a, ~b, ~c. Las componentes de ~a y ~b respecto del sistema cartesiano {O; x, y, z} son, respectivamente, (ax, ay , az ) y (bx, by, bz ); el ´angulo que forma el vector ~a con el sentido positivo del eje z es γ; el ´angulo entre ~a y ~b es θ. Se˜nala la opci´on incorrecta.
(a) ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~c · ~a. (b) ~a · ~b = (axbx, ay by , az bz ). (c) |~a| = az / cos γ.
(d) |~a × ~b| =
∣|~a| |~b| sen θ
