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El álgebra lineal es una rama de la matemática, considerada básica para el estudio de casi todas las áreas de la matemática y disciplinas afines de las ciencias naturales, ingeniería, computación, economía, administración, estadística, ciencias sociales y humanidades, etc. Su importancia es más evidente en aplicaciones de la matemática, sumado a la presencia de la computadora obliga a diseñar algoritmos computacionales en la optimización, ecuaciones diferenciales, aproximación de funciones, etc. donde el álgebra lineal juega un rol preponderante en la solución de problemas de diversos contextos reales. En general podemos decir que el álgebra lineal aparece de manera natural en casi todas las disciplinas.
El contenido de este documento base para el aprendizaje de los estudiantes del curso de ÁLGEBRA LINEAL de la Escuela Profesional de Matemática Aplicada, de la Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión, se ha elaborado con los temas que aparecen en la sumilla del curso proporcionado por la Dirección de la Escuela, de modo que se abordarán los temas que se
ÁLGEBRA LINEAL
ESTUDIA
TRANSFORMACIONES LINEALES
ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO Y OPERADORES LINEALES
CIENCIAS FUNCIONALANÁLISIS^ NATURALES
ECUACIONES DIFERENCIALES
INVESTIGACION DE OPERACIONES
INGENIERÍA
ECONOMÍA
COMPUTACIÓN CIENCIAS SOCIALES
APLICACIONES EN
ELECTRÓNICAS^ ESTRUCTURAS
ELECTRÓNICOS^ CIRCUITOS
ENCENDIDOS ELECTRÓNICOS, ALARMAS ELECTRÓNICAS, BRAZOS ROBÓTICOS, GPS, etc.
DISEÑO
presentan en la figura 1: espacios vectoriales, transformaciones lineales, espacios con producto interno, operadores lineales, vectores y valores propios y formas bilineales.
En cuanto a las aplicaciones, el estudiante tiene la tarea de investigar y preparar dos de ellas, usando las referencias bibliográficas dadas y con la orientación del profesor.
En general el ÁLGEBRA LINEAL es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como: matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, transformaciones lineales, vectores y valores propios o característicos, espacios vectoriales con producto interno, operadores lineales, formas bilineales.
Los prerrequisitos para estudiar el curso son: conjuntos, funciones, estructuras algebraicas de grupo y cuerpo, en particular el conocimiento del cuerpo de los números reales y complejos.
2. La diferencia "^ −" de números naturales no es una ley de composición interna sobre
, pero si lo es sobre
( )
a b , a b no siempre es un número natural
− ( )
a b , a b
2. Si A = B , entonces : A A → C se llama ley de composición externa A sobre C.
Simbólicamente:
( )
A A C
a b a b
EJEMPLO: La diferencia "^ −"de números naturales es una ley de composición externa de
, sobre
( )
a b , a b
3. Si A C y B = C , entonces : A B → B se llama ley de composición externa por la
izquierda de A sobre B. Simbólicamente:
( )
A B B
a b a b
4. Si A = C y B C , entonces : A B → A se llama ley de composición externa por la derecha
de B sobre A. En símbolos tenemos:
( )
A B A
a b a b
EJEMPLOS.
1. Sea = (^) f : → el conjunto o familia de todas las funciones reales de variable real, es el conjunto de números reales, entonces la aplicación que consiste en la multiplicación ordinaria de un número real por una función
( ) ( )
, f f f ( ) x f ( ), x x
es una ley de composición externa por la izquierda de sobre.
2. La aplicación ( ) ( ) ( )
n m n m
A A A
es una ley de composición externa por la derecha de sobre (^) n m ( ), donde es el conjunto de los números reales y (^) n m ( )es el conjunto de matrices de orden mxn, con entradas en.
3. La aplicación
( ( )) ( ) ( )
:^2
, a b , a b , a , b
Es una ley de composición externa por la izquierda de sobre^2 0.2. PROPIEDADES DE LA LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA
Ahora veremos algunas propiedades usuales que suelen tener las leyes de composición, precisando que no siempre una ley de composición tendrá todas las propiedades , según se cumplan unas u otras estaremos frente a distintos tipos de estructuras algebraicas.
Dado el conjunto A , se dice que la ley de composición interna : A A → A sobre A , tendrá la propiedad:
Conmutativa, sí a b , A se tiene que a b = b a.
Asociativa , sí a b c^ , ,^^ ^ A^ se tiene que( a^ ^ b^ ) ^ c^ =^ a^ ^ ( b^ c ).
Existencia del elemento neutro, sí a A , e A tal que a e = e a = a
Existencia del elemento inverso o simétrico, sí a A , a −^1 A tal que a a −^1 = a −^1 a = e.
Distributiva por la izquierda, si dados un conjunto (^) A y dos leyes de composición interna
: A A → A y : A A → A sobre A , es decir:
A A A
a b c a b
y ^ ^ → =
A A A
a b c a b
se verifica a (^) ( b ^ c (^) ) = (^) ( a b ) (^) (^) ( a c (^) ), a b c , , A
En este caso decimos que la primera operación es distributiva por la izquierda con respecto
a la segunda operación
Distributiva por la derecha , si se verifica( a ^ b ) c = ( a c ) ( b c ), a b c , , A
siendo así, decimos que la primera operación es distributiva por la derecha con respecto a la
segunda operación .
0.3. PROPIEDADES DE LA LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNA
Conmutativa. Dados los conjuntos no vacíos A y K , donde se ha definido una ley de
composición externa por la derecha, es decir:
( )
A K A
a a
esta ley tendrá la propiedad conmutativa si se cumple que
( a , ) A K se tiene que a = a
OBSERVACIÓN: Si la ley de composición externa definida por
( )
: ,
A K A
a a
→ es conmutativa, entonces
- e^ G^^ tal que^ a^ ^ e^ =^ e^ ^ a^ , a^ G Propiedad de existencia de elemento
neutro en G para .
- (^) a G , a −^1 G tal que a a −^1 = a −^1 a = e Propiedad de existencia de elementos
inversos en G para .
OBSERVACIONES.
1. Un grupo es un monoide con la propiedad de la existencia de elementos inversos en G para .
2. Si además de cumplirse las propiedades anteriores, la ley de composición interna es
conmutativa, decimos que (^) ( G ,)en grupo abeliano o conmutativo.
EJEMPLOS:
1. (^) ( ,+), (^) ( ,+), (^) ( ,+)y (^) ( ,+) son grupos abelianos o conmutativos con la adición ordinaria de números. 2. (^) ( − (^) 0 , ), (^) ( − (^) 0 , ) y (^) ( − (^) 0 , ) son grupos abelianos o conmutativos con respecto a la multiplicación ordinaria de números. 3. (^) ( +^ ,)donde a^ ^ b =^ ab 2 es un grupo abeliano o conmutativo. 4. El par (^) ( (^) m n ( ) ,+)donde (^) m n ( ) es el conjunto de matrices con m filas y n columnas de elementos en es un grupo conmutativo respecto a la adición de matrices. 5. El par (^) ( (^) n n ( ) ,+)donde (^) n n ( )es el conjunto de matrices cuadradas n n con entradas en y determinante no nulo (esto asegura que para cada matriz cuadrada existe su inversa multiplicativa) es un grupo respecto a la multiplicación de matrices. 6. Pruebe que, si G es un grupo, vale la ley de cancelación por la derecha y por la izquierda en G, es decir, si a b c , , G y ab = ac entonces b = c , por otra parte, si ab = cb , entonces a = c 7. Si (^) G es un grupo y (^) a G se tiene que a = a −^1 , pruebe que (^) G es abeliano. 8. Pruebe que, si G es un grupo y a b , G se cumple (^) ( ab (^) )^2 = a b^2 2 entonces G es abeliano.
CUERPO. Sea el conjunto (^) , sean además , dos leyes de composición internas sobre , Llamaremos cuerpo a la terna ( , , ), tal que:
- (^) ( ,)es un grupo conmutativo
- (^) ( − 0 , )es un grupo abeliano
- (^) ( (^) ) = (^) ( (^) ) (^) ( (^) ) , , , Propiedad distributiva de con respecto a .
EJEMPLOS:
1. La terna ( , +, ) donde es el conjunto de los números reales, junto con las operaciones ordinarias +, de adición y multiplicación de números reales, respectivamente, es un cuerpo, llamado cuerpo de los números reales.
2. La terna (^) ( , +, ) donde es el conjunto de los números complejos, junto con las operaciones ordinarias +, de adición y multiplicación de números complejos, respectivamente, es un cuerpo, llamado cuerpo de los números complejos.
UNIDAD 1
1.1. ESPACIOS VECTORIALES
El concepto de vector es uno de los más importantes en matemática, mediante un vector podemos localizar el lugar donde se encuentra un vehículo, un barco, un avión, etc. para ello debemos conocer la distancia, dirección y sentido.
En la diversa información bibliográfica que se dispone, encontramos que a un vector se representa a través de un segmento de recta orientado, por esta razón a los vectores se suele identificar y representar con flechas en el plano 2 o en el espacio 3. Esta idea la tomaron en la Física para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. En matemática, se abstraen las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores estudiados en la Física.
Los espacios vectoriales son conjuntos de objetos o elementos de naturaleza muy diversa, sin embargo, estos objetos tienen propiedades comunes y relaciones entre sí. Los elementos u objetos con que se operan no son trascendentes en el espacio vectorial, pero sí las relaciones que existen entre ellos. Por ejemplo, en mecánica de fluidos, el fluido bajo ciertas condiciones,
DEFINICIÓN 1.1.1. Dado un cuerpo y (^) V un conjunto no vacío de objetos o elementos. Se dice que (^) V tiene una estructura de espacio vectorial sobre , donde los elementos de V se llaman vectores y los de escalares, si en V están definidas dos operaciones o leyes de composición, siguientes:
1. Una ley de composición interna sobre V , "^ + ", llamada adición, es decir:
( ) ( )
V V V
u v u v u v u v V
u + v V es un nuevo vector de V llamado vector suma de u^ y v.
2. Una ley de composición externa que relaciona y V " ", llamada multiplicación por un escalar, es decir;
( ) ( )
V V
v v v v v V
= = , y
el nuevo vector v = v V es llamado vector producto de por v
que satisfacen las siguientes condiciones, llamadas axiomas de un espacio vectorial: A1. Asociatividad de "^ + " :
u v w u v w , u v w , , V
Luego la cuaterna (^) ( n^ , , + ,)es un espacio vectorial sobre el cuerpo , pues satisface los 10 axiomas de la definición 1.1.1. Este espacio se llama espacio vectorial euclidiano n −dim ensional^.^ Acá los escalares son números^ reales y los vectores son^ n-uplas^ de números reales ( x 1 (^) , x 2 (^) , x 3 , , xn ). Se dice que los números x 1 (^) , x 2 (^) , x 3 , , xn son las coordenadas del vector x.
2. Sea V = (^) ( x y , (^) ) 2 / y = mx , donde m es fijo y x es cualquiera. Acá vemos
que es el conjunto de puntos ( x y^ ,^ )^2 que están sobre la recta y = mx , que pasa por el origen de coordenadas y que tiene pendiente m. Este conjunto (^) V dotado de las operaciones de adición " +"y multiplicación por escalares " "definidas en el ejemplo anterior para (^) n = 2 , es un espacio vectorial sobre.
3. Sea V = (^) ( x y , ) 2 / y = mx + 1, donde m es fijo y x es cualquiera, este
conjunto está formado por los puntos (^) ( x y , (^) )^2 que están sobre la recta y = mx + 1 de
pendiente m. Si dotamos a V las operaciones de adición " +" y multiplicación por
escalares " " definidas en el ejemplo 1 para (^) n = 2 , ¿ (^) V es un espacio vectorial sobre?
4. La cuaterna (^) ( (^) m n ( ) , , + , )donde (^) m n ( )es el conjunto de matrices de orden m n : m n (^ )=^ ^^ A^ =^ (^ aij^ ) 11 ij mn^ /^ aij^ ^ ,1^ ^ i^ ^ m , 1^ ^ j^ n con las operaciones de adición de matrices y multiplicación por números reales, es un espacio vectorial sobre. 5. El conjunto de polinomios en la variable x , con coeficientes reales: x^ =^ p x ( )^^ =^ a 0^ +^ a x 1^ +^ a x 2^^2 +^ a x 3 3^ +^ / a^ i con las operaciones ordinarias de adición de polinomios y de multiplicación escalar de un número real por un polinomio, es un - espacio vectorial. 6. Sea X cualquier conjunto diferente del vacío. El conjunto ( X^^ ,^ ) =^ f^ :^ X^ → /^ f es una función real dotado de las operaciones de adición y multiplicación escalar definidas por: ( f^ +^ g^ )( x^ ) =^ f^ ( x^ ) +^ g^ ( x^ )^ , x^ A y ( f^ )( x )^ =^ f^ ( x^ )^ , x^ A , respectivamente, es un espacio vectorial sobre. 7. El conjunto (^) ( )de funciones continuas en la recta real ,
( ) = f : → / f es continua sobre junto con la adición de funciones f + g definida por( f^ +^ g^ )( x^ ) =^ f^ ( x )^ +^ g^ ( x )^^ , x y la multiplicación por un número real f definida por ( f^ )( x^ ) =^ f^ ( x^ )^ , x es un espacio vectorial sobre.
8. Sea = (^) u = (^) ( n (^) ) n / n el conjunto de sucesiones de números reales. Si
definimos en la adición de sucesiones y la multiplicación de un escalar por una sucesión usuales, es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n (^) n n (^) n n n n n (^) n n n
u v u
Entonces es un espacio vectorial sobre.
9. Sea el espacio de todas las secuencias o sucesiones doblemente infinitas de números reales (generalmente se representan en una fila más que una columna):
vk^ =( ,^ v^ − 3 ,^ v^ − 2 ,^ v −^ 1 ,^ v 0^ ,^ v v 1 ,^2^ ,^ v 3 , )^ , donde vk^ ^ , k
Con las operaciones de adición y multiplicación por un escalar real, definidas por: v (^) k^ +^ uk^ =^ vk^ +^ uk^ ( ,^ v^ − 3 +^ u^ − 3 ,^ v^ − 2 +^ u^ − 2 ,^ v^ − 1 +^ u^ − 1 ,^ v 0^ +^ u 0^ ,^ v 1^ +^ u 1^ ,^ v 2^ +^ u^ 2 ,^ v 3^ + u 3 , ) (^) vk (^) = v (^) k (^) ( , v (^) − 3 , v (^) − 2 , v (^) − 1 , v 0 (^) , v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 , )
respectivamente, (^) ( , , + ,)es un espacio vectorial sobre. Los elementos de son usados en ingeniería, por ejemplo, cuando una señal se mide o se muestrea en tiempos discretos. Puede ser una señal eléctrica, mecánica, óptica, térmica, magnética, digitales, biomédicas, energía, potencia, etc. Los sistemas de control principal del transbordador espacial COLUMBIA usan señales discretas, llamadas también digitales. Llamamos a el espacio de señales , una señal se puede representar gráficamente de la siguiente forma:
En muchas aplicaciones la secuencia discreta se obtiene muestreando una señal continua xa ( ) t a intervalos de tiempo regulares, por ejemplo: x n ( ) = xa ( ) t (^) t = nT , donde n = , − K , −2, −1,0,1, k , T es el periodo de muestreo y su inversa se llama frecuencia de muestreo. Si T está en segundos, las unidades de la frecuencia de muestreo son ciclos por segundo o Hertzios. Independientemente de que la secuencia (^) x n ( )se haya obtenido por muestreo o no, se dice que x n ( )es la n-ésima muestra de la secuencia.
6. Razonaremos por contradicción. En efecto, supongamos que 0 v 0. Ahora como
y es un campo, entonces ^1 tal que ^1 = 1. Por otra parte, por hipótesis
sabemos qué (^) v = 0. De estas dos últimas expresiones tenemos que^1 ( v )^1
de donde resulta que (^) v = 0 , este resultado contradice a la suposición hecha en la hipótesis auxiliar. Luego la afirmación 6 del teorema es verdadera.
7. Supongamos que v = 0 (Hipótesis auxiliar). Como y 0 entonces ^1 tal
que ^1 = 1 ( es un campo). Teniendo en cuenta lo anterior tenemos ahora:
v = 1 v = ^ ^1 v = (^) ^1 ( v )= (^) ^1 0 = 0
, de donde se deduce que (^) v = 0 , esto contradice a la suposición hecha en la hipótesis auxiliar. Esto nos permite concluir que la propiedad 7 del teorema es verdadera.
8. 0 = − +( 1 1 ) v = −( 1) v + 1 v = −( 1 ) v + v , de esto se obtiene: ( 1)− v + v = 0. Luego por el
axioma A4 se tendría que (^) ( − (^1) ) v es el inverso aditivo de v , y como el inverso aditivo es único concluimos que (^) ( − (^1) ) v = − v.
9. De acuerdo a la propiedad anterior tenemos:( − (^) ) v = −( 1 (^) ) v = −( 1 )( v ) (^) = −( v )
Por otra parte, también tenemos:( −^ ^ ) v^ = −( 1 ^ ) v^ =^ ( ) ( ( −^1 ) v )^ =^ ( − v ) Con lo cual queda demostrada la propiedad.
1.2. SUBESPACIOS VECTORIALES
Descomponer un espacio vectorial en subespacios vectoriales, permite fijar nuestra atención en conjuntos más elementales, con el propósito de determinar aquellos elementos básicos que dan lugar a cualquier otro elemento mediante una combinación lineal.
Este razonamiento se usa, por ejemplo, para posicionar en el espacio las piezas de un robot. Otro ejemplo de esta idea, constituyen las deformaciones de un sólido, que se modelan a través
de un espacio vectorial, generado como combinación de distintas "bases" de deformaciones.
Se puede decir que W hereda las operaciones del espacio vectorial V.
Esta definición implica que para demostrar que un subconjunto W de V tenemos que verificar todos los axiomas del Teorema 1.1.1. Sin embargo, si W es parte de V no es necesario verificar todos los axiomas, pues algunos de ellos son heredados de V. Por ello veremos un teorema que simplifica la verificación de si un subconjunto W de V es o no un subespacio vectorial.
Demostración:
Demostración de la condición )En efecto: Si (^) W es un subespacio vectorial de (^) V , por la definición 1.2.1 (^) W es un espacio vectorial sobre con las operaciones definidas en (^) V , entonces se cumplen todos los axiomas de espacio vectorial establecidos en la definición 1.1.1., en particular se cumplen 1. y 2. de este teorema. Demostración de la condición )En efecto: Si las condiciones 1. y 2. del teorema se cumplen, entonces sobre W están definidas las dos leyes de composición, estas leyes satisfacen los siguientes axiomas:
Asociatividad de la adición: Sean u v w , , W V , entonces como V un espacio vectorial
sobre , satisfacen u^ v^ w^ u^ v^ w.
Conmutatividad de la adición: Si u v , W V , entonces como V es espacio vectorial se satisface v u u v.
Teorema 1.2.1. Si W es un subconjunto no vacío de V , entonces W es un subespacio de V sobre sí y sólo sí se cumplen las siguientes condiciones:
1. Si v u , W , entonces v + u W
2. Si v W entonces, , v W
Definición 1.2.1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo , un subconjunto no vacío W V se dice un subespacio vectorial de V si W es también un espacio vectorial sobre respecto a las operaciones definidas en V
Es decir, se satisfacen las dos condiciones de la definición 1.2.1.
3. Sean: el conjunto W = (^) x = (^) ( x 1 (^) , x 2 (^) , x 3 , , xn ) n y los escalares 1 , 2 , 3 , , n
tales que: 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + + n xn = 0. Entonces W es subespacio vectorial de n.
Si 1 = 2 = 3 = = n = 0 , tendremos que W = n. Si, al menos uno de los i 0 se
dice que W es un hiperplano de n que pasa por el origen.
4. Sea V = C (^) 0,1 = (^) f : 0,1 → el conjunto de funciones de valores reales continuas en
el intervalo (^) 0,1es un espacio vectorial con las operaciones de adición de funciones y multiplicación por un escalar real:
( f^ +^ g^ ) ( ) x^^ =^ f^ ( x )^ +^ g x ( )^ y ( f^ )( x^ ) =^ ^ f^ ( x )
Respectivamente. (Se deja como ejercicio la verificación). Sea ahora W = C 0,1 = (^) f : 0,1 → el conjunto de funciones de valores reales con primeras derivadas contínuas en el intervalo (^) 0,1. Como toda función diferenciable es continua, entonces C ^ 0,1^ 0,1. Con estas consideraciones W es un subespacio vectorial de (^) V con las operaciones definidas en (^) V y sabiendo además que la adición de dos funciones diferenciables es diferenciable y la multiplicación por un escalar real de una función diferenciable es diferenciable.
5. Consideremos a V un espacio vectorial y L un conjunto de índices. Si, para cada L , W
es un subespacio vectorial de V , entonces la intersección
L
W W
Es también un subespacio vectorial de (^) V.
Por otra parte, de acuerdo al ejemplo 3. tenemos W = (^) x = ( x 1 (^) , x 2 (^) , x 3 , , xn ) n que es el conjunto de vectores x = (^) ( x 1 (^) , x 2 (^) , x 3 , , xn ) n cuyas coordenadas satisfacen las m condiciones siguientes: 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2
1 1 2 2 3 3
n n n n
m m m mn n
x x x x x x x x
x x x x
es un subespacio vectorial de n , el mismo que es la intersección W = W 1 (^) W 2 (^) Wm de los hiperplanos Wi definidos, de acuerdo al ejemplo 2, por cada una de las ecuaciones anteriores.
6. Si V = C a b , (^) , donde a b , con a b y , (^) : ( ) 0
b a
W = ^ f a b f x dx =
. Entonces W es espacio vectorial de V (las operaciones definidas en V son las operaciones usuales de
adición de funciones y multiplicación por un escalar real a una función). Se deja como ejercicio su verificación.
7. Sean V = C a b , (^) y W = (^) f C (^) a b , (^) : f ( ) 0 = (^0) . Claramente (^) W V , además W es espacio vectorial de V , respecto a las operaciones definidas en V.
1.3. COMBINACIONES LINEALES Y SUBESPACIOS GENERADOS
EJEMPLOS:
1. En 3 , el vector (^) ( − 7,7,7)es una combinación lineal de (^) ( − 1, 2, 4 (^) ) y (^) ( 5, −3,1). En este caso existen 1 = 2 y 2 =-1para v 1 (^) = −( 1, 2, 4 (^) ) y v 2 = (^) ( 5, −3,1)respectivamente, de modo que (^) ( − 7,7,7 (^) ) = (^2) ( −1, 2, 4 (^) ) −1 5, (^) ( −3,1). 2. Sean u = (^) ( 1, 2, −1 , (^) ) v = (^) ( 6, 4, 2)^3. Verificar que w = (^) ( 9, 2,7)^3 es una combinación lineal de u^ y v , mientras que z^ =^ ( 4.^ −1,8^ )^3 no es una combinación lineal de u^ y v
Veamos: Si w es combinación de u y v deben existir escalares 1 y 2 tales que
w = 1 u + 2 v , entonces la tarea es hallar los escalares 1 y 2 , es decir:
( ) 1 ( ) 2 ( ) ( 1 2 1 2 1 2 )
1 2 2 1 2 2
esto equivale a: 6 9 sumando la 1ra. ecuación con la 3ra. se obtiene 2 2 4 2 reemplazando 2 en cualquiera de las ecuaciones,
1 2 1
por 2 7 ejemplo en la 2da. ecuación obtenemos 3
Entonces (^) ( 9, 2,7 (^) ) = −3 1, 2, (^) ( − (^1) ) +2 6, 4, 2( ), es decir w =( 9, 2, 7)es combinación lineal de u^ =^ ( 1, 2,^ −^1 )^ y^ v =( 6, 4, 2). En forma similar trabajamos para ver si z^ =^ ( 4.^ −1,8) es una combinación lineal de u = ( 1, 2, − 1 ) y v =( 6, 4, 2). En efecto:
Definición 1.3.1. Sean v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 , , vk V , donde V es espacio vectorial sobre un cuerpo , a todo vector de la forma 1 1 (^2 2 3 )
k u = v + v + v + + k vk = (^) i = i vi
donde 1 , 2 , 3 , , k , se llama combinación lineal de v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 , , vk
Como (^) ( 1 + 1 ) (, 2 + 2 ) , , (^) ( (^) k + k ) , inferimos entonces que u + v W , es decir que u + v es una combinación lineal de v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 , , vk. Por consiguiente W es subespacio vectorial de V.
La demostración de la parte 2. del teorema la dejamos como ejercicio para el estudiante.
Sea X un subconjunto del espacio vectorial V. El subespacio vectorial de V generado por X es el conjunto de todas las combinaciones lineales
1 v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 + + m vm
de vectores v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 , , vm X
Ejercicio: Demostrar que S (^) ( X )es subespacio vectorial de V.
OBSERVACIONES IMPORTANTES:
1. El subespacio S (^) ( X )generado por el conjunto (^) X V , contiene al conjunto X , es decir X S (^) ( X ) , además, es el menor subespacio de V que contiene a X. Esto quiere decir, si F es un subespacio vectorial de V y X V entonces S ( X ) F. 2. Es evidente que, si X es ya un subespacio vectorial de V , entonces S ( X )= X. 3. Cuando el subespacio S (^) ( X (^) )= V , se dice que X es un conjunto de generadores de V.
Definición: 1.3.2. Sea X un subconjunto del espacio vectorial V. El subespacio vectorial de V generado por X es el conjunto de todas las combinaciones lineales
1 v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 + + m vm
de vectores v 1 , v 2 , v 3 , , vm X , donde 1 , 2 , 3 , , m .
Si denotamos a este subespacio^ S^ ( X ), tendremos que:
( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1
m
S X v v m vm i = i vi v v vm X m
= ^ + + + =
Definición: 1.3.3. Sea X un subconjunto del espacio vectorial V. Se dice X es un conjunto de generadores del espacio vectorial de V , si todo vector v V puede expresarse como una combinación lineal de vectores v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 , , vm X. Es decir:
v = 1 v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 + + m vm
de vectores v 1 , v 2 , v 3 , , vm X , donde 1 , 2 , 3 , , m .
EJEMPLOS:
1. Si (^) v V y (^) v 0 , el subespacio generado por v es la recta que pasa por el origen y que contiene a v. 2. Si u = (^) ( a,b (^) ) y v =( c,d)son vectores de =^2 donde ninguno de ellos es múltiplo del otro. Entonces (^) ad - bc 0 , de donde u 0 y v 0. Bajo estas consideraciones afirmamos que X = u v , es un conjunto de generadores de 2 , esto quiere decir que cualquier vector w = (^) ( p,q) ^2 se puede escribir como una combinación lineal de los vectores u = ( a,b ) y v =( c,d) en la forma w = u + v , para que suceda esto deben existir , . En efecto. La igualdad w = u + v equivale a las igualdades siguientes: a c p b d q
Este sistema de ecuaciones con incógnitas , posee una solución, dado que ad - bc 0 , esto quiere decir que ^ ^ , , tales que w^ =^ ^ u^ + v.
3. Sean los vectores canónicos en n : ( ) ( ) ( )
( )
1 2 3
n 0, 0, 0,^ ,
e e e
e
Estos vectores constituyen un conjunto de generadores del espacio n , es decir, cualquier vector (^) ( e e 1 , 2 (^) , e 3 , , en (^) ) n , se puede expresar como v = 1 1 e (^) + 2 e 2 (^) + 3 e 3 (^) + + n en
4. Dado el conjunto X = (^) ( 1,1,0 , 0,1,1) ( )^3 , el vector v = (^) ( 3,5, 2) S (^) ( X ); es decir el
vector v pertenece a S (^) ( X ), que es el subespacio generado por el conjunto X , este subespacio S ( X )es un plano de 3 cuya ecuación se puede determinar como sigue: Si ( x y z , , ) S X ( ) entonces , tal que: ( x y z^ ,^ ,^ ) =^ (1,1,0 )^ +^ ( 0,1,1)^ =^ ( ,^ + , ) de donde: x = , y = + , z =, resolviendo para yobtenemos:
