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3.2.3. Obtenci ´on del recorrido
Dada una transformaci ´on T : V → W, se pueden emplear dos distintos m´etodos para obtener el recorrido T (V) de T :
M´etodo 1: Empleando el Teorema 3.
- Seg ´un el Teorema 3.4 , se selecciona una base BV = {v¯ 1 , ¯v 2 ,... , v¯n} del dominio (por facilidad se prefiere la can ´onica).
- Las im´agenes de los vectores de la base del dominio constituyen un conjunto
generador del recorrido , GT (V) = {T (¯v 1 ), T (¯v 2 ),... , T (¯vn)}.
- El recorrido T (V) ser´a el espacio generado por el conjunto GT (V) (tal y como se estudio en el Tema 2), para ello hay que emplear el procedimiento estudiado en el tema de espacio rengl´on, y en caso de ser necesario, se debe emplear un isomorfismo para hallar el espacio generado por el conjunto
GT (V) (los isomorfismos que son de utilidad en este curso se encuentran en
la Subsecci ´on 2.2.1 ).
M´etodo 2: Empleando la regla de correspondencia Una manera sencilla de obtener el recorrido es empleando la regla de correspondencia.
3.2.4. Obtenci ´on de la imagen de un vector del dominio o de
la regla de correspondencia de una transformaci ´on lineal a
partir de la imagen de los vectores de una base del dominio
Dada una transformaci ´on lineal T : V → W, en este tipo de ejercicios se proporcionan las im´agenes de los vectores de una base del dominio :
T (¯v 1 ) = ¯w 1 T (¯v 2 ) = ¯w 2 .. . T (¯vn) = ¯wn
Los vectores vi constituyen una base del dominio : BV = {¯v 1 , v¯ 2 ,... , ¯vn}. Por lo cual, se puede obtener la imagen de un vector ¯v cualquiera del dominio, y por lo tanto, tambi´en la regla de correspondencia de una transformaci ´on lineal T. Para ello, hay que realizar el siguiente procedimiento:
- Este paso aplica unicamente´ cuando se desea obtener la regla de correspondencia : Se propone un elemento gen´erico v¯ del dominio de la transformaci ´on T.
- Se escribe el vector ¯v como combinaci ´on lineal de los vectores de la base BV y se calculan las escalares αi:
v ¯ = α 1 v¯ 1 + α 2 v¯ 2 + · · · + αn ¯vn
- Se aplica la transformaci ´on lineal en ambos lados de la combinaci ´on lineal obtenida en el paso 2:
T (¯v) = T (α 1 v¯ 1 + α 2 v¯ 2 + · · · + αn ¯vn) Se aplica el principio de superposici ´on en el lado derecho de la ecuaci ´on:
T (¯v) = T (α 1 ¯v 1 ) + T (α 2 v¯ 2 ) + · · · + T (αn v¯n) Se aplica el principio de homogeneidad en el lado derecho de la ecuaci ´on:
T (¯v) = α 1 T (¯v 1 ) + α 2 T (¯v 2 ) + · · · + αnT (¯vn)
- Se sustituyen las im´agenes de los vectores vi (las cuales son datos del problema) y las escalares αi calculadas en el paso 1, de este modo, se obtiene la imagen del vector ¯v: T (¯v) = α 1 w¯ 1 + α 2 w¯ 2 + · · · + αn w¯n
Nota : El paso cero , aplica ´unicamente en el caso en que se desea obtener la regla de correspondencia. Como T (¯v) es la imagen del vector v¯, y en este caso ¯v es un elemento gen´erico del dominio, entonces T (¯v) es la regla de correspondencia de la transformaci ´on T.
3.3. Matriz asociada a una transformaci ´on lineal con
dominio y codominio de dimensi ´on finita.
Teorema 3.6. Matriz asociada a una transformaci ´on lineal o representaci ´on matricial. Sean V y W dos espacios vectoriales con dimV = n y dimW = m; y sean A = {a¯ 1 , ¯a 2 ,... , ¯an} una base de V y B =
b 1 , ¯b 2 ,... , ¯bm
una base de W.
Si T : V → W es una transformaci ´on lineal , entonces existe una ´unica matriz MAB (T ), de m × n, denominada matriz asociada a la transformaci ´on T , tal que:
[T (¯v)]B = MAB (T )[¯v]A, ∀¯v ∈ V Donde las n columnas de dicha matriz, son los vectores de coordenadas en la base B , de las im´agenes de los vectores de la base A, es decir:
MAB (T ) = [[T (¯a 1 )]B [T (¯a 2 )]B · · · [T (¯an)]B] MAB (T ) =
α 11 α 12 · · · α 1 n α 21 α 22 · · · α 2 n .. .
αm 1 αm 2 · · · αmn
T (¯a 1 ) T (¯a 2 ) .. . T (¯an)
Luego, hay que escribir dichas im´agenes como combinaci ´on lineal de los vectores de la base B ( del codominio ), y calcular todas las escalares αij para cada una de las im´agenes T (¯aj ), es decir:
T (¯a 1 ) = α 11 ¯b 1 + α 21 ¯b 2 + · · · + αm 1 ¯bm T (¯a 2 ) = α 12 ¯b 1 + α 22 ¯b 2 + · · · + αm 2 ¯bm .. . T (¯an) = α 1 n¯b 1 + α 2 n¯b 2 + · · · + αmn¯bm
Entonces, con las escalares αij se obtienen los siguientes vectores de coordenadas:
[T (¯a 1 )]B =
α 11 α 21 .. . αm 1
, [T (¯a 2 )]B =
α 12 α 22 .. . αm 2
, · · · , [T (¯an)]B =
α 1 n α 2 n .. . αmn
Luego, la matriz MAB (T ) asociada a la transformaci ´on T ( representaci ´on matricial ) se define como:
MAB (T ) = [[T (¯a 1 )]B [T (¯a 2 )]B · · · [T (¯an)]B] Por lo que finalmente, se disponen los vectores de coordenadas como columnas de la matriz:
MAB (T ) =
α 11 α 12 · · · α 1 n α 21 α 22 · · · α 2 n .. .
αm 1 αm 2 · · · αmn
3.3.2. Obtenci ´on de la imagen de un vector del dominio o de la
regla de correspondencia a partir de la matriz asociada a una
transformaci ´on lineal
Sea T : V → W una transformaci ´on lineal. Empleando la matriz MAB (T ) asociada a T ( representaci ´on matricial ) se puede obtener la imagen de un vector v¯ cualquiera
del dominio, y por ende, tambi´en la regla de correspondencia. Para ello, hay que realizar el siguiente procedimiento:
- Este paso aplica unicamente´ cuando se desea obtener la regla de correspondencia : Se propone un elemento gen´erico v¯ del dominio de la transformaci ´on T.
- Se debe escribir el vector ¯v como combinaci ´on lineal de los vectores de la base A = {¯a 1 , ¯a 2 ,... , ¯an} del dominio, y se calculan las escalares αi:
¯v = α 1 ¯a 1 + α 2 ¯a 2 + · · · + αn¯an
Con las escalares αi se obtiene el vector de coordenadas de ¯v en la base A:
[¯v]A = (α 1 , α 2 , · · · , αn)T^ =
α 1 α 2 .. . αn
- Seg ´un el Teorema 3.6 , se puede obtener el vector de coordenadas de T (¯v) en la base B =
¯b 1 , ¯b 2 ,... , ¯bm
del codominio como el producto:
[T (¯v)]B = MAB (T )[¯v]A
El vector de coordenadas [T (¯v)]B contiene m escalares:
[T (¯v)]B = (β 1 , β 2 , · · · , βm)T^ =
β 1 β 2 .. . βm
- Con las escalares del vector de coordenadas, se obtiene T (¯v) como combinaci ´on lineal de los vectores de la base B:
T (¯v) = β 1 ¯b 1 + β 2 ¯b 2 + · · · + βm¯bm
Nota : El paso cero, aplica ´unicamente en el caso en que se desea obtener la regla de correspondencia. Adem´as T (¯v) es la imagen del vector ¯v, y en este caso ¯v es un elemento gen´erico del dominio, entonces T (¯v) es la regla de correspondencia de la transformaci ´on T.
MAB(T + S) = MAB(T ) + MAB(S)
M
A
B(αT^ ) =^ αM
A
B(T^ );^ ∀α^ ∈^ K
Dominio Codominio
Dominio Codominio
Escalares
Campo
Definici ´on 3.7. Composici ´on. Sean S : U → V y T : V → W dos transformaciones lineales. La operaci ´on T ◦ S es una transformaci ´on lineal de U en W definida por:
(T ◦ S)(¯u) = T [S (¯u)] ; ∀¯u ∈ U
Nota : Se requiere que la primera transformaci ´on que se aplica (en este caso S) tenga por codominio el dominio de la segunda transformaci ´on que se aplica (en este caso T ).
Teorema 3.9. Si S : U → V y T : V → W son transformaciones lineales , entonces T ◦ S es una transformaci ´on lineal.
Teorema 3.10. Si S : U → V y T : V → W son transformaciones lineales y A, B y C
son bases de U, V y W respectivamente, entonces:
M
A
C(T^ ◦^ S) =^ M
B
C(T^ )M
A
B(S)
3.4.1. Propiedades para la adici ´on y la multiplicaci ´on por un escalar
Teorema 3.11. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo K, y sean las transformaciones lineales : T : V → W S : V → W
Entonces:
T + S = S + T
(α + β)T = αT + βT ; ∀α, β ∈ K
α(T + S) = αT + αS; ∀α ∈ K
Nota : Las propiedades de las operaciones con transformaciones lineales son similares a las de las operaciones con matrices.
3.4.2. Propiedades de la composici ´on de transformaciones lineales
Teorema 3.12. Sean U, V, W y X espacios vectoriales sobre un campo K, y sean las transformaciones lineales : T : U → V
Dominio Codominio
Teorema 3.14. Sea V un espacio de dimensi ´on finita y T : V → W una transformaci ´on lineal. T −^1 existe si y s ´olo si dim V = dim W y N (T ) = {¯ (^0) V} (dimN (T ) = 0).
Nota : En otras palabras, este teorema establece que la transformaci ´on inversa existe si y s ´olo si la dimensi ´on del dominio y del codominio son iguales y el n ´ucleo contiene ´unicamente el vector cero (del dominio).
Teorema 3.15. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensi ´on finita, T : V → W una transformaci ´on lineal y A y B bases de V y W, respectivamente:
T −^1 existe, si y s ´olo si, MAB(T ) es no singular.
Si T −^1 existe, entonces MBA(T −^1 ) =
[
MAB(T )
]− 1
Nota : La matriz asociada a la transformaci ´on debe ser cuadrada para aspirar a tener inversa, eso implica que dimV = dimW. Adem´as, la inversa existe si el determinante de la matriz es distinto de cero.
Definici ´on 3.10. Sea T : V → W una transformaci ´on lineal , se dice que:
T es inyectiva , si y s ´olo si, el n ´ucleo de dicha transformaci ´on es de dimensi ´on cero. (dimN (T ) = 0)
T es sobreyectiva ( suprayectiva ), si y s ´olo si, la dimensi ´on del recorrido es igual a la dimensi ´on del codominio (dimT (V) = dimW). O bien, si la dimensi ´on del n ´ucleo es igual a cero (dimN (T ) = 0), entonces la transformaci ´on ser´a sobreyectiva , si la dimensi ´on del dominio es igual a la dimensi ´on del codominio (dimV = dimW).
T es biyectiva , si y s ´olo si, es inyectiva y sobreyectiva.
Teorema 3.16. Sea T : V → W una transformaci ´on. T −^1 existe si y s ´olo si T es biyectiva.
