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RELACIÓN DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA
1. Dadas las matrices:
y
y
y y Cy x
x
x Bx
a. Calcular el determinante de la matriz 3B(x) y obtener el valor de x para el que dicho determinante vale 162. b. Demostrar que la matriz C(y) no tiene inversa para ningún valor de y.
2. Sean las matrices
A ,B ,C ,D ; E
a. Hallar las matrices AB t
. ¿Es invertible? b. Hallar el rango de la matriz A t D.
c. Calcular
z
y
x M que verifique la ecuaciónA B C M E t .
3. Sean las matrices
A yB. Hallar una matriz X tal que XAX
- =B. 4. Demuestra la siguiente igualdad:
y x z x z y
x y z
x y z 2 2 2
5. Si 5
1 1 1
x y z , calcula sin desarrollar, el siguiente determinante: 1 1 1
2 x 2 y 2 z
6. Discute y resuelve el sistema según los valores del parámetro:
x my z
mx y m z m
x y z m
7. Considera la matriz
A.
a. Determina la matriz B A^2 2 A. b. Determina los valores de para los que la matriz B tiene inversa. c. Calcula B
8. Calcular todas las matrices X tales que AX BX, donde
A , B
9. Determinar todos los números reales x para los que es positivo el determinante
x
x x
x
10. Calcula dos números naturales a y b, menores que 10 y tales que la siguiente matriz A tenga
orden 2:
b
a
b
11. Escribe un ejemplo de una matriz de rango 2, con 3 filas y 4 columnas, que no tenga ningún
coeficiente nulo.
12. Sea A una matriz cuadrada de orden 3.
a. Si sabemos que 2 A 8 , ¿cuánto vale el determinante de A? Razona la respuesta.
b. Calcula para qué valores de x se cumple 2 A 8 , siendo A la matriz
x x
x
x A
13. Sea A una matriz cuadrada de orden 3. Sabemos que A 2. Calcula los siguientes
determinantes: a. 2 A
b. A^1
c. t A A
d. Determinante de la matriz obtenida al intercambiar las dos primeras columnas de A. e. Determinante de la matriz que se obtiene al sumar a la primera fila de A la segunda multiplicada por 2.
14. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el parámetro a:
x ay z a
x z
a x z
26. Estudia el rango de la matriz según los valores del parámetro m:
m m
m m
m m mm
A
27. Determina la matriz X que verifica AX B 2 X, siendo
A y B.
28. Considera la matriz
A
a. Calcula el determinante de las matrices 2ª, A 31 , (A 31 )
. 29. Determina a, b y c sabiendo que la matriz
b c
A a 1
verifica
A y
rango(A)=2.
30. Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que det A 7 y
que
A.
31. Considera la matriz
Mx x
x
donde x es un número real.
a. ¿Para qué valores de x existe
1 M x? Para los valores de x obtenidos, calcula
1 M x.
b. Resuelve, si es posible, M 3 M x M 5.
32. Resuelve la ecuación matricial B 2 AI AXAB, siendo:
A ; B ; I
33. Hallar los valores k para que la matriz
k k k
k k
k
k
a. No tenga inversa. b. Tenga rango 3.
34. Sean A y B matrices de orden nxn tales que A 3 y B 2. Calcula:
a. 2 A
b. B 2
c. AB
d. BAt
e.
t BA
f. t t t BAB
35. Sea
b a
b
a b A 1
. Determina a y b para que exista A^1 y calcúlala. 36. Estudiar los siguientes sistemas según los valores de los parámetros:
a.
^
mx m y m
m x m y m x b.
n x y n z
x ny z
x y z
37. Considera el sistema de ecuaciones:
x y z
mx y z z
x my z my
a. Discute las soluciones del sistema según los valores de m. b. Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.
38. Se sabe que el sistema de ecuaciones
y z a
x az
x ay 1
tiene una única solución.
a. Prueba que a ≠ 0. b. Halla la solución del sistema.
39. Considera el sistema de ecuaciones
kx y k
kx y k z
x ky k
a. Clasifica el sistema según los valores del parámetro a. b. Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.
40. Sabiendo que la matriz
a a
A
tiene rango 2, ¿cuál es el valor de a?
Ejercicio 6.- Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas
x y 2 y z
x y z 0
^
^
(a) [1'25 puntos] Clasifícalo según los distintos valores del parámetro .
(b) [1'25 puntos] Resuélvelo para 0 y 1.
Ejercicio 7.- Sea la matriz
A 2 1 2
1 k 1
(a) [1 punto] ¿Para qué valores del parámetro k no existe la inversa de la matriz A? Justifica tu
respuesta.
(b) [1’5 puntos] Para k 0 , resuelve la ecuación matricial
t X I A A, donde I denota la
matriz identidad y (^) At la matriz traspuesta de A.
Ejercicio 8.- Considera el sistema de ecuaciones
x y z 1 3y 2z 2 3 3x 1 y z
^ ^
(a) [1 punto] Resuelve el sistema para 1.
(b) [1 punto] Halla los valores de para los que el sistema tiene una única solución.
(c) [0'5 puntos] ¿Existe algún valor de para el que el sistema admite la solución
Ejercicio 9.- Considera el sistema de ecuaciones
x ky 2z k 1 x 2y kz 3 k 1 x y z k 2
^ ^
(a) [1'25 puntos] Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución.
(b) [0'5 puntos] ¿ Existe algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución?
(c) [0'75 puntos] Resuelve el sistema para k = 0.
Ejercicio 10.- Dada la matriz
A
, sea B la matriz que verifica que
AB
(a) [1 punto] Comprueba que las matrices A y B poseen inversas.
(b) [1'5 puntos] Resuelve la ecuación matricial A X^1 B BA.
Ejercicio 11.- Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una
calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el
estuche juntos. (a) [1’25 puntos] ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la
calculadora? Razona las respuestas.
(b) [1'25 puntos] Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50 %, un
20% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.
Ejercicio 12.- Considera el sistema de ecuaciones
x y kz 1 2x ky 1 y 2z k
^ ^ ^
^
(a) [1 punto] Clasifica el sistema según los valores del parámetro k.
(b) [0’75 puntos] Resuélvelo para k 1. (c) [0’75 puntos] Resuélvelo para (^) k 1.
