Análisis 1, Apuntes de Análisis Matemático

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D R A F T

AN ´ALISIS DE UNA VARIABLE REAL

Burjassot, 2016

Jos´e Juli´an Toledo Melero

Universitat de Val`encia

Departamento de An´alisis Matem´atico

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Cap´ıtulo 1

Los N´umeros Reales

No es objetivo del presente curso, ni por tanto de este tema, la construcci´on de los n´umeros reales, m´as bien la de presentar algunas de sus propiedades m´as notables.

1. Los n´umeros naturales

Al conjunto de los n´umeros naturales { 1 , 2 , 3 ,... } lo denotaremos por N, esto es, N = { 1 , 2 , 3 ,... }.

Este conjunto se caracteriza con una destacada propiedad:

Teorema 1.1 (Principio de Inducci´on). Si I ⊂ N satisface las siguientes dos propiedades (i.e., satisface el Principio de Inducci´on),

1. 1 ∈ I, y
2. si n ∈ I entonces n + 1 ∈ I, entonces I = N.

En la pr´actica este principio se usa de la siguiente manera. Supongamos que tenemos una propiedad P sobre n´umeros numeros naturales, si probamos que

1. P es cierta para 1,
2. y si de suponer que P es cierta para n (hip´otesis de inducci´on, HI), probamos que lo es para n + 1,

entonces P es cierta para todo n´umero natural.

De hecho, si llamamos I := {n ∈ N : P es cierta para n}, es f´acil ver que I cumple el Principio de Inducci´on.

Ejemplo 1.2. Probemos que

1 + 2 + 3 + · · · + n =

n(n + 1) 2

∀n ∈ N,

esto es, ∑n

k=

k =

n(n + 1) 2

∀n ∈ N.

Para ello llamemos P (n) a dicha propiedad. 3

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1. LOS N UMEROS REALES´ 5

Ahora bien, los n´umeros racionales est´an (estrictamente) incluidos dentro de un conjunto m´as grande llamado el conjunto de los n´umeros reales, al que denotamos por R y que introduciremos axiom´aticamente. No daremos una construcci´on del mismo, que se podr´ıa hacer por ejemplo a partir de Q, ni de que es el “´unico ” sistema num´erico satisfaciendo dichos axiomas.

2. Axiomatica de los n´umeros reales

Axiomas de cuerpo. Sobre R tenemos definidas dos operaciones (binarias), la suma

• : R × R → R (x, y) 7 → x + y,

y la multiplicaci´on (o producto)

· : R × R → R (x, y) 7 → x · y,

(en esta ´ultima operaci´on usaremos la notaci´on xy para x · y), que satisfacen los siguientes axiomas:

Axioma 1 (Leyes conmutativas). i.− x + y = y + x ∀x, y ∈ R. ii.− xy = yx

Axioma 2 (Leyes asociativas). i.− x + (y + z) = (x + y) + z ∀x, y, z ∈ R. ii.− x(yz) = (xy)z

Axioma 3 (Ley distributiva). x(y + z) = xy + xz ∀x, y, z ∈ R.

Axioma 4 (Existencia de elemento neutro y elemento unidad). Existen elementos distintos 0 , 1 ∈ R tales que

i.− 0 + x = x ∀x ∈ R. ii.− 1 · x = x

El numero 0 se denomina elemento neutro para la suma, y el n´umero 1, elemento unidad para el producto.

Axioma 5 (Existencia de elementos inversos). i.- Si x ∈ R existe un ´unico −x ∈ R tal que

x + (−x) = 0.

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1. LOS N UMEROS REALES´ 6

ii.- Si x ∈ R, x 6 = 0, entonces existe un ´unico x−^1 tal que

x · x−^1 = 1.

Denotaremos x−^1 como 1/x, y x + (−y) = x − y, (−x) + y = −x + y

x · y−^1 = xy.

Con estos axiomas se dice que (R, +, ·) es un cuerpo, y de ellos se deducen las leyes usuales de la Aritm´etica.

Axiomas de orden. En R hay un subconjunto P llamado conjunto de n´umeros positivos tal que:

Axioma 6. Los conjuntos P , { 0 } y −P = {−x : x ∈ P } son disjuntos y su uni´on es todo R.

Axioma 7. Si x, y ∈ P entonces i.− x + y ∈ P, ii.− x · y ∈ P.

A los elementos de P se les denomina n´umeros positivos y se utiliza la notaci´on x > 0 (´o 0 < x) si x ∈ P , y a los n´umeros de −P , n´umeros negativos, y se utiliza la notaci´on x < 0 (´o 0 > x) si x ∈ −P.

M´as adelante denotaremos P por R+.

Tambi´en utilizaremos la notaci´on x > y, x es mayor que y (o y < x, y es menor que x) cuando x − y ∈ P , y x ≥ y (x es mayor o igual que y) (o y ≤ x) cuando x − y ∈ P ∪ { 0 }; es decir estamos estableciendo un orden (o una estructura de orden) entre los n´umeros reales.

Ejercicio 2.1. Probar que si x, y ∈ −P entonces x · y ∈ P. Ejercicio 2.2. Probar que 1 > 0.

Con los axiomas de cuerpo y de orden se dice que R es un cuerpo ordenado(1), y de ellos se deducen las reglas usuales de las operaciones con desigualdades.

Ejercicio 2.3. Si x, y ∈ R son tales que x ≤ y + ε para todo ε > 0, entonces x ≤ y.

(1)(R, ≤) es un conjunto totalmente ordenado: ≤ es una relaci´on binaria de orden en R × R,

esto es, ≤ es reflexiva (x ≤ x), antisim´etrica (x ≤ y e y ≤ x implica x = y), transitiva (x ≤ y e y ≤ z implica x ≤ z) y con tricotom´ıa (si x, y ∈ R entonces ´o x ≤ y ´o y ≤ x, lo que la define como total). El axioma 7 nos dice que en (R, +, ·), la relaci´on de orden ≤ es compatible con la estructura de cuerpo (7i da compatibilidad con la suma y 7ii con el producto).

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1. LOS N UMEROS REALES´ 8

El hecho que distingue a los n´umeros reales de los dem´as cuerpos ordenados es el Principio (o axioma) del Supremo. Para introducir este axioma daremos primero alguna definci´on.

Definici´on 2.7 (Cota superior e inferior. Supremo e infimo). Sea E ⊂ R no vac´ıo. Diremos que b ∈ R es una cota superior (resp. inferior) de E si x ≤ b (resp. x ≥ b) para todo x ∈ E.

Si E tiene cota superior (resp. inferior) diremos que esta acotado superiormente (resp. inferiormente). Un conjunto se dice acotado si es acotado superior e inferior- mente.

Ejercicio 2.8. Probar que E ⊂ R es acotado sii existe M > 0 tal que |x| ≤ M para todo x ∈ E.

Si E est´a acotado superiormente se dice que s ∈ R es el supremo de E si es la menor de las cotas superiores, lo denotaremos por sup E, es decir,

s = sup E sii

x ≤ s ∀x ∈ E si x ≤ b ∀x ∈ E entonces s ≤ b.

Si E esta acotado inferiormente se dice que s ∈ R es el ´ınfimo de E si es la mayor de las cotas inferiores y lo denotaremos por ´ınf E, es decir,

s = ´ınf E sii

x ≥ s ∀x ∈ E si x ≥ b ∀x ∈ E entonces s ≥ b.

Axioma 8 (Principio del Supremo). Sea E ⊂ R, no vac´ıo, acotado superior- mente. Entonces E tiene supremo.

Ejercicio 2.9. Probar que si E ⊂ R es no vac´ıo y acotado inferiormente entonces E tiene ´ınfimo.

Probar que ´ınf E = − sup(−E),

donde −E = {−x : x ∈ E}.

Obviamente, si E est´a acotado superiormente sup E es ´unico, al igual que ´ınf E si E esta acotado inferiormente. Si E no esta acotado superiormente diremos que sup E = +∞, y si E no est´a acotado inferiormente diremos que ´ınf E = −∞.

Si s = sup E ∈ E se dice que s es el m´aximo de E, m´ax E, y si s = ´ınf E ∈ E se dice que s es el m´ınimo de E, m´ın E.

Si una cota superor (resp. inferior) de un conjunto est´a en el conjunto, dicha cota es el supremo (resp. ´ınfimo) y por tanto el m´aximo (resp. m´ınimo).

Ejercicio 2.10. Sea E = {x ∈ R : 1 ≤ x}. ´ınf E = 1 = m´ın E, sup E = +∞.

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1. LOS N UMEROS REALES´ 9

Se tiene la siguiente caracterizaci´on del supremo.

Proposici´on 2.11. Sea E ⊂ R, no vac´ıo y acotado superiormente.

s = sup E sii

x ≤ s ∀x ∈ E ∀ε > 0 ∃x ∈ E : x > s − ε.

Demostraci´on. Supongamos que s = sup E, entonces x ≤ s para todo x ∈ E. Por otra parte si existe  > 0 tal que, para todo x ∈ E, x ≤ s − , entonces s −  es una cota superior de E m´as peque˜na que el supremo s, que es imposible.

Al rev´es, sea r = sup E, entonces r ≤ s (ya que s es cota superior de E), y si no es igual entonces r − s > 0, y por tanto existe x ∈ E tal que x > s − (s − r) = r, que es imposible; por tanto s = r = sup E. 

Ejercicio 2.12. Enunciar y probar un resultado equivalente para el ´ınfimo.

2.1. Propiedad arquimediana de los n´umeros reales.

Teorema 2.13 (Propiedad arquimediana de los n´umeros reales). Sean x, y ∈ R, x > 0 , entonces existe n ∈ N tal que

nx > y.

Demostraci´on. Si no fuera cierto, E = {nx : n ∈ N} estar´ıa acotado superiormente. Sea s = sup E. Ahora como x > 0, por la Proposici´on 2.11 existe n ∈ N tal que nx > s − x, con lo que (n + 1)x > s, pero (n + 1)x ∈ E, lo cual es una contradicci´on con que s = sup E. (^2)

Podemos enunciar la Propiedad arquimediana de una forma equivalente como sigue:

“dado y ∈ R existe n ∈ N tal que n > y ”.

Corolario 2.14. Los n´umeros naturales no est´an acotados superiormente.

Demostraci´on. Elegir, en caso contrario, y = sup N y x = 1 en el Teorema 2.13 y llegar a una contradicci´on. (^2)

Teorema 2.15 (Principio de la buena ordenaci´on). Sea A ⊂ N, no vac´ıo. Entonces A tiene primer elemento, es decir, ´ınf A ∈ A.

Demostraci´on. Sea m un elemento de A. A tiene ´ınfimo pues 1 es cota inferior de A. Se tiene pues que 1 ≤ ´ınf A,

y si 1 ∈ A hemos terminado, pero si 1 ∈/ A entonces 2 es cota inferior de A (ya que a > 1 para todo a ∈ A y a es natural). Se tiene ahora que

2 ≤ ´ınf A,

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1. LOS N UMEROS REALES´ 11

Supongamos que xn^ < a, sea entonces 0 < ε < 1, ε < a−x n (3x)n^. Por la desigualdad (1.1), xn(1 + ε)n^ < xn(1 + 3nε) = xn^ + (3x)nε < a,

con lo que x(1 + ε) ∈ E, lo cual contradice que x = sup{E}.

As´ı xn^ ≥ a. Supongamos, pero, que xn^ > a. Sea ahora 0 < ε < 1, ε < x

n−a 3 na , entonces a(3nε + 1) < xn^ y por la desigualdad (1.1), a(1 + ε)n^ < xn, es decir,

a <

x 1 + ε

)n ,

pero como (^) 1+xε < x = sup{E}, existe t ∈ E tal que (^) 1+xε < t, luego a < tn^ que contradice que t ∈ E. Por tanto xn^ = a. (^2)

Como previamente hemos visto que no existe un racional cuyo cuadrado es 2, podemos ahora decirlo as´ı:

Corolario 2.19.

2 ∈/ Q.

El Axioma del Supremo es por tanto lo que diferencia a los n´umeros reales de los racionales. Por ejemplo, el conjunto {x ∈ Q : x > 0 , x^2 < 2 } est´a acotado superior- mente pero su supremo, que tambi´en es

2, no es racional. Antes de comprobar esto veamos la densidad de los racionales en R seg´un el orden.

2.4. Densidad seg´un el orden. Una importante propiedad de los n´umeros racionales, y de los irracionales, es su densidad en R (seg´un el orden), propiedad que expresamos en el siguiente resultado.

Teorema 2.20. Sean x, y ∈ R, x < y. Entonces existe z ∈ Q tal que x < z < y.

Y existe w ∈ R \ Q tal que x < w < y.

Demostraci´on. Por la propiedad arquimediana existe q ∈ N tal que 1/q < y − x. Por tanto 1 + qx < qy y as´ı

qx < [1 + qx] ≤ 1 + qx < qy,

es decir,

x <

[1 + qx] q

< y.

Para la densidad de los irracionales consideramos

2, que no es racional, y apli- cando lo anterior a x/

2 e y/

2, existe z ∈ Q tal que x √ 2

< z <

y √ 2

con lo que w =

2 z es el irracional (pru´ebese) buscado. (^2)

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1. LOS N UMEROS REALES´ 12

Veamos ahora que sup{x ∈ Q : x > 0 , x^2 < 2 } =

2 : evidentemente

sup{x ∈ Q : x > 0 , x^2 < 2 } ≤ sup{x ∈ IR : x > 0 , x^2 < 2 } =

Supongamos que r := sup{x ∈ Q : x > 0 , x^2 < 2 } <

2. Pero por la densidad probada antes, existe x ∈ Q tal que

r < x <

Con lo que

r^2 < x^2 < 2.

Por tanto x ∈ {x ∈ Q : x > 0 , x^2 < 2 } y r < x, lo cual contradice que r es el supremo de {x ∈ Q : x > 0 , x^2 < 2 }.

3. El Principio de encaje de intervalos de Cantor

Dados dos n´umero reales a y b, a ≤ b usaremos la siguiente notaci´on para los conjuntos descritos:

]a, b[= {x ∈ R : a < x < b}, intervalo (acotado) abierto de extremos a y b.

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, intervalo (acotado) cerrado de extremos a y b.

[a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b}, ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, intervalos (acotados) semiabiertos de extremos a y b.

]a, +∞[= {x ∈ R : x > a}, ] − ∞, b[= {x ∈ R : x < b}, intervalos (no acotados) abiertos.

[a, +∞[= {x ∈ R : x ≥ a}, ] − ∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}, intervalos (no acotados) cerrados.

] − ∞, +∞[= R.

Definici´on 3.1. Se define la longitud de cada uno de los intervalos acotados anteriores como b − a. La longitud de los intervalos no acotados es +∞.

Teorema 3.2 (Principio de encaje de intervalos de Cantor). Sea {In : n ∈ N} una familia de intervalos acotados y cerrados de R tal que In+1 ⊂ In para todo n ∈ N. Entonces (^) ⋂

n∈N

In 6 = ∅.

Adem´as, si dado ε > 0 cualquiera, existe n ∈ N tal que la longitud de In (long(In)) es menor que ε (2), entonces existe x ∈ R tal que ⋂

n∈N

In = {x}.

(2)Esto lo podemos describir como ´ınf{long(In) : n ∈ N} = 0.

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1. LOS N UMEROS REALES´ 14

o equivalentemente a 1 ≤ 10(x − a 0 ) < a 1 + 1.

Ahora, a 1 = [10(x − a 0 )] cumple con lo que queremos, y como 0 ≤ 10(x − a 0 ) < 10, tenemos que a 1 ∈ { 0 , 1 ,... , 9 }. El resto de ai se contruye similarmente. (^2)

El n´umero (ojo con la notaci´on) 0 , 10100100010000 ....

¿es racional o irracional?

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Cap´ıtulo 2

Sucesiones de N´umeros Reales

1. Definici´on de sucesi´on. Convergencia

Definici´on 1.1. Sea X un conjunto, una sucesi´on en X es una aplicaci´on f : N → X.

A xn = f (n) se le llama t´ermino n−´esimo de la sucesi´on f.

La sucesi´on suele escribirse como {x 1 , x 2 , x 3 ,... },

o tambi´en: {xn}∞ n=1, {xn}n∈N, {xn}n, {xn}.

A las sucesiones en R se les llama sucesiones de n´umeros reales.

En lo que sigue, si no se dice lo contrario, las sucesiones ser´an de n´umeros reales, aunque muchos de los enunciados que se presenten sean v´alidos en contextos m´as generales.

Ejemplos:

{xn}n = { 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ,... } es la sucesi´on de t´ermino general xn = 1 si n es impar, xn = 0 si n es par;

{xn}n = { 1 , − 1 , 1 , − 1 , 1 , − 1 ,... } es la sucesi´on de t´ermino general xn = (−1)n+1;

{xn}n = { 1 , 3 , 5 , 7 ,... } es la sucesi´on de t´ermino general xn = 2n − 1;

{xn}n = {−3.1, −3.1, −3.1, −3.1,... }, para la que xn = −3.1 para todo n ∈ N;

{xn} = {n}n = { 1 , 2 , 3 , · · · };

{xn}n = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ...} e {yn}n = { 2 , 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , ...} son diferentes;

{xn} = {n^2 }n = { 1 , 4 , 9 , 16 , · · · };

{xn} = { 2 n}n = { 2 , 4 , 8 , 16 ,... }; observar que x 1 = 2 y xn = 2xn− 1 para todo n ≥ 2;

{xn} =

n

n =^

{xn}n = { 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 1 , 3 , 3 , 3 , 1 , 4 , 4 , 4 , 4 ,... }, 15

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2. SUCESIONES DE N UMEROS REALES´ 17

Luego, sumando ambas expresiones (para un n mayor que n 0 y n 1 a la vez) llegamos a que

y − x <

y − x 2

lo cual es una contradicci´on. (^2)

Ejercicio 1.6. Modificar el razonamiento con  = y−αx para diversos α > 0.

Ejercicio 1.7. Probar que l´ım n

n

¿A qu´e converger´a

1 + (^1) n

)n} n? Teorema 1.8. Sean {xn}n∈N e {yn}n∈N sucesiones de numeros reales que con- vergen a x e y respectivamente. Si x < y entonces existe n 0 ∈ N tal que

xn < yn ∀n ≥ n 0.

Demostraci´on. Dado ε = y− 2 x> 0, por definici´on de convergencia,

∃n 1 ∈ N : xn − x <

y − x 2

∀n ≥ n 1 ,

∃n 2 ∈ N : y − yn <

y − x 2

∀n ≥ n 2.

Sumando ambas expresiones,

xn − yn < 0 ∀n ≥ n 0 = m´ax{n 1 , n 2 }. (^2) Corolario 1.9. 1. Si {xn}n∈N converge a x, x < y, entonces existe n 0 ∈ N tal que xn < y ∀n ≥ n 0.

2. Si {xn}n∈N e {yn}n∈N convergen a x e y respectivamente y xn ≤ yn ∀n ≥ n 0 ,

entonces x ≤ y.

Si xn < yn para todo n ≥ n 0 puede ocurrir que l´ımn xn = l´ımn yn.

2. Sucesiones acotadas

Definici´on 2.1. Una sucesi´on {xn}n∈N se dice que es acotada si existe a ∈ R tal que |xn| ≤ a para todo n ∈ N.

El n´umero a se llama cota de la sucesi´on. Si una sucesi´on est´a acotada tiene infinitas cotas, ¿verdad?

Por tanto, una sucesi´on {xn}n es acotada si ¡el conjunto {x 1 , x 2 ,... }! es acotado.

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2. SUCESIONES DE N UMEROS REALES´ 18

Teorema 2.2. Toda sucesi´on convergente es acotada.

Demostraci´on. Supongamos que {xn}n∈N converge a x. Dado ε = 1 existe n 0 ∈ N tal que

|xn − x| < 1 ∀n ≥ n 0 ,

y, por la desigualdad triangular,

|xn| < |x| + 1 ∀n ≥ n 0.

Por tanto, {xn}n∈N est´a acotada por

a := m´ax{|x 1 | ,... , |xn 0 − 1 | , |x| + 1}. (^2)

Ejemplo 2.3. Sea x ∈ R y k ∈ N.

1. Si |x| < 1 entonces l´ımn→∞ xn^ = 0.
2. Si |x| > 1 entonces {xn}n∈N es divergente.
3. l´ımn→∞ (^) n^1 k = 0.

Demostraci´on.

1. Supongamos que x 6 = 0 pues de lo contrario es obvio.

Sea α el ´ınfimo del conjunto {|xn| : n ∈ N} (¿es este conjunto acotado inferior- mente?) y veamos que α = 0: Supongamos, por el contrario, que α > 0. Como |x| < 1 entonces

α <

α |x|

y por definici´on de ´ınfimo existe n ∈ N tal que

|xn| <

α |x|

de donde |xn+1| < α, lo cual es una contradicci´on (¿por qu´e?).

De nuevo, por definici´on de ´ınfimo, dado ε > 0 = α, existe n 0 ∈ N tal que |xn^0 | ≤ ε,

y por ser |x| < 1,

|xn| = |x|n−n^0 |xn^0 | ≤ ε ∀n ≥ n 0 ,

luego xn^ converge a 0.

2. Supongamos primero que x > 1 con lo que, por la desigualdad de Bernoulli (ver (1.2) en Tema 2),

xn^ = (1 + x − 1)n^ > 1 + n(x − 1).

Como {n(x − 1)}n∈N no est´a acotada, tampoco lo est´a {xn}n∈N, y por tanto no es convergente.