Analisis III, Apuntes de Análisis Matemático

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An´alisis III

Joaqu´ın M. Ortega Aramburu

Septiembre de 1999

Actualizado en julio de 2001

• 1 Continuidad en el espacio eucl´ıdeo
  • 1.1 El espacio eucl´ıdeo Rn
    • 1.1.1 Distancias y l´ımites de sucesiones
    • 1.1.2 Ejercicios
  • 1.2 Conceptos topol´ogicos en Rn
    • 1.2.1 Interior, exterior y frontera. Conjuntos abiertos.
    • 1.2.2 Puntos adherentes, de acumulaci´on y aislados. Conjuntos cerrados.
      • brimientos 1.2.3 Conjuntos compactos por sucesiones y conjuntos compactos por recu-
    • 1.2.4 Ejercicios
  • 1.3 L´ımites de funciones
    • 1.3.1 Conceptos y propiedades fundamentales
    • 1.3.2 Ejercicios
  • 1.4 Funciones continuas
    • 1.4.1 Funciones continuas en un punto
    • 1.4.2 Funciones continuas en un conjunto
    • 1.4.3 Curvas y conexi´on
    • 1.4.4 Ejercicios
  • 1.5 Funciones uniformemente continuas.
    • 1.5.1 Conceptos y propiedades fundamentales
    • 1.5.2 Ejercicios
  • 1.6 Nota hist´orica
  • 1.7 Ap´endice. Espacios m´etricos
• 2 C´alculo diferencial en varias variables
  • 2.1 Derivadas direccionales. Diferencial
    • 2.1.1 Conceptos y propiedades fundamentales
    • 2.1.2 Derivadas de orden superior al primero
    • 2.1.3 Ejercicios
  • 2.2 Diferenciales de orden superior al primero. Formula de Taylor.
    • 2.2.1 Aplicaciones multilineales y diferenciales de orden superior al primero.
    • 2.2.2 La f´ormula de Taylor
    • 2.2.3 Extremos de una funci´on
  • 2.2.4 Ejercicios 4 ´INDICE GENERAL
• 2.3 El teorema de la funci´on inversa e impl´ıcita
  • 2.3.1 El teorema de la funci´on inversa
  • 2.3.2 El problema de la dependencia funcional
  • 2.3.3 El teorema de la funci´on impl´ıcita
  • 2.3.4 Subvariedades diferenciables en Rn
  • 2.3.5 Extremos condicionados. Los multiplicadores de Lagrange
  • 2.3.6 Ejercicios
• 2.4 Nota hist´orica
• 2.5 Derivaciones y diferenciales. Una introducci´on algebraica.

Cap´ıtulo 1

Continuidad en el espacio eucl´ıdeo

1.1 El espacio eucl´ıdeo Rn

1.1.1 Distancias y l´ımites de sucesiones

Denotaremos por Rn^ el espacio vectorial de las n-plas de n´umeros reales. Si x = (x 1 ,... , xn) e y = (y 1 ,... , yn) se define su producto escalar mediante la expresi´on

x · y =

∑^ n

i=

xiyi.

Este producto es lineal en cada factor, conmutativo y definido positivo. Esta ´ultima propiedad significa que x · x ≥ 0 y que s´olo es cero si x = 0. Veamos una importante desigualdad que a su vez permitir´a deducir una de las propiedades b´asicas de la distancia eucl´ıdea.

Teorema 1.1. Desigualdad de Schwarz

Para cada x, y ∈ Rn^ se cumple

|x · y| ≤ (x · x)

1 (^2) (y · y) 1 (^2).

Demostraci´on. Si uno de los vectores es 0 el resultado es trivial. Supongamos que ambos son no nulos. Para cada λ ∈ R se cumple

(x + λy) · (x + λy) ≥ 0.

Es decir x · x + 2λx · y + λ^2 y · y ≥ 0.

Se trata de un polinomio de segundo grado en λ que no toma valores negativos y por tanto su discriminante ser´a negativo o nulo

(x · y)^2 − (x · x) (y · y) ≤ 0.

1.1. EL ESPACIO EUCL´IDEO RN^7

Obs´ervese que las propiedades de la distancia son consecuencia de las propiedades de la nor- ma. Por tanto, cada norma dar´a lugar a una distancia que tendr´a las propiedades de la proposici´on anterior. As´ı, las nomas ‖‖∞ y ‖‖ 1 dar´an lugar a sendas nociones de distancia

d∞ (x, y) = ‖x − y‖∞ d 1 (x, y) = ‖x − y‖ 1

La noci´on de distancia permite definir la noci´on de entorno esf´erico y de l´ımite en Rn.

Definici´on 1.3. Se llama entorno esf´erico o bola de centro a y radio ε > 0 al conjunto

E (a, ε) = {x ∈ Rn; d (a, x) < ε}.

Cada distancia define entornos esf´ericos distintos asociados a la misma.

Ejemplo 1.2. El conjunto {x ∈ Rn; d∞ (a, x) < ε} consiste en los puntos x tales que |xk −ak| < ε para k = 1,... , n , es decir, se trata de un cubo centrado en a y de arista 2 ε.

Podemos definir la noci´on de l´ımite de una sucesi´on de elementos de Rn. Escribiremos los diferentes elementos de una sucesi´on mediante un super´ındice para no confundirlos con las coor- denadas de los elementos de Rn, que hemos denotado mediante sub´ındices.

Definici´on 1.4. Una sucesi´on {ai} , ai^ ∈ Rn^ se dice que tiene por l´ımite a ∈ Rn^ si para cada ε > 0 , existe i 0 tal que ai^ ∈ E (a, ε) para cada i > i 0. Lo escribiremos lim {ai} = a o simplemente {ai} → a.

Distancias distintas pueden dar lugar a nociones distintas de l´ımites. Sin embargo, en los ejemplos anteriores, la distancia eucl´ıdea y las distancias d∞ o d 1 dan lugar a la misma noci´on de l´ımite. Esto es consecuencia del siguiente lema.

Lema 1.4. Para cada x, y ∈ Rn^ se tiene

d∞ (x, y) ≤ d (x, y) ≤ d 1 (x, y) ≤ nd∞ (x, y).

Demostraci´on. La primera desigualdad se deduce de |xj − yj | ≤

(∑ k (xk^ −^ yk)

2 )^1 /^2. La segun-

da se deduce de

∑ k (xk^ −^ yk)

k |xk^ −^ yk|)

(^2). La tercera desigualdad se obtiene acotando

|xk − yk| por supj=1,...,n |xj − yj | ∑

k

|xk − yk| ≤ n sup j=1,...,n

|xj − yj |.

Teorema 1.5. Las tres distancias d, d∞, d 1 dan la misma noci´on de l´ımite de una sucesi´on.

Demostraci´on. Si lim {ai} = a respecto a la distancia d∞ se tiene que para cada ε > 0 , existe i 0 tal que para i > i 0 , d∞ (ai, a) < εn. Se cumplir´a entonces d 1 (ai, a) < ε y d (ai, a) < ε como consecuencia del lema. Por lo tanto lim {ai} = a respecto a d 1 y respecto a d. Rec´ıprocamente, del mismo lema se deduce que el l´ımite respecto a la distancia d o d 1 implica el l´ımite respecto a la distancia d∞.

8 CAP´ITULO 1. CONTINUIDAD EN EL ESPACIO EUCL´IDEO

Teorema 1.6. Una sucesi´on {ai} tiene por l´ımite a si y s´olo si cada una de las sucesiones coordenadas {aik} , k = 1,... , n tiene por l´ımite ak , la correspondiente coordenada del l´ımite.

Demostraci´on. Es consecuencia de las desigualdades del lema

|xj − yj | ≤ d (x, y) ≤

∑^ n

k=

|xk − yk| , j = 1,... , n.

Si {ai} → a, la primera desigualdad da que {aik} → ak, k = 1,... , n. Rec´ıprocamente, si para cada k = 1,... , n {aik} → ak, la segunda desigualdad da {ai} → a.

Ejemplo 1.3. La sucesi´on

{( 2 n+ n ,^

sin n n

)} tiene por l´ımite (2, 0) puesto que

{ 2 n+ n

} → 2 y { sin n n

} → 0. Esta propiedad permite probar propiedades de los l´ımites de sucesiones de elementos de Rn^ a partir de sus an´alogas para l´ımites de n´umeros reales. As´ı obtendremos los siguientes corolarios.

Corolario 1.7. Si una sucesi´on de puntos de Rn^ tiene l´ımite, ´este es ´unico.

Demostraci´on. Supongamos que {ai} → a y que {ai} → b. La sucesi´on de las coordenadas k− esimas de ´ {ai} tendr´a por l´ımite tanto ak como bk. Por la unicidad de los l´ımites de sucesiones de n´umeros reales ak = bk para cada k y, por tanto, a = b.

Si definimos una suma de sucesiones y un producto de sucesiones por escalares en la forma {ai} + {bi} = {ai^ + bi} , λ {ai} = {λai} se tiene la siguiente proposici´on.

Corolario 1.8. Sean dos sucesiones de elementos de Rn^ que tengan l´ımite {ai} → a y {bi} → b y sea λ ∈ R. Se tiene (^) { ai

}

{ bi

} → a + b, λ

{ ai

} → λa.

Demostraci´on. Como en el corolario anterior, es suficiente considerar las correspondientes suce- siones de coordenadas y tener en cuenta las propiedades an´alogas para las sucesiones de n´umeros reales.

Corolario 1.9. Sea {ai} una sucesi´on de elementos de Rn^ que tenga por l´ımite a. Toda sucesi´on parcial {aij^ } tiene el mismo l´ımite.

Demostraci´on. Cada una de las sucesiones coordenadas

{ a ij k

} por ser una sucesi´on parcial de

{aik} tendr´a por l´ımite ak. Por lo tanto {aij^ } tendr´a por l´ımite a.

Es natural definir en Rn^ el concepto de sucesi´on de Cauchy.

Definici´on 1.5. Una sucesi´on {ai} , ai^ ∈ Rn^ se dice de Cauchy si para cada ε > 0 existe i 0 tal que si i, j > i 0 , d (ai, aj^ ) < ε.

10 CAP´ITULO 1. CONTINUIDAD EN EL ESPACIO EUCL´IDEO

1.2 Conceptos topol´ogicos en Rn

Como primera aproximaci´on se puede decir que la topolog´ıa es el estudio de las propiedades que permanecen invariantes en un espacio a trav´es de aplicaciones biyectivas del espacio con- sigo mismo tales que, tanto ellas como sus inversas, transformen puntos pr´oximos en puntos pr´oximos. Esto implica poder hablar de proximidad. En los espacios eucl´ıdeos puede hacerse a partir de la noci´on de distancia, y de aplicaci´on que transforma puntos pr´oximos a uno dado en puntos arbitrariamente pr´oximos a su imagen, es decir, de aplicaci´on continua. En esta secci´on trataremos de los conceptos b´asicos y de algunas de estas propiedades topol´ogicas en el contexto de los espacios eucl´ıdeos.

1.2.1 Interior, exterior y frontera. Conjuntos abiertos.

Definici´on 1.6. Sea A un subconjunto de Rn_. Un punto_ a ∈ Rn^ se dice que es interior (resp. exterior) al conjunto si existe un entorno esf´erico, de centro a , E (a, ε) contenido en el conjunto A (resp. contenido en Rn^ − A ). Un punto que no es interior ni exterior, es decir, que para cada E (a, ε) existen puntos del conjunto A y de su complementario se dice que pertenece a la frontera de A_. El conjunto de los puntos interiores a_ A lo denotaremos por A◦.

Obviamente se verifica que A◦^ ⊂ A. Un tipo particularmente importante de conjuntos son aquellos que coinciden con su interior.

Definici´on 1.7. Un conjunto A se dice abierto si todo punto de A es interior a A , es decir si A◦^ = A.

Ejemplo 1.4. 1. Los entornos esf´ericos E (a, ε) son conjuntos abiertos. En efecto, veamos que todo punto x ∈ E (a, ε) es interior al conjunto. Si llamamos η = d (x, a) < ε tendre- mos que E (x, ε − η) ⊂ E (a, ε) puesto que si y ∈ E (x, ε − η)

d (y, a) ≤ d (y, x) + d (x, a) < ε − η + η = ε

y por tanto y ∈ E (a, ε).

2. Los conjuntos formados por un n´umero finito de puntos no son abiertos.

Las propiedades esenciales de los conjuntos abiertos se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 1.10. 1. Los conjuntos Rn^ y φ son conjuntos abiertos.

2. Si Ai es una colecci´on de conjuntos abiertos, ∪iAi _es un conjunto abierto.

3. Si_ A 1 ,... , Am es un n´umero finito de conjuntos abiertos, ∩mi=1Ai es un abierto.

Demostraci´on. 1. Es obvio que todos los puntos de Rn^ son interiores y que el conjunto vac´ıo φ tiene todos sus puntos (no existe ninguno) interiores.

2. Si a ∈ ∪iAi para alg´un j se tiene que a ∈ Aj y, por ser ´este abierto, existe ε > 0 tal que E (a, ε) ⊂ Aj ⊂ ∪iAi. Por tanto a es interior a ∪iAi.

1.2. CONCEPTOS TOPOL ´OGICOS EN RN^11

3. Sea a ∈ ∩mi=1Ai. Para cada i, a ∈ Ai y, por ser estos conjuntos abiertos, existir´an εi > 0 tales que E (a, εi) ⊂ Ai. Tomando ε = min {ε 1 ,... , εm} > 0 tendremos E (a, ε) ⊂ ∩mi=1Ai. Por tanto a es interior al conjunto intersecci´on.

Obs´ervese que, en general, la intersecci´on de infinitos conjuntos abiertos no es un conjunto abierto.

Ejemplo 1.5. 1. Los intervalos

( − (^) n^1 , (^) n^1

) son subconjuntos abiertos de R, pero su intersec- ci´on es el conjunto { 0 } que no es un conjunto abierto.

2. Los conjuntos abiertos de R tienen una descripci´on especialmente simple. Los intervalos abiertos, las semirrectas abiertas, R y φ son conjuntos abiertos. Todo conjunto abierto de R es una uni´on finita o numerable de conjuntos disjuntos dos a dos del tipo anterior. En efecto, si A es un abierto no vac´ıo y a ∈ A se considera M = {x ∈ R, [a, x] ⊂ A}. Si M no est´a acotado, [a, +∞) est´a contenido en A. Si est´a acotado y S = sup M, [a, S) est´a contenido en A y S /∈ A. An´alogamente se considera el conjunto

N = {x ∈ R, [x, a] ⊂ A} ,

distingui´endose el caso acotado y no acotado. De esta forma se llega f´acilmente a la con- clusi´on de que A es uni´on de intervalos abiertos, semirrectas abiertas o todo R disjuntos dos a dos. Tomando un n´umero racional en cada una de estas componentes y sabiendo que los n´umeros racionales forman un conjunto numerable se concluye la finitud o nume- rabilidad del conjunto de componentes.

Los conjuntos de la forma E (a, ε) son conjuntos abiertos que contienen el punto a y les hemos llamado entornos esf´ericos de a. A un conjunto abierto que contiene un punto a se le llama tambi´en un entorno abierto de a.

Ejemplo 1.6. El concepto de l´ımite de una sucesi´on puede expresarse en t´erminos de conjuntos abiertos o de entornos. Es f´acil verificar que {ai} → a si y s´olo si para cada entorno abierto U de a existe i 0 tal que ai^ ∈ U si i > i 0. En efecto, supongamos que {ai} → a. Puesto que a ∈ U y ´este es abierto, existir´a ε > 0 tal que E (a, ε) ⊂ U. De la definici´on de l´ımite de un sucesi´on, existe i 0 tal que si i > i 0 , ai^ ∈ E (a, ε) ⊂ U_. Por tanto vale la condici´on en t´erminos de entornos. En sentido contrario es trivial ya que_ E (a, ε) es un entorno abierto de a.

Una propiedad que se cumple para los puntos de un entorno de un punto determinado se le suele denominar una propiedad local. As´ı, se suele decir que una funci´on definida en un conjunto tiene un m´aximo local en a si existe un entorno de a (siempre se podr´a suponer esf´erico) tal que la funci´on restringida a este entorno toma su m´aximo en a. M´as adelante veremos en detalle ´este y otros conceptos en que es importante considerar propiedades referidas ´unicamente a un cierto entorno de un punto.

1.2. CONCEPTOS TOPOL ´OGICOS EN RN^13

Ejemplo 1.8. El subconjunto [a, b] de R es cerrado. El subconjunto [a, +∞) es cerrado. El subconjunto de R formado por los elementos de la forma (^) m^1 para m ∈ N uni´on con { 0 } es cerrado.

La proposici´on siguiente resume algunas de las propiedades esenciales de los conjuntos ce- rrados.

Teorema 1.13. 1. Los conjuntos Rn^ y φ son cerrados.

2. Si Ci es una colecci´on de cerrados, ∩iCi _es cerrado.

3. Si_ C 1 ,... , Cm es una colecci´on finita de cerrados, C 1 ∪... ∪ Cm es cerrado.

Demostraci´on. 1. Es una consecuencia inmediata de la definici´on.

2. Sea p un punto de ∩iCi. Para cada ε > 0 , E (p, ε) ∩ (∩iCi) 6 = φ. Por tanto, para cada i, E (p, ε) ∩ Ci 6 = φ y por ser Ci cerrado, p ∈ Ci. Luego p ∈ ∩iCi y este conjunto es cerrado.
3. Sea p ∈ C 1 ∪... ∪ Cm. Veamos que p ∈ C 1 ∪... ∪ Cm. Si no fuese as´ı, p no pertenecer´ıa a ning´un Ci que, por ser cerrado coincide con Ci. Existir´ıan entonces εi > 0 tal que E (p, εi) ∩ Ci = φ, i = 1,... , n. Tomando ε = min {ε 1 ,... , εm} , ser´a ε > 0 y tendremos E (p, ε) ∩ (C 1 ∪... ∪ Cm) = φ, en contradicci´on con la hip´otesis de ser p ∈ C 1 ∪... ∪ Cm. As´ı pues, C 1 ∪... ∪ Cm coincide con su adherencia.

La relaci´on entre conjuntos cerrados y conjuntos abiertos se expresa en la siguiente proposi- ci´on.

Teorema 1.14. Un subconjunto de Rn^ es abierto si y s´olo si su complementario es cerrado.

Demostraci´on. Sea A un conjunto abierto. Veamos que su complementario C = Rn^ − A es cerrado. Consideremos p ∈ C, veamos que p ∈ C o, lo que es equivalente p /∈ A. Si perteneciese, por ser A abierto existir´ıa E (p, ε) ⊂ A, es decir E (p, ε) ∩ C = φ con lo que p no pertenecer´ıa a C. Rec´ıprocamente, partamos ahora de un conjunto C cerrado. Se trata de ver que su comple- mentario A = Rn^ − C es abierto. Sea entonces a ∈ A. Tendremos que a /∈ C = C y por tanto existir´a ε > 0 tal que E (a, ε) ∩ C = φ. Esto equivale a decir que E (a, ε) ⊂ A y a es interior a A.

Esta proposici´on permite deducir las propiedades de los conjuntos abiertos a partir de la de los cerrados o la de los cerrados a partir de los abiertos. Por ejemplo, veamos c´omo se puede obtener la propiedad 2 del teorema 1.13 sobre cerrados a partir de la propiedad 2 del teorema 1.10 sobre abiertos. Sean Ci una colecci´on de cerrados, sus complementarios Rn^ − Ci son abiertos. De acuerdo con la proposici´on 1.10, ∪i (Rn^ − Ci) es un abierto y su complementario ser´a un cerrado. Este complementario es Rn^ − (∪i (Rn^ − Ci)) = ∩iCi y por tanto vale 2 de la proposici´on 1.13. Cuando estudiemos las aplicaciones cont´ınuas, una propiedad importante que utilizaremos en varias ocasiones es que para cada sucesi´on de un conjunto, exista una sucesi´on parcial que

14 CAP´ITULO 1. CONTINUIDAD EN EL ESPACIO EUCL´IDEO

tenga l´ımite un punto del propio conjunto. Los conjuntos que cumplen esta propiedad ser´an el objeto del pr´oximo apartado.

1.2.3 Conjuntos compactos por sucesiones y conjuntos compactos por re-

cubrimientos

Definici´on 1.11. Un subconjunto K de Rn^ se dice que es compacto por sucesiones si para cada sucesi´on de elementos de K existe una sucesi´on parcial que tiene por l´ımite un punto del propio conjunto K.

Ejemplo 1.9. 1 Todo el espacio Rn^ no es un conjunto compacto por sucesiones. Podemos cons- truir una sucesi´on tal que d (ai, aj^ ) ≥ 1 para cada i, j. Ninguna sucesi´on parcial de ´esta podr´a tener l´ımite pues no ser´a de Cauchy.

2. [a, b] es un subconjunto de R que es un compacto por sucesiones. En efecto, dada una sucesi´on, {ai} , ai^ ∈ [a, b] , por el teorema de Bolzano Weierstrass, existe una sucesi´on parcial convergente. El l´ımite, por ser [a, b] cerrado, ser´a del propio conjunto.

Se trata ahora de dar una descripci´on de los conjuntos compactos por sucesiones.

Definici´on 1.12. Un subconjunto de Rn^ se dice acotado si est´a contenido en un conjunto de la forma [a 1 , b 1 ] ×... × [an, bn]. Es equivalente a decir que est´a contenido en un entorno esf´erico, es decir, existe un k tal que ‖a‖ ≤ k para todo a del conjunto.

Teorema 1.15. Un subconjunto K de Rn^ es compacto por sucesiones si y s´olo si es cerrado y acotado.

Demostraci´on. Supongamos en primer lugar que K es cerrado y acotado. Tendremos que K estar´a contenido en un conjunto de la forma [a 1 , b 1 ] ×... × [an, bn]. Sea ahora {ci} una sucesi´on de elementos de K. Consideremos la sucesi´on de las primeras coordenadas {ci 1 }. Sus elementos pertenecer´an al intervalo [a 1 , b 1 ]. Por el teorema de Bolzano Weierstrass existir´a una sucesi´on

parcial convergente

{ ci 1 j

}

. Consideremos la sucesi´on de puntos de K correspondiente a esta su-

cesi´{ on parcial {cij^ }. Tomemos a continuaci´on la sucesi´on de las segundas coordenadas de ´esta

c ij 2

}

. Aplicando el teorema de Bolzano Weierstrass, en el intervalo [a 2 , b 2 ] existir´a una suce-

si´on parcial de

{ c ij 2

} que ser´a convergente. Sea la correspondiente sucesi´on de puntos

{ cijk

} . Ser´a una sucesi´on parcial de la dada tal que las sucesiones de las primeras y de las segundas coordenadas ser`an convergentes. Tomaremos ahora la sucesi´on de las terceras coordenadas de est´a sucesi´on y continuaremos el proceso. Aplicando n veces el teorema de Bolzano Weierstrass llegamos a probar la existencia de una sucesi´on parcial de la dada tal que todas las sucesiones de sus coordenadas son convergentes y que, por tanto, es convergente como sucesi´on de puntos. El l´ımite de esta sucesi´on, por ser K cerrado, pertenecer´a al conjunto K. Hemos probado que el conjunto K es compacto por sucesiones. Partimos ahora de un conjunto K compacto por sucesiones. Se trata de ver que es cerrado y acotado.

16 CAP´ITULO 1. CONTINUIDAD EN EL ESPACIO EUCL´IDEO

y consideremos E (p^1 , δ). Si K est´a contenido en E (p^1 , δ) , hemos terminado. Si no es as´ı consideremos un punto p^2 ∈ K y p^2 ∈ E/ (p^1 , δ). Si K ⊂ E (p^1 , δ)∪E (p^2 , δ) habr´ıamos acabado. Si no es as´ı consideremos p^3 ∈ K y p^3 ∈ E/ (p^1 , δ) ∪ E (p^2 , δ). El proceso no puede prolongarse indefinidamente ya que de lo contrario tendr´ıamos una sucesi´on {pm} de elementos de K tales que d (pm, pr) ≥ δ y, puesto que toda sucesi´on convergente es de Cauchy, no podr´ıa existir ninguna sucesi´on parcial convergente, en contradicci´on con la hip´otesis sobre K. El tercer paso consiste en aplicar los dos anteriores para obtener un recubrimiento parcial y finito del dado. Por el primer paso existe ε > 0 tal que para cada p ∈ K existe Aj tal que E (p, ε) ⊂ Aj. Apliquemos a este ε el segundo paso. Sea K ⊂ E (p^1 , ε) ∪... ∪ E (pm, ε). Para cada i = 1,... , m existe Aji tal que E (pj^ , ε) ⊂ Aji. Tendremos que Aj 1 ,... , Ajm es un recubrimiento parcial y finito del dado. Veamos ahora el teorema rec´ıproco. Suponemos que K es compacto y queremos ver que es compacto por sucesiones. Sea {pm} una sucesi´on de puntos de K. Se trata de probar que una sucesi´on parcial tiene por l´ımite un punto de K. Si no fuese as´ı, ning´un a ∈ K ser´ıa l´ımite de una sucesi´on parcial. Luego, fijado a, existir´ıa ε > 0 y un natural ma tal que pm^ no pertenecer´ıa a E (a, ε) para m > ma. De lo contrario existir´ıa pi^1 ∈ E (a, 1), a continuaci´on un pi^2 ∈ E

( a, (^12)

)

con i 2 > i 1 y, en general, pin^ ∈ E

( a, (^) n^1

) con in > in− 1. La sucesi´on pij^ tendr´ıa por l´ımite a. Si hacemos lo propio con cada punto de K tendremos un recubrimiento abierto formado por los conjuntos E (a, ε). Existir´a un recubrimiento parcial y finito, es decir tal que

K ⊂ E

( a^1 , ε

) ∪... ∪ E (ar, ε).

Tomando m > max {ma 1 ,... , mar } tendremos que pm^ ∈/ K. Hemos llegado a contradicci´on.

1.2.4 Ejercicios

1. Halla la adherencia, el interior y la frontera de los siguientes conjuntos: a) {(x, y) ∈ R^2 ; 0 < x ≤ 1 , 2 ≤ y < 3 }. b) {(x, y) ∈ R^2 ; x^2 + y^2 < 2 }. c) Qn^ en Rn. d) {(x, y) ∈ R^2 ; y = 0}.
2. Averigua cuales de los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados o de ninguno de estos dos tipos. a) En R los n´umeros de la forma (^1) n + (^) m^1 para n, m ∈ N. b) {(x, y) ∈ R^2 ; y ≥ x^2 }. c) {(x, y) ∈ R^2 ; x^2 + y^2 = 4}. d) {x ∈ Rn; ‖x‖ ≤ 1 }.
3. Prueba que la adherencia del interior de {x ∈ Rn; d (x, a) ≤ 1 } es el mismo conjunto.

1.3. L´IMITES DE FUNCIONES 17

4. Da un ejemplo de un conjunto cerrado que la adherencia del interior no coincida con el conjunto.
5. Prueba las siguientes relaciones: a) (A◦)◦^ = A◦. b) A◦^ = Rn^ − (Rn^ − A). c) (Rn^ − A)◦^ = Rn^ − A.
6. Prueba que si A ⊂ Rn^ el conjunto B = {x ∈ Rn; d(x, A) ≤ 1 } es un conjunto cerrado. Dar un ejemplo de un conjunto A en que B◦^ no coincide con {x ∈ Rn; d(x, A) < 1 }.
7. Da un ejemplo de dos conjuntos A y B de interior vac´ıo y tal que el interior de la uni´on sea {(x, y) ∈ R^2 ; 0 < x < 1 }.
8. Averigua cuales de los siguientes conjuntos son compactos. a) {(x, y) ∈ R^2 ; y = x^2 , 0 ≤ x ≤ 1 }. b) {(x, y, z) ∈ R^3 ; x^2 + 3y^2 + 2z^2 ≤ 4 }. c) {(x, y) ∈ R^2 ; xy = 1}. d) {(x, y) ∈ R^2 ; 0 < x^2 + y^2 ≤ 2 }.
9. Da un ejemplo de un recubrimiento abierto de (0, 1) tal que no admite ning´un recubrimien- to parcial y finito.
10. Sea A ⊂ K con K un conjunto compacto. Prueba que la frontera de A es un conjunto compacto.
11. Prueba que la uni´on de un n´umero finito de conjuntos compactos es compacto. Da un ejemplo de una uni´on de infinitos compactos que sea un conjunto acotado pero no com- pacto.
12. Prueba que si A es un conjunto abierto de Rn^ entonces el interior de la frontera de A es vac´ıo
13. Prueba que si K 1 y K 2 son dos compactos de Rn^1 y Rn^2 respectivamente, entonces K 1 ×K 2 es un compacto de Rn^1 +n^2.

1.3 L´ımites de funciones

1.3.1 Conceptos y propiedades fundamentales

Sea f una funci´on definida en un conjunto D ⊂ Rn^ a valores en Rm. La idea intuitiva de l´ımite de f cuando x tiende a un punto a ∈ Rn^ es el de la existencia de un l ∈ Rm^ tal que que los valores de f (x) est´en arbitrariamente pr´oximos a l siempre que se tome x ∈ D, x 6 = a

1.3. L´IMITES DE FUNCIONES 19

to (x, y) en la forma x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. Tendremos f (x, y) = ρ

(^3) cos ϕ sin (^2) ϕ ρ^2 = ρ cos ϕ sin^2 ϕ. De esta forma si d ((x, y) , (0, 0)) = ρ < δ = ε se obtendr´a |f (x, y)| < ε.

La siguiente proposici´on permite reducir el estudio de l´ımites de funciones a valores en Rm al de funciones a valores n´umeros reales.

Teorema 1.18. Sea f una funci´on definida en un conjunto D ⊂ Rn^ a valores en Rm^ y sea a ∈ Rn^ un punto de acumulaci´on de D. Llamemos f 1 ,... , fm a las m funciones coordenadas de f. Entonces limx→a f (x) = l si y s´olo si para cada i = 1,... , m se cumple limx→a fi (x) = li.

Demostraci´on. Es suficiente considerar la definici´on II de l´ımite y tener en cuenta que una su- cesi´on tiene l´ımite si y s´olo si la sucesi´on de cada una de las coordenadas tiene por l´ımite la correspondiente coordenada del l´ımite.

Veamos algunas propiedades elementales de los l´ımites. Tanto los enunciados como sus demostraciones son enteramente an´alogos a los de las funciones de una variable.

Teorema 1.19. Sea f una funci´on definida en un conjunto D ⊂ Rn^ a valores en Rm^ y sea a un punto de acumulaci´on de D. Si existe limx→a f (x) , ´este es ´unico.

Demostraci´on. Supongamos que limx→a f (x) = l y que limx→a f (x) = r. Consideremos una sucesi´on {xi} → a, xi^ ∈ D, xi^6 = a. Tendremos que {f (xi)} → l y, al tiempo, {f (xi)} → r. Dada la unicidad de los l´ımites de las sucesiones, l = r.

Teorema 1.20. Sean f y g dos funciones definidas en un conjunto D ⊂ Rn^ a valores en Rm^ y sea a un punto de acumulaci´on de D_. Si existen_ limx→a f (x) = l 1 , limx→a g (x) = l 2 , entonces

limx→a (f + g) (x) = l 1 + l 2.

Si m = 1

xlim→a (f g) (x) =^ l^1 l^2.

Si, adem´as g (x) es no nulo para todo x y l 2 6 = 0,

x^ lim→a

f (x) g (x)

l 1 l 2

Demostraci´on. Se reduce, como en la proposici´on anterior, a las propiedades an´alogas para los l´ımites de sucesiones. Veamos por ejemplo la primera propiedad. Consideremos una suce- si´on {xi} → a, xi^ ∈ D, xi^6 = a. Tendremos {f (xi)} → l 1 y {g (xi)} → l 2. De aqu´ı que {(f + g) (xi)} → l 1 + l 2. Puesto que esto vale para toda sucesi´on {xi} → a, xi^ ∈ D, xi^6 = a tendremos que limx→a (f + g) (x) = l 1 + l 2.

20 CAP´ITULO 1. CONTINUIDAD EN EL ESPACIO EUCL´IDEO

Teorema 1.21. 1. Sean f y g dos funciones definidas en un conjunto D ⊂ Rn^ a valores en R y sea a un punto de acumulaci´on de D_. Supongamos que para todo_ x ∈ D se cumple que f (x) ≤ g (x) y que existen limx→a f (x) = l 1 , limx→a g (x) = l 2 , entonces l 1 ≤ l 2.

2. Sean f, g, h tres funciones definidas en D ⊂ Rn^ a valores en R , tales que para cada x ∈ D se cumple f (x) ≤ h (x) ≤ g (x) y que limx→a f (x) = limx→a g (x) = l. Entonces limx→a h (x) = l.

Demostraci´on. Veamos 1. Sea {xi} → a, xi^ ∈ D, xi^6 = a. Tendremos f (xi) ≤ g (xi) y por tanto l 1 ≤ l 2. De una forma an´aloga se prueba 2.

Para las funciones de varias variables a valores en R pueden darse, como en el caso de funciones de una sola variable, la noci´on de que una funci´on tenga por l´ımite +∞, −∞ o ∞. Por ejemplo sea f una funci´on definida en D ⊂ Rn^ y a un punto de acumulaci´on de D. Se dir´a que el l´ımite de la funci´on en a es +∞ si para cada k existe  > 0 tal que f (x) > k para cada x ∈ D ∩ E (a, ) x 6 = a. Valen las mismas reglas de c´alculo con las mismas demostraciones y se tienen los mismos casos de indeterminaci´on. Nos remitimos para todo ello al estudio de las funciones de una variable. Tambi´en ahora se puede utilizar la notaci´on de los infinit´esimos. Una funci´on f definida en D ⊂ Rn^ a valores en R se dice que es un infinit´esimo en un punto a de acumulaci´on de D si limx→a f (x) = 0. En el cap´ıtulo siguiente utilizaremos la notaci´on cl´asica de ”o peque˜na” para establecer que un infinit´esimo es de orden superior a otro. Recordemos ahora s´olo la siguiente definici´on.

Definici´on 1.17. Dados dos infinit´esimos f, g en un mismo punto a, se dice que f = ox→a (g) ( f es un o peque˜na de g ) o bien que f es un infinit´esimo de orden superior a g si para cada ε > 0 , existe δ > 0 tal que si 0 < d (x, a) < δ, se cumple |f (x)| < ε |g (x)|. Equivale a decir, si g (x) es no nulo, que limx→a f g^ ((xx)) = 0.

Ejemplo 1.12. Sean f (x, y) = x^3 + y^3 + x^4 y g (x, y) = x^2 + y^2_. Se cumple que_ f = o(x,y)→(0,0) (g). En efecto, si escribimos x = ρ cos λ , y = ρ sin λ tendremos g (x, y) = ρ^2 y f (x, y) = ρ^3 cos^3 λ + ρ^3 sin^3 λ + ρ^4 cos^4 λ. De aqu´ı que para cada  > 0 , se cumple |f | ≤  |g| para ρ suficientemente peque˜no.

Una noci´on importante es la de l´ımite seg´un un subconjunto.

Definici´on 1.18. Sea f una funci´on definida en un conjunto D ⊂ Rn^ a valores en Rm_. Sea_ E ⊂ D y sea a un punto de acumulaci´on de E. Diremos que el l´ımite de f cuando x tiende a a seg´un el subconjunto E es l si para cada sucesi´on {xi} → a , xi^ ∈ E, xi^6 = a , se cumple {f (xi)} → l. Lo escribiremos limx→a x∈E f (x) = l.

Obs´ervese que decir que una funci´on tiene l´ımite l seg´un un subconjunto E equivale a decir que la funci´on restricci´on al conjunto E tiene por l´ımite l. Por tanto todas las propiedades que se han visto para los l´ımites valdr´an para estos l´ımites seg´un subconjuntos. En particular, podr´ıa haberse dado la definici´on de l´ımite seg´un un subconjunto en t´erminos de entornos en lugar de