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Asignatura: Anàlisi de diverses variables, Profesor: , Carrera: Matemàtiques, Universidad: UV
Tipo: Apuntes
1 / 188
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Prefacio
El c´alculo infinitesimal de varias variables reales es un tema de particular relevancia en
las ´areas de ingenier´ıa y de ciencias f´ısico–matem´aticas.
El presente volumen trata sobre el c´alculo diferencial de varias variables reales. Hay
muchas formas de presentar el material aqu´ı tratado. Nosotros elegimos un punto de
vista te´orico, aunque sin descuidar ejemplos que ilustren nuestros resultados. Debido a
lo anterior, la aproximaci´on al c´alculo integral aqu´ı presentada hace adecuado este texto
para los estudiantes del segundo ´o tercer a˜no de licenciatura en las carreras de f´ısica y/´o
matem´aticas.
En el Cap´ıtulo 1 etudiamos el espacio R
n como espacio euclideano. Posteriormente
vemos las propiedades fundamentales de funciones norma y m´etricas en R
n
.
En los Cap´ıtulos 2 y 3 estudiamos la topolog´ıa de R
n .
El Cap´ıtulo 4 trata fundamentalmente sobre las funciones definidas sobre R
n
.
El Cap´ıtulo 5 es sobre derivadas y diferenciales en varias variable.
En el Cap´ıtulo 6 tratamos sobre el Teorema de Taylor y sus aplicaciones.
El ´ultimo cap´ıtulo es funciones inversas y funciones impl´ıcitas.
Finalizamos con un ap´endice en el cual se presenta la demostraci´on de la desigualdad
de Minkowski.
Al final de cada cap´ıtulo proponemos una lista de ejercicios los cuales complementan
y aclaran lo tratado en el texto. Se debe intentar resolver todos ellos.
Las referencias principales para este libro son [7] para funciones continuas y c´alculo
diferencial. La referencia [2] para funciones continuas y topolog´ıa de R
n
. La refencia [6]
abarca de hecho todos los temas.
Los requisitos que se necesitan para este libro son principalmente un conocimiento
general de c´alculo diferencial e integral de una variable real.
Gabriel Villa Salvador.
M´exico, D.F.
Julio de 2003.
Cap´ıtulo 1
El espacio R
n
.
n
Definici´on 1.1.1 Definimos el espacio n-dimensional sobre los reales por:
n
= {(x 1
, x 2
,... , x n
) | x i
∈ R, 1 ≤ i ≤ n}.
Se define la suma en R
n
por:
(x 1 , x 2 ,... , xn) + (y 1 , y 2 ,... , yn) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,... , xn + yn),
n
× R
n
→ R
n
, +(~x, ~y) = ~x + ~y)
y el producto por escalar por:
α(x 1
,... , x n
) = (αx 1
, αx 2
,... , αx n
n
, ·(α, ~x) = α~x).
donde ~x = (x 1
,... , x n
), ~y = (y 1
,... , y n
), ~x, ~y ∈ R
n , α ∈ R.
Teorema 1.1.2 R
n
es un espacio vectorial sobre R de dimensi´on n.
Demostraci´on. Ejercicio. o
Definici´on 1.1.3 Dados ~x = (x 1 ,... , xn), ~y = (y 1 ,... , yn) ∈ R
n
se define el producto
interno o escalar de ~x y ~y por:
〈~x, ~y〉 = ~x · ~y = x 1
y 1
y 2
y n
n ∑
i=
x i
y i
n
× R
n
−→ R).
2 1 El espacio R
n
.
Ejemplo 1.1.4 Si n = 3, ~x = (1, − 2 , 4), ~y = (3, − 2 , −1), entonces
~x · ~y = (1)(3) + (−2)(−2) + 4(−1) = 3 + 4 − 4 = 3.
Notemos que 〈~x, ~y〉 puede ser 0 sin que ~x y ~y sean
0 (por ejemplo: ~x = (1, 2 , 3), ~y =
(2, 1 , − 4 /3), 〈~x, ~y〉 = (1)(2) + (2)(1) + 3(− 4 /3) = 2 + 2 − 4 = 0).
Definici´on 1.1.5 Dos vectores ~x, ~y ∈ R
n se dicen ortogonales o perpendiculares si 〈~x, ~y〉 =
Definici´on 1.1.6 Sea ~x = (x 1
, x 2
,... , x n
n
. Se define la norma euclideana de ~x por:
‖~x‖ =
〈~x, ~x〉 = [x
2
1
2
2
2
n
1 / 2
=
n ∑
i=
x
2
i
1 / 2
Ejemplo 1.1.7 Si ~x = (1, − 3 , 4), ‖~x‖ =
2
2
Observaci´on 1.1.8 Consideremos ~x = (x 1
, x 2
, x 3
), ~y = (y 1
, y 2
, y 3
) vectores en R
3
. Para
obtener el ´angulo θ que forman ~x y ~y aplicamos la Ley de los Cosenos: ‖~x − ~y‖
2
=
‖~x‖
2
2 − 2 ‖~x‖‖~y‖ cos θ. Por lo tanto
cos θ =
‖~x‖
2
2
− ‖~x − ~y‖
2
2 ‖~x‖‖~y‖
x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3
‖~x‖‖~y‖
〈~x, ~y〉
‖~x‖‖~y‖
Definici´on 1.1.9 Un vector ~u ∈ R
n se llama unitario si ‖~u‖ = 1.
Dado ~x ∈ R
n , ~x 6 =
~x
‖~x‖
es el vector unitario con la misma direcci´on que ~x.
Dos vectores ~x, ~y ∈ R
n tienen la misma direcci´on si existe λ ∈ R, λ > 0 tal que ~x = λ~y
y tienen direcci´on contraria si existe λ ∈ R, λ < 0 tal que ~x = λ~y.
Ejemplo 1.1.10 Si ~a = (1, 2 , −3), ‖~a‖ =
14, entonces ~u =
‖~a‖
~a =
es el vector unitario en la direcci´on de ~a.
En esta secci´on demostraremos las propiedades m´as importantes de la norma euclideana y
del producto interno, resultados que nos ser´an de gran utilidad en el resto de este trabajo.
Teorema 1.2.1 Sean ~x = (x 1
,... , x n
), ~y = (y 1
,... , y n
), ~z = (z 1
,... , z n
n y sea
α ∈ R. Entonces:
4 1 El espacio R
n
.
Demostraci´on.
⇒) Si ~y =
0 el resultado es inmediato. Sea ~y 6 =
que ±〈x, y〉 = ‖~x‖‖~y‖.
Si 〈~x, ~y〉 = ‖~x‖‖~y‖, entonces si ~z = ‖~x‖~y − ‖~y‖~x se tiene que 〈~z, ~z〉 = 0 por lo que
~z =
0 = ‖~x‖~y − ‖~y‖~x, es decir ~x y ~y son linealmente dependientes.
Si −〈~x, ~y〉 = ‖~x‖‖~y‖ = ‖ − ~x‖‖~y‖ se tiene 〈−~x, ~y〉 = ‖ − ~x‖‖~y‖ de donde −~x y ~y son
linealmente dependientes. Por tanto ~x y ~y son linealmente dependientes
⇐) Sea ahora ~x = λ~y, λ ∈ R. Entonces
|〈~x, ~y〉| = |〈λ~y, ~y〉‖ = |λ‖|~y‖
2
= ‖λ~y‖‖~y‖ = ‖~x‖‖~y‖. o
Teorema 1.2.5 (Desigualdad del Tri´angulo) Sean ~x, ~y ∈ R
n
. Entonces
‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖ + ‖~y‖.
Demostraci´on. Se tiene que
‖~x + ~y‖
2
= 〈~x + ~y, ~x + ~y〉 = 〈~x, ~x〉 + 2〈x, ~y〉 + 〈~y, ~y〉 ≤
≤ ‖~x‖
2
2
= (‖~x‖ + ‖~y‖)
2
.
Por lo tanto ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖ + ‖~y‖. o
Definici´on 1.2.6 Sean ~x, ~y ∈ R
n
. Se define la distancia euclideana entre ~x y ~y por:
distancia entre ~x y ~y := d(~x, ~y) = ‖~x − ~y‖.
Esta distancia cumple todas las propiedades geom´etricas a las que estamos acostum-
brados, como lo prueba el siguiente:
Teorema 1.2.7 Sean ~x, ~y, ~z ∈ R
n , entonces:
i).- d(~x, ~y) = d(~y, ~x).
ii).- d(~x, ~y) ≥ 0.
iii).- d(~x, ~y) = 0 ⇐⇒ ~x = ~y.
iv).- d(~x, ~y) ≤ d(~x, ~z) + d(~z, ~y) (desigualdad del tri´angulo).
Demostraci´on.
i).- d(~x, ~y) = ‖~x − ~y‖ = ‖ − (~x − ~y)‖ = ‖~y − ~x‖ = d(~y, ~x).
ii).- d(~x, ~y) = ‖~x − ~y‖ ≥ 0.
iii).- d(~x, ~y) = 0 ⇐⇒ ‖~x − ~y‖ = 0 ⇐⇒ ~x − ~y =
0 ⇐⇒ ~x = ~y.
1.2 Propiedades de la norma y del producto interno. 5
iv).- d(~x, ~y) = ‖~x − ~y‖ = ‖~x − ~z + ~z − ~y‖ ≤ ‖~x − ~z‖ + ‖~z − ~y‖ = d(~x, ~z) + d(~z, ~y). o
Lo que sigue a continuaci´on nos da una justificaci´on de la definici´on de perpendicu-
laridad.
Dados 2 vectores ~a,
b, la condici´on ‖~a +
b‖ = ‖~a −
b‖ coincide con la propiedad
geom´etrica de que ~a sea perpendicular a
b.
Por otro lado tendremos:
‖~a −
b‖ = ‖~a +
b‖ ⇐⇒ 〈~a −
b,~a −
b〉 = ‖~a −
b‖
2
= ‖~a +
b‖
2
= 〈~a +
b,~a +
b〉 ⇐⇒
⇐⇒ ‖~a‖
2
b‖
2
− 2 〈~a,
b〉 = ‖~a‖
2
b‖
2
b〉 ⇐⇒ 4 〈~a,
b〉 = 0 ⇐⇒ 〈~a,
b〉 = 0.
Usando la noci´on de perpendicularidad derivamos la noci´on de proyecci´on como mues-
tra la siguiente figura:
Sean ~a y
b dos vectores en R
n ,
b 6 = 0. Queremos definir la proyecci´on de ~a a lo largo
de
b, el cual ser´a el vector p~ que aparece en la figura. Se tiene que p~ = λ
b y ~a − ~p es
perpendicular a
b (λ ∈ R). Por tanto 〈~a − ~p,
b〉 = 〈~a − λ
b,
b〉 = 〈~a,
b〉 − λ〈
b,
b〉. se sigue
que λ =
〈~a,
b〉
b‖
2
El n´umero λ se llama la componente de ~a a lo largo de
b y ~p = λ
b se llama la proyecci´on
de ~a a lo largo de
b.
Ejemplo 1.2.8 Sean ~a = (1, 2 , −3) y
b = (1, 1 , 2), entonces la componente de ~a a lo largo
de
b es λ =
〈~a,
b〉
b‖
2
y la proyecci´on de ~a a lo largo de
b ser´a
~p = λ
b =
La proyecci´on de un vector en otro nos sirve para definir la noci´on de ´angulo entre 2
vectores. Dados ~x, ~y ∈ R
n \ {
0 }, tenemos, por la desigualdad de Schwarz:
〈~x, ~y〉
‖~x‖‖~y‖
o, equivalentemente, − 1 ≤
〈~x, ~y〉
‖~x‖‖~y‖
≤ 1. Por lo tanto existe un ´unico θ ∈ [0, π] tal que
cos θ =
〈~x, ~y〉
‖~x‖‖~y‖
. El n´umero θ se llama el ´angulo que forman los vectores ~x y ~y.
Geom´etricamente se tendr´a:
θ ´angulo entre ~a y
b: cos θ =
λ‖
b‖
‖~a‖
〈~a,
b〉
‖~a‖‖
b‖
Terminamos esta secc´on con un resultado que nos ser´a de gran utilidad cuando veamos
la equivalencia de normas.
Teorema 1.2.9 Sea ~x = (x 1
,... , x n
n
. Entonces:
|x i
| ≤ ‖~x‖ ≤
n sup{|x 1
|, |x 2
|,... , |x n
|}, i = 1, 2 ,... , n.
1.3 Normas y m´etricas en R
n
. 7
ii).- ‖α~x‖ 1 = ‖(α~x 1 , αx 2 ,... , αxn)‖ 1 = |αx 1 | + |αx 2 | +... + |αxn| =
|α|{|x 1
|+|x 2
|+· · ·+|x n
|} = |α‖|~x‖ 1
para cualesquiera ~x ∈ R
n , α ∈ R.
iii).- ‖~x‖ 1
= 0 ⇐⇒ |x 1
| + |x 2
| + · · · + |x n
| = 0 ⇐⇒ |x 1
| = · · · = |x n
0 ⇐⇒ x 1 =... = xn = 0 ⇐⇒ ~x =
iv).-
‖~x + ~y‖ 1
= ‖(x 1
, x 2
,... , x n
1
= |x 1 + y 1 | + |x 2 + y 2 | + · · · + |xn + yn| ≤
≤ (|x 1
| + |y 1
|) + (|x 2
| + |y 2
|) + · · · + (|x n
| + |y n
= (|x 1 | + · · · + |xn|) + (|y 1 | + · · · + |yn|) = ‖~x‖ 1 + ‖~y‖ 1.
(2).- Sea ~x = (x 1
, x 2
,... , x n
n
. Se define la norma infinita por: N (~x) :=
‖~x‖ ∞
= sup{|x 1
|, |x 2
|,... , |x n
Verifiquemos que ‖ ‖ ∞
es una norma en R
n .
i).- ‖~x‖ ∞
= sup{|x 1
|,... , |x n
|} ≥ 0 por toda ~x ∈ R
n .
ii).- Se tiene para toda ~x ∈ R
n y para toda α ∈ R:
‖α~x‖∞ = sup{|αx 1 |,... , |αxn|} = sup{|α‖x 1 |,... , |α‖xn|} =
= |α| sup{|x 1
|,... , |x n
|} = |α‖|~x‖ ∞
iii).- ‖~x‖ ∞
= 0 ⇐⇒ sup{|x 1
|,... , |x n
|} = 0 ⇐⇒ |x i
| = 0, 1 ≤ i ≤
n ⇐⇒ x i
= 0, 1 ≤ i ≤ n ⇐⇒ ~x =
iv).-
‖~x + ~y‖ ∞
= sup{|x 1
|,... , |x n
≤ sup{|x n
| + |y 1
|,... , |x n
| + |y n
≤ sup{|x 1
|,... , |x n
|} + sup{|y 1
|,... , |y n
|} = ‖~x‖ ∞
(3).- En general, sea 1 ≤ p < ∞. Se define la norma p sobre R
n
por:
Np(~x) = ‖~x‖p =
n ∑
i=
|xi|
p
1 /p
donde ~x = (x 1 ,... , xn). Se pueden verificar f´acilmente las propiedades i), ii)
y iii), sin embargo la desigualdad ‖~x + ~y‖ p
≤ ‖~x‖ p
es m´as dif´ıcil y se
llama la desigualdad de Minkowski. En el ap´endice damos la demostraci´on de
esta desigualdad.
Con p = 1 se tiene la norma uno y con p = 2 se tiene la norma euclideana:
‖~x‖ = ‖~x‖ 2
n ∑
i=
x
2
i
1 / 2
x
2
1
2
2
2
n
8 1 El espacio R
n
.
La ´ultima desigualdad probada en la secci´on anterior:
|x i
| ≤ ‖~x‖ ≤
n sup{|x 1
|,... , |x n
1 ≤ i ≤ n y ~x = (x 1
, x 2
,... , x n
) nos dice que:
‖~x‖ ∞
≤ ‖~x‖ ≤
n‖~x‖ ∞
M´as generalmente se tiene:
Proposici´on 1.3.3 Para ~x = (x 1 ,... , xn) ∈ R
n
y para toda 1 ≤ p < ∞ se tiene:
‖~x‖ ∞
≤ ‖~x‖ p
≤ n
1 /p
‖~x‖ ∞
Demostraci´on. Sean ~x = (x 1
,... , x n
n y |x j
| = sup{|x 1
|,... , |x n
|} = ‖~x‖ ∞
Entonces: |x j
p = ‖~x‖
p
∞
n ∑
i=
|x i
p
= ‖~x‖
p
p
. Por lo tanto
‖~x‖ ∞
≤ ‖~x‖ p
n ∑
i=
|x i
p
1 /p
n ∑
i=
|x j
p
1 /p
= {n|x j
p }
1 /p
= n
1 /p |x j
| = n
1 /p ‖~x‖ ∞
Se sigue que ‖~x‖ ∞
≤ ‖~x‖ p
≤ n
1 /p ‖~x‖ ∞
. o
Corolario 1.3.4 Dado ~x ∈ R
n se tiene que lim
p→∞
‖~x‖ p
= ‖~x‖ ∞
Demostraci´on. Las funciones f : [1, ∞) → R, f (x) =
x
y g : [0, ∞) → R, g(x) = n
x
son
continuas asi que (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g
x
= n
1 /x
es continua. Por tanto
lim
p→∞
(n
1 /p
) = lim
p→∞
((g ◦ f )(p)) = g
lim
p→∞
f (p)
= g(0) = n
0
= 1.
Por tanto
‖~x‖∞ ≤ ‖~x‖p ≤^ n
1 /p
‖~x‖∞
‖~x‖ ∞
‖~x‖ ∞
?
p
↓
∞
?
p
↓
∞
Se sigue que lim
p→∞
‖~x‖ p
= ‖~x‖ ∞
. o
Ahora veamos geom´etricamente el significado de ‖ ‖, ‖ ‖ 1
y ‖ ‖ ∞
10 1 El espacio R
n
.
ii).- ρ(~x, ~y) = 0 ⇐⇒ ~x = ~y.
iii).- ρ(~x, ~y) = ρ(~y, ~x) para toda ~x, ~y ∈ R
n .
iv).- ρ(~x, ~y) ≤ ρ(~x, ~z) + ρ(~z, ~y) para toda ~x, ~y, ~z ∈ R
n .
La propiedad iv) se llama la desigualdad del tri´angulo.
Ejemplos 1.3.
(1).- Sea N una norma sobre R
n
. Entonces: ρ(~x, ~y) = N (~x − ~y) es una m´etrica
sobre R
n
. La demostraci´on se deja como ejercicio.
(2).- Sea
ρ(~x, ~y) =
1 si ~x 6 = ~y
0 si ~x = ~y.
Entonces ρ es una m´etrica sobre R
n (ejercicio). La m´etrica ρ se llama la
m´etrica discreta.
i).- ~a = (2, −1),
b = (− 1 , 1);
ii).- ~a = (− 1 , 3),
b = (0, 4);
iii).- ~a = (2, − 1 , 5),
b = (− 1 , 1 , 1);
iv).- ~a = (− 1 , − 2 , 3),
b = (− 1 , 3 , −4);
v).- ~a = (π, 3 , −1),
b = (2π, − 3 , 7);
vi).- ~a = (15, − 2 , 4),
b = (π, 3 , −1).
a) Encontrar ~a +
b, ~a −
b, 3 ~a y − 2
b.
b) Hacer un dibujo en donde aparezcan los vectores: ~a,
b, ~a+
b, ~a+
b,
~a − 2
b, ~a − 3
b y ~a +
b.
c) Calcular 〈~a, ~a〉, 〈~a,
b〉, la longitud de ~a y de
b.
igualdades:
〈~a +
b, ~a +
b〉 = 〈~a,~a〉 + 2〈~a,
b〉 + 〈
b,
b〉,
〈~a −
b, ~a −
b〉 = 〈~a,~a〉 − 2 〈~a,
b〉 + 〈
b,
b〉.
1.4 Ejercicios 11
i).- (1, − 1 , 1) y (2, 5 , 1);
ii).- (1, − 1 , 1) y (2, 3 , 1);
iii).- (− 5 , 2 , 7) y (3, − 1 , 2);
iv).- (π, 2 , 1) y (2, −π, 0).
n
. Mostrar que ~a =
i).- Hallar la proyecci´on de ~a a lo largo de
b y la proyecci´on de
b a lo
largo ~a.
ii).- Hallar el ´angulo entre ~a y
b.
,... , ~a r
vectores diferentes de cero, mutuamente ortogonales, es decir,
〈~a i
, ~a j
〉 = 0 si i 6 = j. Sean c 1
,... , c r
∈ R tales que c 1
~a 1
+.. .+c r
~a r
que c i
= 0, 1 ≤ i ≤ r, es decir ~a 1
,... ,~a r
son linealmente independientes.
b ∈ R
n \ {
0 } y sea θ el ´angulo entre ellos.
i).- Probar que ~a y
b tienen la misma direcci´on ⇐⇒ cos θ = 1.
ii).- Probar que ~a y
b tienen direcci´on opuesta ⇐⇒ cos θ = −1.
n
. Probar:
i).- d(~x, ~y) ≥ 0 y d(~x, ~y) = 0 ⇐⇒ ~x = ~y.
ii).- d(~a,
b) = d(
b, ~a) para cualesquiera ~a,
b ∈ R
n .
iii).- d(~x, ~y) ≤ d(~x, ~z) + d(~z, ~y) para cualesquiera ~x, ~y, ~z ∈ R
n .
i).- ‖~x + ~y‖
2
2 = 2(‖~x‖
2
2 ) (Ley del paralelogramo).
ii).- ‖~x + ~y‖‖~x − ~y‖ ≤ ‖~x‖
2
2 .
Sugerencia: Usar i).
iii).- 4〈~x, ~y〉 = ‖~x + ~y‖
2 − ‖~x − ~y‖
2 (Identidad de polarizaci´on).
iv).- Si θ es el ´angulo entre ~x y ~y, entonces:
‖~x − ~y‖
2
= ‖~x‖
2
2
− 2 ‖~x‖‖~y‖ cos θ.
Interpretar geom´etricamente los incisos i) y ii).
1.4 Ejercicios 13
b
a
f g
b
a
f
2
b
a
g
2
Sugerencia: Imitar la demostraci´on de la desigualdad de Cauchy-Schwarz
con h =
b
a
f
2
g −
b
a
g
2
f.
n
:
|‖~x‖ − ‖~y‖| ≤ ‖~x − ~y‖ y que |‖~x‖ − ‖~y‖| ≤ ‖~x + ~y‖.
n
→ R
n
se dice que preserva normas si ‖T ~x‖ =
‖~x‖ para toda ~x ∈ R
n y que preserva el producto interior si 〈T ~x, T ~y〉 = 〈~x, ~y〉
para toda ~x, ~y ∈ R
n
.
i).- Mostrar que T preserva normas ⇐⇒ T preserva producto interior.
ii).- Probar que si T preserva normas, entonces T es 1 − 1 y T
− 1
tambi´en
preserva normas.
iii).- Se dice que T preserva ´angulos si T es 1 − 1 y para ~x, ~y 6 =
0, el
´angulo entre T ~x y T ~y es igual al ´angulo entre ~x y ~y. Demostrar que
si T preserva normas, entonces T preserva ´angulos.
n , ~y ∈ R
m
. Mostrar que ‖(~x, ~y)‖ =
‖~x‖
2
2 , donde (~x, ~y) se
considera como un elemento de R
n+m
.
2
→ R
2
una transformaci´on lineal cuya matriz es: [
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
. Demostrar que T preserva los ´angulos y si ~x 6 =
0, entonces
el ´angulo entre ~x y T ~x es θ.
,... , x n
, y 1
,... , y n
∈ R. Probar la desigualdad:
n ∑
i=
(x i
2
1 / 2
n ∑
i=
x
2
i
1 / 2
n ∑
i=
y
2
i
1 / 2
n → R la norma uno : ‖~x‖ 1
n ∑
i=
|x i
| = |x 1
| + · · · + |x n
|. Probar
que ‖ ‖ 1
no satisface la identidad del paralelogramo, esto es, la igualdad:
‖~x + ~y‖
2
1
‖~x‖
2
1
2
no se cumple para todo ~x, ~y ∈ R
n .
Repetir lo mismo con ‖ ‖ ∞
en lugar de ‖ ‖ 1
14 1 El espacio R
n
.
3
los conjuntos:
1
0 , 1) = {~x ∈ R
3
| ‖~x‖ 1
0 , 1) = {~x ∈ R
3
| ‖~x‖ < 1 },
∞
0 , 1) = {~x ∈ R
3
| ‖~x‖ ∞
n
. Se dice que estas normas son equivalentes
si existen α, β > 0 tales que
αN 2
(~x) ≤ N 1
(~x) ≤ βN 2
(~x) para toda ~x ∈ R
n
. (∗)
Equivalentemente, αN 1 (~x) ≤ N 2 (~x) ≤ βN 1 (~x) para toda ~x ∈ R
n
.
i).- Probar que ‖ ‖ y ‖ ‖ ∞
son equivalentes.
ii).- Probar que ‖ ‖ 1
y ‖ ‖ ∞
son equivalentes.
iii).- Deducir de i) y ii) que ‖ ‖ y ‖ ‖ 1
son equivalentes.
iv).- En los incisos i), ii) y iii), encontrar la mayor constante α y la menor
constante β para que (∗) se verifique
Respuesta: i): α = 1, β =
n; ii) α = 1, β = n; iii) α =
n
y
β = 1.
Las demostraciones deben hacerse sin usar el teorema que establece que todas
las normas en R
n
son equivalentes, sino hacerlo directamente.
i).- |〈~x, ~y〉| ≤ ‖~x‖ 1
‖~y‖ 1
ii).- |〈~x, ~y〉| ≤ ‖~x‖ ∞
‖~y‖ ∞
para toda ~x, ~y ∈ R
n .
Justificar la respuesta.
n → R
m una aplicaci´on lineal. Demostrar que existe un n´umero M
positivo tal que: ‖T ~x‖ ≤ M ‖~x‖ para toda ~x ∈ R
n .
n
. Probar que ρ : R
n × R
n → R dada por: ρ(~x, ~y) =
N (~x − ~y) es una m´etrica sobre R
n .
n × R
n → R la funci´on:
ρ(~x, ~y) =
1 si ~x 6 = ~y
0 si ~x = ~y
Mostrar que ρ es una m´etrica en R
n .
