Analisis 2, Apuntes de Análisis Matemático

¡Descarga Analisis 2 y más Apuntes en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity!

Analisi Matematica II

C`alcul diferencial

Curs 2016-

20 de desembre de 2016

Tema 1

L´ımits i continu¨ıtat

1.1 L’espai euclidi`a

Definici´o 1.1. El producte escalar de dos vectors x = (x 1 ,... , xn), y = (y 1 ,... , yn) ∈ Rn^ ´es

〈x, y〉 :=

∑^ n

j=

xj · yj.

Proposici´o 1.2. La aplicaci´o 〈·, ·〉 : Rn^ → R ´es bilineal, ´es a dir,

〈αx + βy, z〉 = α 〈x, z〉 + β 〈y, z〉

i tamb´e 〈z, αx + βy〉 = α 〈z, x〉 + β 〈z, y〉

per a qualsevol α, β ∈ R i x, y ∈ Rn.

Definici´o 1.3. La norma euclidiana de x ∈ Rn^ ´es

‖x‖ :=

〈x, x〉 =

∑^ n

j=

x^2 j.

Proposici´o 1.4 (Desigualtat de Cauchy-Schwartz). Si x, y ∈ Rn^ aleshores

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ · ‖y‖.

Demostraci´o. Per a cada t ∈ R es compleix ‖x + ty‖^2 ≥ 0 , ´es a dir, ( (^) n ∑

j=

y^2 j

t^2 +

( (^) n ∑

j=

2 xj yj

t +

( (^) n ∑

j=

x^2 j

Si posem

A :=

∑^ n

j=

y j^2 = ‖y‖^2 , B :=

∑^ n

j=

2 xj yj = 2 〈x, y〉 , C :=

∑^ n

j=

x^2 j = ‖x‖^2

aleshores la desigualtat anterior vol dir que el polinomi

f (t) = At^2 + Bt + C

no pren valors negatius, i per tant, l’equaci´o de segon grau f (t) = 0 no t´e dos solucions reals distintes. Com a conseq¨u`encia,

B^2 − 4 AC ≤ 0.

Es a dir,^ ´ 4 |〈x, y〉|^2 ≤ 4 ‖x‖^2 · ‖y‖^2.

Interpretaci´o geom`etrica: n = 2, 3.

Proposici´o 1.5. Si x, y ∈ Rn, α ∈ R aleshores

1. ‖x‖ ≥ 0 i ‖x‖ = 0 si i nom´es si x = 0.
2. ‖αx‖ = |α| · ‖x‖.
3. ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (Desigualtat triangular).

Demostraci´o. Com que les dues primeres afirmacions s´on obvies, nom´es cal provar (3). Es conseq¨´ u`encia de

‖x + y‖^2 =

∑^ n

j=

(xj + yj )^2 =

∑^ n

j=

x^2 j + 2xj yj + y^2 j

= ‖x‖^2 + 2 〈x, y〉 + ‖y‖^2

≤ ‖x‖^2 + 2‖x‖^2 ‖y‖^2 + ‖y‖^2

= (‖x‖ + ‖y‖)^2.

Definici´o 1.6. La dist`ancia euclidiana entre els punts x, y ∈ Rn^ ´es

d(x, y) := ‖x − y‖.

Proposici´o 1.7. (Rn, d) ´es un espai m`etric, ´es a dir,

1. d(x, x) = 0, d(x, y) > 0 si x 6 = y.
2. d(x, y) = d(y, x).
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Ara recordem alguns conceptes elementals de topologia d’espais m`etrics. La bola oberta centrada en x 0 ∈ Rn^ i de radi r > 0 ´es

B(x 0 , r) = {x ∈ Rn^ : ‖x − x 0 ‖ < r} ,

mentre que la bola tancada ´es

B′(x 0 , r) = {x ∈ Rn^ : ‖x − x 0 ‖ ≤ r}.

Observem que B(x 0 , r) = x 0 + rB(0, 1), i B′(x 0 , r) = x 0 + rB′(0, 1).

Un conjunt A ⊂ Rn^ ´es obert si

∀x ∈ A ∃rx > 0 : B(x, rx) ⊂ A.

Exemple 1. Siga x(k)^ =

1 − (^1) k , k sin

k

, (^) k 2 k+

∈ R^3. Aleshores

lim k→∞

x(k)^ = (1, 1 , 0).

Proposici´o 1.10. Donat A ⊂ Rn, les seg¨uents condicions s´on equivalents:

(a) A ´es tancat

(b) Si

x(k)

´es una successi´o en A i existeix limk→∞ x(k)^ = x ∈ Rn^ aleshores x ∈ A.

Demostraci´o. (a) ⇒ (b) Si x /∈ A aleshores existeix ε > 0 tal que

B(x, ε) ∩ A = ∅.

Ara triem k 0 ∈ N tal que k ≥ k 0 implica ‖x(k)^ − x‖ < . Aix`o vol dir que

x(k)^ ∈ B(x, ε)

sempre que k ≥ k 0 , una contradicci´o perqu`e x(k)^ ∈ A.

(b) ⇒ (a) Comprovem que el complementari de A ´es obert. Siga x /∈ A i vegem que existeix k ∈ N tal que B(x, (^1) k ) ∩ A = ∅. En cas contrari, per a cada k ∈ N podem trobar un vector x(k)^ ∈ A ∩ B(x, (^) k^1 ). De la desigualtat

‖x(k)^ − x‖ <

k

dedu¨ım que lim k→∞ x(k)^ = x,

una contradicci´o amb la condici´o (b) perque cada x(k)^ ∈ A pero x /∈ A.

Direm que una successi´o

y(k)

´es una subsuccessi´o de

x(k)

si existeix una funci´o estrictament creixent ϕ : N → N tal que

y(k)^ = x(ϕ(k)).

De vegades s’escriu ϕ(k) = nk.

Teorema 1.11( (Bolzano-Weierstrass). Si A ⊂ Rn^ ´es fitat, aleshores tota successi´o x(k)

⊂ A admet alguna subsuccessi´o convergent.

Demostraci´o. Per simplificar suposarem que n = 2. Per tant x(k)^ =

x( 1 k ), x( 2 k)

∈ R^2.

De les desigualtats (^) ∣ ∣ ∣x (k) j

∣ ≤ ‖x(k)‖

dedu¨ım que cada

x( jk)

´es una successi´o fitada de n´umeros reals (j = 1, 2). Aplicant

el teorema de primer curs a la successi´o

x( 1 k)

trobem una funci´o estrictament

creixent ϕ : N → N tal que (^) (

x (ϕ(k)) 1

´es convergent a α ∈ R. Ara considerem la successi´o de n´umeros reals

x( 2 ϕ(k))

, que

est`a fitada i per tant admet una subsuccessi´o convergent a β ∈ R. Es a dir, existeix´ una funci´o estrictament creixent ψ : N → N tal que

( x (ψ(ϕ(k))) 2

´es convergent a β ∈ R. Posem f = ψ ◦ ϕ : N → N i observem que

( x(f^ (k))

´es una subsuccessi´o de

x(k)

. A m´es

x( 1 f^ (k))

´es una subsuccessi´o de

x( 1 ϕ(k))

(i

per tant convergeix a α), d’on dedu¨ım que

lim k→∞

x(f^ (k))^ = (α, β).

Es convenient imaginar qu`^ ´ e passa amb la successi´o x(k)^ =

(−1)k+1, (−1)[^ k 2 ]^ ) .

Definici´o 1.12. Un conjunt A ⊂ Rn^ ´es compacte si tota successi´o

x(k)

⊂ A admet alguna subsuccessi´o convergent a un punt x ∈ A.

Teorema 1.13. Donat A ⊂ Rn, les seg¨uents condicions s´on equivalents:

(a) A ´es compacte

(b) A ´es tancat i fitat.

Demostraci´o. (a) ⇒ (b) Siga A compacte i

x(k)

una successi´o en A amb l´ımit limk→∞ x(k)^ = x 0 ∈ Rn. Per hipotesi, existeix una subsuccessi´o convergent a un punt x ∈ A. Com que deu ser x = x 0 dedu¨ım que x 0 ∈ A. Aixo prova que A ´es tancat. Si A no ´es fitat aleshores existeix una successi´o

x(k)

en A tal que

‖x(k)‖ ≥ k.

Per ser A compacte tenim una subsuccessi´o convergent

x(ϕ(k))

. La condici´o

lim k→∞

‖x(ϕ(k))‖ = +∞

´es una contradicci´o perqu`e tota successi´o convergent ´es fitada. Per tant A ´es fitat.

(b) ⇒ (a) Suposem que A ´es tancat i fitat i siga

x(k)

⊂ A. Per ser A fitat podem aplicar el teorema de Bolzano-Weierstrass i trobar una funci´o estrictament creixent ϕ : N → N tal que

x(ϕ(k))

´es convergent a un vector x ∈ Rn. Per ultim, com cada x(ϕ(k))^ ∈ A i el conjunt A ´es tancat dedu¨ım que x ∈ A. Per tant A ´es compacte.

Proposici´o 1.16. Siguen f : R^2 → R, F (ρ, θ) = f (ρ cos θ, ρ sin θ) i ` ∈ R. Si

|F (ρ, θ) − `| ≤ h(ρ) ∀θ ∈ [0, 2 π], lim ρ→ 0 h(ρ) = 0,

aleshores lim (x,y)→(0,0) f (x, y) = `.

Exemple 3.

lim (x,y)→(0,0)

x^3 + x^2 + y^2 x^2 + y^2

1.4 Funcions de diverses variables

Considerem funcion f : A ⊂ Rn^ → Rp, de manera que f (x) = (f 1 (x),... , fp(x)) per a cada x = (x 1 ,... , xn) ∈ A. Cada fj : A ⊂ Rn^ → R (j = 1,... , p) s’anomena funci´o coordenada de f i escriurem

f = (f 1 ,... , fp).

Definici´o 1.17. Donats f : A ⊂ Rn^ → Rp^ i a un punt d’acumulaci´o d’A, direm que lim x→a f (x) = L ∈ Rp^ si per a cada ε > 0 existeix δ > 0 tal que

0 < ‖x − a‖ < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.

Es equivalent a la seg¨^ ´ uent condici´o. Per a tota successi´o

x(k)

⊂ A amb lim k→∞

x(k)^ = a, x(k)^6 = a, es compleix que lim k→∞

f

x(k)

= L. El raonament ´es el

mateix estudiat en primer curs. Una conseq¨u`encia important ´es la identitat

lim x→a f (x) =

lim x→a f 1 (x),... , lim x→a fp(x)

Definici´o 1.18. Siga f : A ⊂ Rn^ → Rp^ i a ∈ A. Direm que f ´es continua en a si per a cada ε > 0 existeix δ > 0 tal que

‖x − a‖ < δ ⇒ ‖f (x) − f (a)‖ < ε.

La implicaci´o anterior vol dir que

f (B(a, δ)) ⊂ B(f (a), ε).

En el cas que a siga tamb´e un punt d’acumulaci´o del domini A resulta que f ´es continua en a si i nom´es si lim x→a

f (x) = f (a).

A m´es, f = (f 1 ,... , fp) ´es continua en a si, i nom´es si, cada funci´o coordenada fj ho ´es. bf Exercici: Donada f : A ⊂ Rn^ → Rp, si a pertany a la acumulaci de A i existeix limx→a f (x) = L, comproveu que existeix r > 0 tal que si x ∈ A ∩ (B(a, r) i x 6 = a, es compleix que ||f (x)|| < ||L|| + 1.

Proposici´o 1.19. (a) Siguen f : A ⊂ Rn^ → Rp, g : B ⊂ Rm^ → Rn, g(B) ⊂ A. Si g ´es cont´ınua en b ∈ B i f ´es cont´ınua en a = g(b) aleshores f ◦ g : B ⊂ Rm^ → Rp^ ´es cont´ınua en b.

(b) La suma, el producte per un nombre real i el producte escalar de funcions cont´ınues ´es una funci´o cont´ınua.

Exemple 4. (a) La norma en Rn^ ´es cont´ınua.

(b) Els polinomis de diverses variables son funcions cont´ınues.

El seg¨uent ´es un cas particular de resultats que estudiareu en l’assignatura de topologia. Es important que el domini de la funci´´ o siga tot l’espai euclidi`a si no volem considerar topologies relatives. S’enuncia nom´es per donar alguns exemples.

Proposici´o 1.20. Siguen f : Rn^ → R una funci´o continua i B ⊂ R. Recordem que

f −^1 (B) = {x ∈ Rn^ : f (x) ∈ B}.

Aleshores

(a) Si B ´es un subconjunt tancat de R llavors f −^1 (B) ´es un conjunt tancat en Rn.

(b) Si B ´es un subconjunt obert de R llavors f −^1 (I) ´es un conjunt obert en Rn.

Demostraci´o. (a) Siga

x(k)

⊂ f −^1 (B) una successi´o convergent a x ∈ Rn. Hem de provar que x ∈ f −^1 (B). Per`o

f (x) = lim k→∞

f

x(k)

∈ B

perqu`e cada f

x(k)

∈ B i B ´es tancat.

(b) Siga a ∈ f −^1 (B). Hem de provar que existeix δ > 0 tal que B(a, δ) ⊂ f −^1 (B). Per ser f (a) ∈ B i B un obert podem trobar ε > 0 tal que

(f (a) − ε, f (a) + ε) ⊂ B.

Per ser f cont´ınua en a, existeix δ > 0 tal que

‖x − a‖ < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε.

Aix`o vol dir que si x ∈ B(a, δ) aleshores f (x) ∈ (f (a) − ε, f (a) + ε) ⊂ B. Es a dir,´

B(a, δ) ⊂ f −^1 (B).

Exemple 5. (a) El conjunt A := {(x, y, z) ∈ R^3 : z > x^2 + y^2 } ´es obert, ja que podem expressar-lo com A = f −^1 (B) sent B =]0, +∞[ i f (x, y, z) = z−x^2 −y^2.

(b) El conjunt C := {(x, y) ∈ R^2 : 2 x^2 + 3y^2 ≤ 1 } ´es compacte. En efecte, si f (x, y) = 2x^2 + 3y^2 , C = f −^1 (] − ∞, 1] per tant ´es tancat. A m´es C ⊂ B′((0, 0), 1) ja que x^2 + y^2 ≤ 2 x^2 + 3y^2 ≤ 1 , per tant, C ´es fitat.

Tema 2

Funcions diferenciables

Recordem que si I ⊂ R ´es un interval obert aleshores la funci´o d’una variable f : I → Rp^ ´es derivable en el punt a ∈ I si existeix

f ′(a) = lim t→ 0

f (a + t) − f (a) t

En el cas p = 1, f ′(a) representa el pendent de la recta tangent a la gr`afica de f en el punt (a, f (a)). En el cas p = 2, 3 , podem pensar que la variable t representa el temps i f (t) ens dona la posici´o d’una part´ıcula a l’instant t. En aquest cas el conjunt imatge f (I) ´es una corba (el recorregut de la part´ıcula) i f ′(a) ´es el vector tangent a dita corba en el punt f (a).

El nostre objectiu ´es estudiar funcions que depenen de m´es d’una variable i comencem per introduir notaci´o. Si A ⊂ Rn^ direm que a ´es un punt interior del

conjunt A i escriurem a ∈

◦ A si existeix r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A. Es clar que un´ conjunto A ´es obert si tots els seus punts son interiors.

Definici´o 2.1. Siga f : A ⊂ Rn^ → Rp^ i siguen a ∈

◦ A i v ∈ Rn. S’anomena derivada direccional de f en el punt a i en la direcci´o v al seg¨uent l´ımit (si existeix)

Dvf (a) := lim t→ 0

f (a + tv) − f (a) t

Si v = ej , 1 ≤ j ≤ n, ´es un dels vectors de la base canonica de Rn, la deri- vada direccional s’anomena derivada parcial respecte de la coordenada j-esima i es representa ∂f ∂xj

f (a) = Dj f (a) = Dej f (a).

Com que la derivada direccional ´es un l´ımit en Rp^ i els l´ımits de vectors es calculen coordenada a coordenada, resulta que si f = (f 1 ,... , fp) aleshores

Dvf (a) = (Dvf 1 (a),... , Dvfp(a)).

Per tant es suficient saber calcular derivades direccionals de funcions escalars

f : A ⊂ Rn^ → R.

Discutim ara el c`alcul de les derivades parcials d’una funci´o de dos variables. Si f : A ⊂ R^2 → R i (x 0 , y 0 ) ∈

◦ A aleshores

D 1 f (x 0 , y 0 ) = lim t→ 0

f (x 0 + t, y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) t

´es la derivada en el punt x 0 de la funci´o d’una variable x 7 → f (x, y 0 ) que s’obt´e al donar-li a la segona variable un valor constant. Geometricament, el que fem ´es tallar la superf´ıcie d’equaci´o z = f (x, y) amb el pla y = y 0 i calculem elpendent de la recta tangent a la corba obtinguda. Analogament,

D 2 f (x 0 , y 0 ) = lim t→ 0

f (x 0 , y 0 + t) − f (x 0 , y 0 ) t

´es la derivada en el punt y 0 de la funci´o d’una variable y 7 → f (x 0 , y) que s’obt´e al donar-li a la primera variable un valor constant. El proc´es de c`alcul si hi ha m´es variables ´es el mateix.

Recordem que si una funci´o d’una variable f : I ⊂ R → R ´es derivable en un punt a ∈ I aleshores f ´es necess`ariament cont´ınua. En canvi tenim el seg¨uent

Exemple 6. La funci´o

f (x, y) =

x^2 y x^4 +y^2 ,^ (x, y)^6 = (0,^ 0)

0 , (x, y) = (0, 0)

admet derivades direccionals (en qualsevol direcci´o) en el punt (0, 0) per`o no ´es cont´ınua.

Aix`o vol dir que el concepte de derivada direccional no ´es la millor generalitzaci´o possible a diverses variables de la derivada. Observem que si f : I ⊂ R → R ´es derivable en a aleshores

f (a + h) = f (a) + f ′(a)h + |h| · E(h)

on lim h→ 0 E(h) = 0.

En efecte, ´es suficient notar que

E(h) =

f (a + h) − f (a) − f ′(a)h |h|

f (a + h) − f (a) h

− f ′(a)

h |h|

A m´es, l’aplicaci´o d’una variable h 7 → f ′(a)h esta definida en tota la recta i ´es lineal. Amb aquesta idea definirem funci´o diferenciable de diverses variables.

Definici´o 2.2. Siga f : A ⊂ Rn^ → Rp. Direm que f ´es diferenciable en a ∈

◦ A si existeix una aplicaci´o lineal L : Rn^ → Rp^ tal que

lim h→ 0

f (a + h) − f (a) − L(h) ‖h‖

Es natural perguntar-nos quantes aplicacions lineals poden satisfer les condicions^ ´ de la definici´o de diferenciabilitat.

Llavors sempre que ‖h‖ < r tenim

f (a + h) = f (a) + L(h) + ‖h‖E(h)

on lim h→ 0 E(h) = E(0) = 0. Rec´ıprocament, si f admet l’expressi´o

f (a + h) = f (a) + L(h) + ‖h‖E(h)

quan h varia en un entorn de l’origen, amb L lineal i lim h→ 0

E(h) = E(0) = 0, f ´es

diferenciable en a.

Si posem x = a + h, l’expressi´o anterior queda

f (x) = f (a) + L(x − a) + ‖x − a‖E(x − a).

La funci´o x 7 → f (a) + L(x − a) ´es una aproximaci´o af´ı a la funci´o f en un entorn del punt a.

Exemple 7. La funci´o f (x, y) = x^2 + 3y ´es diferenciable en tots els punts (x 0 , y 0 ) ∈ R^2.

Calculem

f (x 0 + h, y 0 + k) = (x 0 + h)^2 + 3(y 0 + k) = (x^20 + 3y 0 ) + (2x 0 h + 3k) + h^2.

Si posem

L(h, k) := 2x 0 h + 3k

aleshores L : R^2 → R ´es una aplicaci´o lineal i resulta que

f (x 0 + h, y 0 + k) = f (x 0 , y 0 ) + L(h, k) + ‖(h, k)‖ · E(h, k)

on

E(h, k) =

h^2 √ h^2 + k^2

Com h^2 √ h^2 + k^2

≤ |h|

resulta que

lim (h,k)→(0,0)

E(h, k) = 0

i f ´es diferenciable en el punt (x 0 , y 0 ). La diferencial en dit punt ´es l’aplicaci´o L. 

Siga f : A ⊂ Rn^ → Rp, f = (f 1 ,... , fp) , una funci´o diferenciable en a ∈

◦ A. La matriu jacobiana de f en el punt a ´es la matriu de df (a) : Rn^ → Rp^ respecte de les bases canoniques. La columna j-esima de la matriu ve donada per

df (a)(ej ) = Dj f (a) = (Dj f 1 (a),... , Dj fp(a)).

Posarem

f ′(a) =

D 1 f 1 (a) D 2 f 1 (a)... Dnf 1 (a)

D 1 f 2 (a) D 2 f 2 (a)... Dnf 2 (a)

D 1 fp(a) D 2 fp(a)... Dnfp(a)

El vector gradient de g : A ⊂ Rn^ → R escalar en el punt a ´es

∇g(a) = (D 1 g(a), D 2 g(a),... , Dng(a)).

Aleshores, en el cas vectorial f : A ⊂ Rn^ → Rp, la fila i-`esima de la matriu jacobiana f ′(a) coincideix amb el vector gradient de la funci´o coordenada fi.

Exemple 8. Suposant que la funci´o f (x, y, z) = (x + ez^ , sin(xyz)) ´es diferenciable en (0, 0 , 1), calculem la matriu jacobiana en dit punt.

Tenim f : R^3 → R^2 , f = (f 1 , f 2 ), on

f 1 (x, y, z) = x + ez^ , f 2 (x, y, z) = sin(xyz).

Aleshores ∇f 1 (x, y, z) = (1, 0 , ez^ ) ⇒ ∇f 1 (0, 0 , 1) = (1, 0 , e)

mentre que

∇f 2 (x, y, z) = (yz cos(xyz), xz cos(xyz), xy cos(xyz)) ⇒ ∇f 2 (0, 0 , 1) = (0, 0 , 0).

Per tant, la matriu jacobiana de f en (0, 0 , 1) queda

f ′(0, 0 , 1) =

1 0 e

Calculeu Dv(0, 0 , 1) on v = (1, 1 , 0).

Corolari 2.5. Siga f : A ⊂ Rn^ → R diferenciable en a ∈

◦ A i v ∈ Rn. Aleshores

Dvf (a) = 〈∇f (a), v〉.

Demostraci´o.

Dvf (a) = Df (a) (v) = Df (a)

( (^) n ∑

j=

vj ej

∑^ n

j=

vj · Df (a) (ej ) =

∑^ n

j=

vj · Dj f (a).

Exemple 9. la funci´o f (x, y) = |x|y no ´es diferenciable en (0, 1).

Exemple 11. La temperatura en un entorn de l’origen ve donada per la funci´o T (x, y) = T 0 + ey^ sin x. Una part´ıcula situada en l’origen de coordenades i que fuig de la calor, en quina direcci´o comen¸car`a a moure’s?

Com ∇T (x, y) = (ey^ cos x, ey^ sin x) resulta que

∇T (0, 0) = (1, 0).

La part´ıcula comen¸cara a moure’s en la direcci´o de maxim decreixement de la funci´o, que est`a donada pel vector (− 1 , 0). 

Interpretaci´o geom`etrica de la diferencial.

Siga f : A ⊂ R^2 → R una funci´o diferenciable i (x 0 , y 0 ) ∈

◦ A. Aleshores

f (x, y) = f (x 0 , y 0 ) + df (x 0 , y 0 ) (x − x 0 , y − y 0 ) + ‖(x − x 0 , y − y 0 )‖ · E(x − x 0 , y − y 0 )

= g(x, y) + ‖(x − x 0 , y − y 0 )‖ · E(x − x 0 , y − y 0 )

on g(x, y) = f (x 0 , y 0 ) + (x − x 0 )D 1 f (x 0 , y 0 ) + (y − y 0 )D 2 f (x 0 , y 0 )

i lim (x,y)→(x 0 ,y 0 ) E(x − x 0 , y − y 0 ) = 0.

La gr`afica de g, d’equaci´o

z = f (x 0 , y 0 ) + (x − x 0 )D 1 f (x 0 , y 0 ) + (y − y 0 )D 2 f (x 0 , y 0 )

´es un pla que es diu pla tangent a la gr`afica de f en el punt (x 0 , y 0 , z 0 ), z 0 = f (x 0 , y 0 ).

Tema 3

Funcions de classe C

El resultat important que permet obtindre molts exemples de funcions diferenciables ´es el seg¨uent. La prova, per a funcions escalars de dos variables, la veurem despr´es d’alguns exemples.

Teorema 3.1. Siga f : A ⊂ Rn^ → Rp^ i siga a ∈

◦ A. Si existeixen les derivades parcials Dj f (x) (1 ≤ j ≤ n) en tots els punts d’una bola B(a, r) i cada Dj f ´es cont´ınua en a aleshores f ´es diferenciable en a.

Exemple 12. Comprovem que la funci´o f (x, y) = ex^ + x sin^2 y ´es diferenciable en el punt (0, π 2 ).

Les derivades parcials s´on

D 1 f (x, y) = ex^ + sin^2 y, D 2 f (x, y) = x sin(2y).

Com s´on funcions cont´ınues en tot el pla dedu¨ım del teorema anterior que f ´es diferenciable en tots els punts. 

Exemple 13. Comprovem que f (x, y, z) = (x + ez^ , sin(xyz)) ´es diferenciable en (0, 0 , 1).

Tenim f : R^3 → R^2 , f = (f 1 , f 2 ), on

f 1 (x, y, z) = x + ez^ , f 2 (x, y, z) = sin(xyz).

Com totes les derivades parcials de f 1 i f 2 son cont´ınues dedu¨ım que f ´es una funci´o diferenciable en tots els punts.

Ja podem provar la condici´o suficient de funci´o diferenciable. Per simplificar ho farem en el cas p = 1, n = 2.

Teorema 3.2. Siga f : A ⊂ R^2 → R i siga (x 0 , y 0 ) ∈

◦ A. Si existeixen les derivades parcials D 1 f (x, y), D 2 f (x, y) en tots els punts (x, y) de una bola B ((x 0 , y 0 ), r) ⊂ A i les dos derivades parcials s´on funcions cont´ınues en (x 0 , y 0 ) aleshores f ´es diferen- ciable en (x 0 , y 0 ).

Demostraci´o. Considerem l’aplicaci´o lineal L : R^2 → R definida per

L(h, k) = h · D 1 f (x 0 , y 0 ) + k · D 2 f (x 0 , y 0 ).

Hem de provar que lim (h,k)→(0,0)

E(h, k) = 0

on

E(h, k) =

f (x 0 + h, y 0 + k) − f (x 0 , y 0 ) − L(h, k) ‖(h, k)‖