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Ejercicio 1. Determine cuáles de las siguientes asignaciones son funciones con dominio 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, en el
caso que sea, indique su imagen.
a)
No es función. Al elemento a le corresponde dos elementos distintos (no se cumple la unicidad). Además al
elemento b no le corresponde ningún elemento (no se cumple la existencia).
b) No es función. Al elemento b no le corresponde ningún elemento (no se cumple la existencia)
c) Si es función. A todo elemento de A le corresponde un elemento de B y esa correspondencia es única.
Ejercicio 2.
i) Defina una relación o asignación entre los conjuntos A y B dados a continuación:
a) A es un grupo de madres
B es el conjunto de todos los hijos de las madres del conjunto A
Sea la relación que asigna a cada madre sus hijos.
b) A es un grupo de personas
B es el conjunto de todos los DNI de las personas del conjunto A
Relación que asigna a cada persona del grupo un DNI.
c) A es un grupo de hombres
B es el conjunto de todas las esposas de los hombres del grupo A que están casados
Sea la relación que asigna a cada hombre su esposa.
ii) ¿Alguna de las relaciones definidas en el inciso anterior resultaron en una función? Justifique.
La relación del inciso a) no es función porque una madre podría tener dos (o más hijos), por lo tanto no se
cumpliría la unicidad.
La relación del inciso b) Si es una función porque todas las personas tienen un DNI (existencia) y ese DNI es
único (unicidad).
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
La relación del inciso c) No es función porque en el grupo de hombres, puede haber un hombre que no
esté casado (no tendría esposa), no se cumpliría la existencia.
Ejercicio 3. Determine la o las expresiones algebraicas que definen cada una de las siguientes funciones:
a) 𝑓 asigna a cada número real no negativo 𝑥 su raíz cuadrada más uno. 𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟏
b) 𝑓 asigna a cada número real negativo 𝑥 su inverso multiplicativo. 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
c) 𝑓 asigna a cada número real positivo 𝑥 su opuesto aditivo, a cada número real negativo su valor
absoluto y al cero le asigna el cero.
Ejercicio 4. Determine, en cada caso, cuál curva es la gráfica de una función de x. En caso de serlo, defina el
dominio y la imagen de la misma.
a)
NO es la gráfica de una función porque podemos
trazar una recta y que esta corte a la gráfica en dos
puntos distintos.
b)
SI es la gráfica de una función. Porque cualquier recta
vertical que tracemos corta a la gráfica en no más de
un punto.
c)
SI es la gráfica de una función. Porque cualquier recta
vertical que tracemos corta a la gráfica en no más de
un punto.
d)
NO es la gráfica de una función porque podemos
trazar una recta y que esta corte a la gráfica en dos
puntos distintos.
Relación entre b) , d) y a): Las funciones 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1 y 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2 presentan una desplazamiento
vertical de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥.
Ejercicio 7. A partir de la gráfica de la función
f x x y mediante transformaciones, dibuje la gráfica de
las funciones:
a) h x ( ) x 3 b) g x ( ) x 3 c) m x ( ) x 3 d) p x ( ) x 3 e) q x ( ) x 3
a) b)
c) d)
e)
Ejercicio 8. Se da la gráfica de
y f x. Identifique la gráfica de cada una de las siguientes funciones
obtenidas a partir de transformaciones de 𝑓.
i) 𝑔
= 𝑓(𝑥 − 4 ) ii) 𝑔
1
3
iv) 𝑔
= −𝑓(𝑥 + 4 ) v) 𝑔
Ejercicio 9. Trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones cuadráticas:
i) 𝑓
2
− 2 𝑥 + 1 ii) 𝑔
2
1
2
i)
Tenemos entonces que 𝑔(−𝑡) = −𝑔(𝑡), por lo tanto 𝑔(𝑡) es impar.
iii) ℎ(−𝑚) =
Tenemos entonces que ℎ
, por lo tanto ℎ
es par.
iv) 𝑗(−𝑝) =
1
−𝑝
1
𝑝
Tenemos entonces que 𝑗
, por lo tanto 𝑗
es impar.
v) 𝑙
2
2
2
Tenemos entonces que 𝑙(−𝑥) = 𝑙(𝑥), por lo tanto 𝑙(𝑥) es par.
vi) 𝑚
|−𝑥|
(−𝑥)
2
|𝑥|
𝑥
2
Tenemos entonces que 𝑚(−𝑥) = 𝑚(𝑥), por lo tanto 𝑚(𝑥) es par.
Ejercicio 11. Trace la gráfica de f y para cada función determine:
i) Dominio e Imagen.
ii) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
a)
2
x si x
f x
si x
i) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − { 0 }
ii) Intervalo de crecimiento: (−∞, 0 )
Intervalo de decrecimiento: no tiene
b)
x si x es un entero
f x
si x no es un entero
i) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
ii) Intervalo de crecimiento: no tiene
Intervalo de decrecimiento: no tiene
c)
2
x si x
f x x si x
x si x
i) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [− 3 , ∞)
ii) Intervalo de crecimiento: (− 3 , 1 ], [ 0 , 1 ]
Intervalo de decrecimiento: [− 1 , 0 ]. ( 1 , ∞)
d)
x
si x y x
x
f x
si x
i) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [− 3 , 3 ]
ii) Intervalo de crecimiento: no tiene
Intervalo de decrecimiento: no tiene
Ejercicio 12.
i) Para los siguientes pares de funciones, encuentre f g ( x ), g f ( x ), f g ( x ), f g ( x ) y
( x )
g
f
. En todos los casos indique el dominio.
a)
x
x
f x x g x
b) ( ) 2 ; ( ) 3
2
f x x x g x x
ii) Decida si las siguientes funciones son iguales:
i)
2
f ( x ) xy g ( x ) x ii) f ( x ) x y g ( x ) x
2
i)a) 𝑓
2 𝑥+ 6
𝑥
[
)]
= 𝑓 [
] = − 2 (
𝐷𝑜𝑚 (𝑓 ∘ 𝑔) = {𝑥 ∈ [−3, ∞) 𝑥
⁄
- 3 ≥ 0} (𝑥 + 3 ≥ 0 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = (√𝑥 + 3)
2
− 2√𝑥 + 3 )
𝐷𝑜𝑚 (𝑓 ∘ 𝑔) = {𝑥 ∈ [−3, ∞) 𝑥⁄ ≥ −3}
𝑫𝒐𝒎 (𝒇 ∘ 𝒈) = [−𝟑, ∞)
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑔[𝑥
2
− 2𝑥] = √(𝑥
2
𝟐
Graficando 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
− 2𝑥 + 3 tenemos que 𝑥
2
− 2𝑥 + 3 ≥ 0 ∀𝑥 (no hay restricción para x, entonces 𝑥 ∈ ℝ
𝐷𝑜𝑚 (𝑔 ∘ 𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ∈ ℝ} (𝑥 ∈ ℝ 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = √𝑥
2
2
𝐷𝑜𝑚 (𝑓 + 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = ℝ ∩ [−3, ∞)
𝑫𝒐𝒎 (𝒇 + 𝒈) = [−𝟑, ∞)
2
𝐷𝑜𝑚 (𝑓 + 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = ℝ ∩ [−3, ∞)
𝑫𝒐𝒎 (𝒇 + 𝒈) = [−𝟑, ∞)
𝟐
𝐷𝑜𝑚 (𝑓 ∙ 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = ℝ ∩ [−3, ∞)
𝑫𝒐𝒎 (𝒇 ∙ 𝒈) = [−𝟑, ∞)
𝟐
) = ℝ ∩ [−3, ∞) − {𝑥 ∈ ℝ 𝑥 + 3 = 0⁄ }
) = [−3, ∞) − {𝑥 ∈ ℝ 𝑥 + 3 = 0
) = [−3, ∞) − {−3}
ii) Decida si las siguientes funciones son iguales:
i)
2
f ( x ) xy g ( x ) x ii) f ( x ) x y g ( x ) x
2
2
0
Como las funciones tienen imágenes distintas funciones NO son iguales.
2
0
0
0
Como las funciones tienen distintos dominios, las funciones NO son iguales.
Ejercicio 13. El pago diario para una cuadrilla de trabajo es directamente proporcional al número de
trabajadores; si una cuadrilla de 12 trabajadores gana un salario de $540:
a) Exprese el número de pesos del pago diario como una función del número de trabajadores.
b) ¿Cuál es el pago diario para una cuadrilla de 15 trabajadores?
a)
𝑥: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠
Con los datos tenemos:
Reescribiendo
b)
El pago diario para una cuadrilla de 15 trabajadores es de $ 675.
Ejercicio 14. Para una cuerda en vibración, la rapidez de vibración es directamente proporcional a la raíz
cuadrada de la tensión en la cuerda.
a) Si una cuerda particular vibra 864 veces por segundo bajo una tensión de 24 kg, exprese el número de
vibraciones por segundo como una función del número de kilogramos de la tensión.
b) Encuentre el número de vibraciones por segundo bajo una tensión de 6 kg.
a)
𝑡: 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
𝑟: 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Con los datos tenemos:
Racionalizando, simplificando y sacando factores fuera del radical tenemos:
Reescribiendo
∙ √𝒕 ó 𝒓(𝒕) = 𝟕𝟐√𝟔 ∙ √𝒕
b)
2
El número de vibraciones es de 432 veces por segundo.
Ejercicio 15. El peso de un cuerpo en inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro de la
Tierra.
Ejercicio 18. Un túnel tiene forma parabólica dada por la función
f x x x
2
a) ¿Qué altura tiene a 1.5 m del inicio del arco?
b) ¿Cuál es su altura máxima?
c) ¿Hay que tomar alguna precaución para que circule un colectivo de 3 m de alto por 2.5 m de ancho?
a) 𝑓(1,5) = 1,75 𝑚
b) 𝑓(𝑥) = −
1
9
2
4
3
𝑥 es una función cuadrática, como 𝑎 = −
1
9
, es cóncava hacia abajo.
Sacando factor común −𝑥 nos queda 𝑓(𝑥) = −𝑥 (
1
9
4
3
). Esta expresión se hace cero para 𝑥
1
= 0 y
cuando
1
9
4
3
= 0, despejando encontramos 𝑥
2
Ahora para encontrar la altura máxima encontramos las coordenadas de vértice.
𝑣
1
2
Entonces la altura máxima será 𝑓(6) = 4.
c) como el colectivo tiene 3m de altura
2
2
1
2
2
1
2
El colectivo tendrá que pasar por el túnel a una distancia mayor de 3 metros de cada extremo.
La región sombreada será el lugar por donde podrá circular el colectivo en su recorrido de ida. Una región
simétrica corresponderá al carril de vuelta.
Ejercicio 20. Para cada una de las siguientes funciones:
i) Indique dominio e imagen de las mismas.
ii) Analice la inyectividad y sobreyectividad.
iii) Restrinja el dominio y/o imagen para determinar su inversa.
iv) Represente gráficamente en un mismo sistema.
a) f(x) = -x + 2 b) f(x) = 1
2
x c) f(x) = -
d) f(x)=
3 x
e ) f(x)=
x
f) f(x)=
2
si 1
si 1 4
x x
x x
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
i) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [−1, ∞)
ii) Inyectividad:
Como la gráfica de f es una parábola, si se trazan rectas horizontales se corta a la gráfica en dos puntos
distintos, eso da una primera idea de que no es inyectiva.
Para demostrar que no es inyectiva buscamos dos valores distintos que tengan la misma imagen.
Sea 𝑥 1
= 2 y 𝑥
2
= −2 se tiene que 𝑥
1
2
y 𝑓(𝑥
1
2
por lo tanto 𝑓 NO es inyectiva.
Sobreyectividad:
Si 𝑓: ℝ ⟶ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
− 1 como 𝐼𝑚 𝑓 ≠ ℝ(conjunto de llegada) , la función no es sobreyectiva.
iii) Para que 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
− 1 tenga inversa debemos restringir dominio e imagen, para que sean inyectiva
elegimos una rama de la parábola que tendrá por dominio
[0, ∞)
. Para que sea sobreyectiva elegimos como
conjunto de llegada a su imagen.
entonces sea:
∗
: [0, ∞) ⟶ [−1, ∞) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓
∗
2
Para encontrar la inversa, despejamos 𝑥 en función de 𝑦 y luego hacemos cambio de variable:
∗
2
2
2
Entonces 𝑓
∗−
: [−1, ∞) ⟶ [0, ∞) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓
∗−
iv)
i) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 𝐼𝑚 𝑓 = [0, ∞)
ii) Inyectividad:
Si trazo rectas horizontales corto a la gráfica en dos puntos distintos, eso da una primera idea de que no es
inyectiva.
Para demostrar que no es inyectiva buscamos dos valores distintos que tengan la misma imagen.
Sea 𝑥
1
= 1 y 𝑥
2
= 5 se tiene que 𝑥
1
2
y 𝑓(𝑥
1
2
) = 1por lo tanto 𝑓 NO es inyectiva.
Sobreyectividad:
Si 𝑓: ℝ ⟶ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥)
1
2
|𝑥 − 3| como 𝐼𝑚 𝑓 ≠ ℝ(conjunto de llegada), la función no es sobreyectiva.
iii) Para que 𝑓(𝑥) =
1
2
|𝑥 − 3| tenga inversa debemos restringir dominio e imagen. Para que sean inyectiva
elegimos una rama que tendrá por dominio [3, ∞). Para que sea sobreyectiva elegimos como conjunto de
llegada a su imagen.
entonces sea:
∗
: [3, ∞) ⟶ [0, ∞) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓
∗
Como 𝑥 ∈ [3, ∞), 𝑓
∗
queda:
∗
: [3, ∞) ⟶ [0, ∞) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓
∗
Para encontrar la inversa, despejamos 𝑥 en función de 𝑦 y luego hacemos cambio de variable:
∗
Entonces 𝑓
∗−
: [0, ∞) ⟶ [3, ∞) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓
∗−
iv)
e) 𝑓(𝑥) = √𝑥
i) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
0
0
ii) Inyectividad:
Si trazo rectas horizontales corto a la gráfica en un punto, eso me da una primera idea de que es inyectiva.
Sea 𝑥 1
2
0
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
Como 𝑥 1
2
0
nos queda 𝑥
1
2
, por lo tanto 𝑓 es inyectiva.
Sobreyectividad:
Si 𝑓: ℝ 0
⟶ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = √𝑥 como 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ
0
≠ ℝ(conjunto de llegada), la función no es
sobreyectiva.
iii) Para que 𝑓(𝑥) = √𝑥 tenga inversa debemos restringir la imagen. La función ya es inyectiva. Para que sea
sobreyectiva elegimos como conjunto de llegada a su imagen.
entonces sea:
∗
0
0
∗
Para encontrar la inversa, despejamos 𝑥 en función de 𝑦 y luego hacemos cambio de variable:
∗
2
2
2
Como 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
0
nos queda:
2
2
2
Entonces 𝑓
∗−
0
0
∗−
2
iv)
Ejercicio 21. En la tabla que sigue se enumeran las cantidades totales de estaciones de radio en EE.UU. en
ciertos años.
Año Número
a) Grafique los datos
b) Determine una función lineal f(x) = a x + b que sirva de modelo para estos datos, donde x es el año.
Grafique f y los datos en los mismos ejes coordenados.
c) Encuentre f
— 1
(x) y explique su significado.
d) Utilice f
— 1
(x) para pronosticar el año que hubo 7.744 estaciones.
a)
b) Para graficar determinar una función lineal que sirva como modelo, podemos elegir dos puntos de manera
tal que al trazar la recta que pasa por esos dos puntos, todos los demás puntos estén alineados.
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
c) Una función lineal es biyectiva por lo tanto tiene inversa:
