TEORÍA DE FUNCIONES
DE UNA VARIABLE REAL
I. Barrow (1630–1677), Lectiones Geometricae
Editado por
José L. Arregui, Julio Bernués,
Bienvenido Cuartero y Mario Pérez,
sobre apuntes del área de Análisis
Matemático
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TEORÍA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL, Apuntes de Análisis Matemático
Asignatura: Análisis Matemático, Profesor: , Carrera: Matemáticas, Universidad: UniZar
Tipo: Apuntes
Antes del 2010
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TEORÍA DE FUNCIONES
DE UNA VARIABLE REAL
I. Barrow (1630–1677), Lectiones Geometricae
Editado por
José L. Arregui, Julio Bernués,
Bienvenido Cuartero y Mario Pérez,
sobre apuntes del área de Análisis
Matemático
Índice general
- Números reales
- 1.1. Sistemas numéricos
- 1.1.1. Números naturales: principio de inducción
- 1.1.2. Números enteros y racionales
- 1.1.3. Números reales: operaciones algebraicas
- 1.2. Ordenación de los números reales
- 1.2.1. Desigualdades fundamentales en R
- 1.2.2. Valor absoluto de un número real. Desigualdades básicas
- 1.2.3. Conjuntos acotados en R. El axioma del supremo
- 1.2.4. Propiedad arquimediana de R: consecuencias
- 1.2.5. Números irracionales
- 1.2.6. Intervalos en R
- 1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real
- 1.4. Ejercicios
- Funciones reales de una variable real. Generalidades
- 2.1. Primeros conceptos
- 2.1.1. Funciones. Clases particulares de funciones
- 2.1.2. Operaciones con funciones
- 2.1.3. Ejemplos de funciones
- 2.2. Funciones trascendentes
- 2.2.1. Funciones exponencial y logarítmica
- 2.2.2. Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversas
- 2.2.3. Funciones hiperbólicas. Funciones hiperbólicas inversas
- 2.3. Ejercicios
- Sucesiones de números reales
- 3.1. Sucesiones convergentes - mite de una sucesión convergente 3.1.1. Definición de sucesión. Sucesiones acotadas y sucesiones convergentes. Lí-
- 3.1.2. Sucesiones monótonas
- 3.1.3. Operaciones con sucesiones
- 3.1.4. Desigualdades y límites. Regla del sandwich
- 3.1.5. Subsucesiones. Teorema de Bolzano-Weierstrass
- 3.1.6. Sucesiones de Cauchy
- 3.2. Límites infinitos
- 3.2.1. Sucesiones divergentes. Propiedades. Operaciones con sucesiones divergentes VI ÍNDICE GENERAL
- 3.2.2. La recta ampliada
- 3.2.3. Límite superior y límite inferior de una sucesión. Límites de oscilación
- 3.3. Límites de sucesiones y funciones elementales
- 3.4. Ejercicios
- Continuidad
- 4.1. Límites de funciones reales de una variable real
- 4.1.1. Definición de límite de una función. Unicidad del límite. Límite por sucesiones
- 4.1.2. Límites infinitos y límites en el infinito
- 4.1.3. Cálculo de límites
- 4.1.4. Límites laterales
- 4.1.5. Límites de funciones elementales
- 4.1.6. Límites y desigualdades
- 4.1.7. Condición de Cauchy para funciones
- 4.1.8. Límites de restricciones y extensiones de funciones
- 4.2. Funciones continuas
- 4.2.1. Definiciones de continuidad. Operaciones con funciones continuas
- Darboux; funciones continuas monótonas 4.2.2. Propiedades de las funciones continuas: teoremas de Weierstrass, Bolzano y
- 4.2.3. Clasificación de discontinuidades
- 4.2.4. Continuidad uniforme. Teorema de Heine. Extensión de funciones continuas
- 4.2.1. Definiciones de continuidad. Operaciones con funciones continuas
- 4.3. Ejercicios
- Derivación
- 5.1. Generalidades
- 5.1.1. Concepto de derivada. Derivadas laterales
- 5.1.2. Interpretación geométrica y física de la derivada
- 5.1.3. Derivabilidad y continuidad
- 5.1.4. Cálculo de derivadas
- 5.1.5. Derivabilidad de la función inversa
- 5.2. El teorema del valor medio
- 5.2.1. Extremos relativos y derivada nula
- 5.2.2. Teoremas de Rolle y del valor medio (o de los incrementos finitos)
- 5.3. Aplicaciones del teorema del valor medio
- 5.3.1. Funciones con derivada acotada y con derivada nula
- 5.3.2. Signo de la derivada y monotonía
- 5.3.3. Propiedad del valor intermedio para derivadas
- 5.3.4. Teorema del valor medio generalizado. Regla de L’Hospital
- 5.4. Aproximación polinómica local
- 5.4.1. Desarrollos polinómicos. Teorema de Taylor-Young
- 5.4.2. Aplicación al cálculo de límites
- 5.4.3. Fórmula de Taylor con resto
- 5.4.4. Extremos relativos
- 5.4.5. Convexidad y concavidad
- 5.4.6. Representación gráfica de funciones
- 5.5. Ejercicios
- La integral de Riemann ÍNDICE GENERAL VII
- 6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann
- 6.1.1. Definición de integral
- 6.1.2. Propiedades básicas de las sumas de Darboux
- nes monótonas y de las funciones continuas 6.1.3. Existencia de la integral: condición de Riemann. Integrabilidad de las funcio-
- con la de Darboux 6.1.4. Sumas de Riemann. Definición de integrabilidad de Riemann: comparación
- 6.2. Propiedades básicas de la integral de Riemann
- 6.2.1. Operaciones con funciones integrables
- 6.2.2. Integración en subintervalos
- 6.2.3. Teoremas de la media (o del valor medio) del cálculo integral
- 6.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral
- 6.3.1. Regla de Barrow (primer teorema fundamental del cálculo integral)
- 6.3.2. Continuidad y derivabilidad de una integral con extremo de integración variable
- 6.4. Apéndice: construcción de las funciones logarítmica y exponencial
- 6.5. Apéndice: cálculo de áreas, longitudes y volúmenes
- 6.6. Apéndice: cálculo de primitivas
- 6.6.1. Métodos básicos de integración
- 6.6.2. Integrales elementales
- 6.6.3. Integración de algunos tipos de funciones
- 6.7. Ejercicios
- Integrales impropias
- 7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades - gentes, oscilantes 7.1.1. Integrales impropias: definición de integrales impropias convergentes, diver-
- 7.1.2. Primeras propiedades de las integrales impropias
- 7.2. Convergencia de integrales impropias - de comparación 7.2.1. Convergencia de integrales impropias con integrando no negativo. Criterios - vergencia condicional. Criterios de Abel y Dirichlet 7.2.2. Integrales impropias de integrando cualquiera: convergencia absoluta y con-
- 7.3. Ejercicios
- Series numéricas
- 8.1. Definición y primeras propiedades
- 8.1.1. Series: términos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y oscilantes
- 8.1.2. Linealidad de la convergencia de series
- 8.1.3. Series telescópicas
- convergencia de Cauchy 8.1.4. Condición necesaria para la convergencia de una serie. Condición general de
- 8.2. Series de términos no negativos
- 8.2.1. Convergencia de una serie de términos no negativos. Criterios de comparación
- 8.2.2. Otros criterios. Convergencia de algunas series de términos no negativos
- 8.3. Series de términos cualesquiera
- 8.3.1. Series alternadas: criterio de Leibniz
- 8.3.2. Series absolutamente convergentes VIII ÍNDICE GENERAL
- 8.3.3. Criterios generales de Cauchy (de la raíz) y de D’Alembert (del cociente)
- 8.3.4. Criterios de convergencia de Abel y Dirichlet
- 8.4. Propiedad conmutativa para series
- 8.5. Apéndice: sumación de series
- 8.6. Ejercicios
- Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
- 9.1. Series de potencias
- 9.1.1. Convergencia de las series de potencias
- 9.1.2. Propiedades de las funciones representadas por series de potencias
- 9.2. Desarrollos en serie de Taylor
- 9.3. Ejercicios
- Sucesiones y series de funciones
- 10.1. Sucesiones y series de funciones: convergencia puntual
- 10.2. Convergencia uniforme
- 10.2.1. Definición de convergencia uniforme
- 10.2.2. Convergencia uniforme y continuidad
- 10.2.3. Convergencia uniforme e integración
- 10.2.4. Convergencia uniforme y derivación
- 10.3. Una condición suficiente para la convergencia uniforme
- Funciones elementales
- 11.1. Funciones elementales y series de potencias
- 11.1.1. Función exponencial
- 11.1.2. Función logarítmica
- 11.1.3. Funciones exponencial y logarítmica de base cualquiera
- 11.1.4. Funciones trigonométricas
- 11.2. Funciones trigonométricas
- 11.3. Apéndice: el número π es irracional
- Retratos
- Bibliografía
- Índice de símbolos
- Índice alfabético
2 Capítulo 1. Números reales
- Propiedad antisimétrica: si m ≤ n y n ≤ m, entonces m = n.
- Propiedad transitiva: si m ≤ n y n ≤ p, entonces m ≤ p.
- Propiedad de orden total: siempre es m ≤ n o n ≤ m.
La ordenación de N no es independiente de la suma y el producto: para dos números naturales m , n se tiene m > n si y solo si m = n + p para algún número natural p.
Principio de buena ordenación. Todo conjunto no vacío de números naturales posee un elemento mínimo, es decir, dado S ⊆ N no vacío, existe un elemento m en S tal que m ≤ n para todo n ∈ S.
El principio de inducción. Esta es una de las propiedades de N que más vamos a usar durante el curso. Se puede enunciar así:
- si un conjunto de números naturales contiene a 1 y por cada elemento n del conjunto también n + 1 pertenece a él, entonces el conjunto es N_. Es decir, dado S_ ⊆ N tal que 1 ∈ S y n + 1 ∈ S siempre que n ∈ S, es S = N_._
En la práctica, el principio de inducción suele aplicarse en términos de propiedades más que en térmi- nos de conjuntos:
- supongamos que para cada número natural n se tiene una propiedad Pn que puede ser cierta o falsa. Supongamos además que:
a) P 1 es cierta; b) si para algún n ∈ N la propiedad Pn es cierta, entonces la propiedad Pn + 1 también es cierta.
Entonces, Pn es cierta para todo n ∈ N_._
La siguiente variante se llama principio de inducción completa :
- supongamos que para cada número natural n se tiene una propiedad Pn que puede ser cierta o falsa. Supongamos además que:
a) P 1 es cierta; b) si para algún n ∈ N todas las propiedades P 1 , P 2 ,... , Pn son ciertas, entonces Pn + 1 también es cierta.
Entonces, Pn es cierta para todo n ∈ N_._
Es un hecho notable, señalado por el matemático italiano Peano en su obra Arithmetices principia nova methodo exposita (Bocca, 1889) que todas las propiedades de los números naturales pueden deducirse de las siguientes, llamadas en su honor axiomas de Peano para los números naturales:
- Para todo número natural n existe otro número natural, ns, que se llama siguiente o sucesor de n.
- Existe un número natural, que denotamos por 1 , tal que ns 6 = 1 cualquiera que sea el número natural n.
1.1. Sistemas numéricos 3
- Para números naturales cualesquiera m y n, es ms = ns si y solo si m = n.
- Principio de inducción: si un conjunto S de números naturales contiene a 1 y por cada elemento n ∈ S también ns ∈ S, entonces S = N_._
Las operaciones de suma y producto y la relación de orden se definen entonces en términos de si- guientes, véase por ejemplo [BIRKHOFF-MACLANE].
1.1.2. Números enteros y racionales
El conjunto de los números enteros... , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,... , que amplía el de los naturales, se denota por Z. En él hay definidas dos operaciones, suma y producto, y una relación de orden. Las propiedades de la suma, el producto y el orden para los números naturales también las cumplen los números enteros. Y además:
- Elemento neutro (cero) para la suma: hay un número entero, que denotamos por 0 , tal que 0 + n = n + 0 = n para cualquier entero n.
- Elemento opuesto para la suma: para cada entero n hay otro número entero (y solo uno), que denotamos por − n, tal que (− n ) + n = n + (− n ) = 0_._
Estas propiedades y las anteriores de la suma y el producto se resumen diciendo que Z, con estas dos operaciones, es un anillo conmutativo. Para la relación de orden podemos añadir:
- Relación del orden con la suma: si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c.
- Relación del orden con el producto por números no negativos: si a ≤ b y c ≥ 0 , entonces ac ≤ bc.
Principio de buena ordenación de los conjuntos acotados inferiormente. El principio de buena ordenación de los números naturales no es válido para los números enteros: por ejemplo, el propio conjunto Z no tiene elemento mínimo, pues para cada n ∈ Z es n − 1 < n. Sin embargo, hay una propiedad análoga para cierta clase de subconjuntos: los acotados inferiormente. Un subconjunto S ⊆ Z no vacío se dice que está acotado inferiormente si existe algún número entero k ∈ Z tal que para todo n ∈ Z, k ≤ n. Todo conjunto no vacío S ⊆ Z acotado inferiormente posee un elemento mínimo, es decir, existe un elemento m en S tal que para todo n ∈ S , m ≤ n.
Un principio de inducción. En Z puede hablarse del siguiente a un número entero, en el sentido de que entre n y n + 1 no hay ningún otro número entero. No se cumple, sin embargo, el principio de inducción, sino una propiedad similar aunque más débil:
- si un conjunto de números enteros contiene un número k y que por cada elemento n del conjunto también n + 1 pertenece a él, entonces el conjunto contiene a todos los números enteros mayores o iguales que k. Es decir, si k ∈ S ⊆ Z y n + 1 ∈ S siempre que n ∈ S, entonces S ⊇ { n ∈ Z : n ≥ k }.
Los números racionales. En Z es posible la resta, pero no la división. Esta operación es posible (dividiendo por elementos distintos de 0) en el conjunto Q de los números racionales , que son co- cientes de números enteros (con denominador no nulo). En este conjunto están definidas la suma y el producto, y una relación de orden. Las propiedades de la suma, el producto y el orden para los números enteros también las cumplen los números racionales. Y además:
1.2. Ordenación de los números reales 5
y de d) se sigue
0 = −( x · 0 ) + x · 0 = −( x · 0 ) + [( x · 0 + x · 0 )] a ) = [−( x · 0 ) + x · 0 ] + x · 0 d ) = 0 + x · 0 c ) = x · 0.
Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos de una recta. Esto permite ver, sobre todo, las relaciones de orden.
−− 22 − 1 0 1312 1 π^2 6
2 e^ 3 4 5 6 7 8 9 10
γ π 2 π π^2
√^1 2
log 2
La recta real, con algunos números señalados
1.2. Ordenación de los números reales
1.2.1. Desigualdades fundamentales en R
En R hay una relación de orden que extiende la de los números racionales. Las propiedades básicas son las siguientes ( a , b , c representan números reales cualesquiera):
- Propiedad reflexiva: a ≤ a.
- Propiedad antisimétrica: a ≤ b y b ≤ a =⇒ a = b.
- Propiedad transitiva: a ≤ b y b ≤ c =⇒ a ≤ c.
- Propiedad de orden total: a ≤ b ó b ≤ a.
- Relación con la suma: a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c.
- Relación con el producto: c ≥ 0 , a ≤ b =⇒ ac ≤ bc; en particular, c ≥ 0 , b ≥ 0 =⇒ bc ≥ 0_._
Dados a , b ∈ R, se escribe a < b si a ≤ b y a 6 = b. De estas propiedades pueden deducirse sucesivamente (es un ejercicio recomendable) las siguien- tes desigualdades, que utilizaremos de aquí en adelante sin más comentario según las necesitemos. En lo que sigue, a , b , c , d , a 1 ,... , an representan números reales cualesquiera.
- a ≤ b , b < c =⇒ a < c.
- a < b , b ≤ c =⇒ a < c.
- a < b =⇒ a + c < b + c.
- Suma de desigualdades : a ≤ b , c ≤ d =⇒ a + c ≤ b + d , siendo entonces a + c = b + d si y solo si a = b y c = d.
6 Capítulo 1. Números reales
- a 1 ,... , an ≥ 0 =⇒ a 1 + · · · + an ≥ 0; además, a 1 + · · · + an > 0 excepto si a 1 = · · · = an = 0.
- a > 0, b > 0 =⇒ ab > 0.
- a > 0, b < 0 =⇒ ab < 0.
- a < 0, b < 0 =⇒ ab > 0.
- a^2 ≥ 0.
- a 6 = 0 =⇒ a^2 > 0.
- 2 ab ≤ a^2 + b^2.
- 1 > 0, − 1 < 0.
- a < b , c > 0 =⇒ ac < bc.
- a < b , c < 0 =⇒ ac > bc.
- a ≤ b , c ≤ 0 =⇒ ac ≥ bc.
- 0 ≤ a ≤ b =⇒ a^2 ≤ b^2.
- 0 ≤ a < b =⇒ a^2 < b^2.
- a > 0 ⇐⇒
a
- 0 < a ≤ b =⇒
b
a
- a ≤ b < 0 =⇒
b
a
1.2.2. Valor absoluto de un número real. Desigualdades básicas
El valor absoluto de un número real a es el número real no negativo
| a | =
a , si a ≥ 0; − a , si a ≤ 0.
Gráficamente corresponde a la distancia de a al origen.
Definición 1.2.1 (distancia entre números reales). Dados a, b ∈ R , se llama distancia entre a y b al número real no negativo | a − b |.
Gráficamente, | a − b | mide la distancia geométrica entre los puntos a y b. Recogemos las propiedades del valor absoluto que son de mayor interés para el resto del curso. Si a , b , c , d denotan números reales cualesquiera, se verifica:
- | 1 | = 1; | − 1 | = 1.
- | − a | = | a |.
8 Capítulo 1. Números reales
1.2.3. Conjuntos acotados en R. El axioma del supremo
Dado un subconjunto S de R y un número real a , si a ≤ s para todo s ∈ S se dice que a es una cota inferior de S y que S está acotado inferiormente (por a ). Si b es otro número real y b ≥ s para todo s ∈ S , se dice que b es una cota superior de S y que S está acotado superiormente (por b ). Si un conjunto S está acotado superior e inferiormente, se dice que está acotado. Un número real m se dice que es el mínimo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una cota inferior. Es decir, si m ∈ S y m ≤ s para todo s ∈ S. Se escribe entonces m = m´ın S. Un número real M se dice que es el máximo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una cota superior. Es decir, si M ∈ S y M ≥ s para todo s ∈ S. En ese caso, se escribe M = m´ax S. Un número real a se dice que es el ínfimo de un conjunto S si es la mayor cota inferior del S. Es decir, si a ≤ s para todo s ∈ S y cada a ′^ > a no es cota inferior de S ; de modo que se tendrá a ′^ > s ′ para algún s ′^ ∈ S. En ese caso, se escribe a = ´ınf S. Dicho de otra forma, el ínfimo de un conjunto es el máximo del conjunto de cotas inferiores del primero. Nótese que si a = ´ınf S , será a = m´ın S si y solo si a ∈ S. Un número real b se dice que es el supremo de un conjunto S si es la menor cota superior del S. Es decir, si b ≥ s para todo s ∈ S y cada b ′^ < b no es cota superior de S ; de modo que se tendrá b ′^ < s ′ para algún s ′^ ∈ S. Se escribe b = sup S. Dicho de otra forma, el supremo de un conjunto es el mínimo del conjunto de cotas superiores del primero. Nótese que si b = sup S , será b = m´ax S si y solo si a ∈ S. El axioma del supremo , o axioma de completitud de R, es la siguiente propiedad que caracteriza la diferencia entre Q y R:
- Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente tiene supremo.
La propiedad simétrica (todo subconjunto no vacío de R acotado inferiormente tiene ínfimo) es con- secuencia de lo anterior.
1.2.4. Propiedad arquimediana de R : consecuencias
Teorema 1.2.2 (propiedad arquimediana de R ). Dados dos números reales a, b, con a > 0 , existe algún número natural n tal que na > b.
Demostración. Sean a , b ∈ R, con a > 0. Razonemos por reducción al absurdo: supongamos que la te- sis no es cierta, es decir, na ≤ b para todo número natural n , y veamos que se llega a una contradicción. En tal caso, el conjunto S = { na : n ∈ N}, que no es vacío, estaría acotado superiormente (por b ), luego por el axioma del supremo tendría supremo. Sea s este supremo, es decir, s = sup S = sup{ na : n ∈ N}. Puesto que a > 0, s − a < s ; según la definición de supremo, s − a ya no puede ser cota superior del conjunto S , de modo que existirá algún elemento en S estrictamente mayor que s − a. Dicho elemento será de la forma ma con m ∈ N, y así s − a < ma. Pero esto implica que s < ma + a = ( m + 1 ) a y obviamente ( m + 1 ) a ∈ S , con lo cual s no es una cota superior de S. Hemos llegado a una contradic- ción.
Aplicada al caso particular a = 1, la propiedad arquimediana muestra que el conjunto N de los números naturales no está acotado superiormente por ningún número real. Como consecuencia de la propiedad arquimediana se puede probar que todo número real está comprendido entre dos enteros consecutivos.
1.2. Ordenación de los números reales 9
Teorema 1.2.3 (parte entera de un número real). Dado x ∈ R , existe un número entero (y uno solo), que suele denotarse con [ x ] , tal que [ x ] ≤ x < [ x ] + 1.
El número [ x ] se llama la parte entera de x.
Demostración. La desigualdad del enunciado equivale a decir que [ x ] es el mayor número entero que es menor o igual que x. Para probar que existe, podemos utilizar uno cualquiera de los siguientes caminos: Primer camino. Comenzamos por observar que todo conjunto no vacío de números enteros aco- tado superiormente tiene un elemento máximo, como se deduce del principio de buena ordenación de los conjuntos minorados sin más que tomar opuestos. Pero el conjunto
S = { n ∈ Z : n ≤ x }
es no vacío, pues por la propiedad arquimediana existe n ∈ N tal que n > − x y así − n < x , luego − n ∈ S ; además, S está acotado superiormente (por x o por cualquier número natural superior a x , si no queremos salirnos de Z). Por lo tanto, S tiene un elemento máximo, llamémosle m. Como m ∈ S , se tendrá m ≤ x. Y como m es el máximo de S y m < m + 1, se deduce que m + 1 ∈/ S , es decir, x < m + 1. Segundo camino. Utilizamos que todos los números naturales son mayores o iguales que 1 (de- mostrarlo por inducción) y que los números naturales son justamente los enteros positivos. Llamando nuevamente S al conjunto de enteros menores o iguales que x , S es no vacío por el argumento anterior y está acotado superiormente por x ; aplicando el axioma del supremo, S tiene un supremo, al que vamos a llamar s. Como s − 1 ya no es cota superior de S , por ser estrictemente menor que s , existirá m ∈ S tal que s − 1 < m ≤ s. Pero m también es cota superior de S , dado que si algún n ∈ S verificase n > m obtendríamos m < n ≤ s < m + 1, de donde 0 < n − m < 1, y n − m sería un entero positivo menor que 1, imposible. Por tanto vemos que hay un elemento de S que es cota superior de S , es decir, que es el máximo de S , y como antes deberá cumplir m ≤ x < m + 1.
La propiedad arquimediana permite también deducir cómo están distribuidos en R los números racionales.
Teorema 1.2.4 (densidad de Q en R ). Dados dos números reales a, b, con a < b, existe algún número racional r tal que a < r < b.
Observación. Si existe tal r , podrá escribirse en la forma r = m / n con m ∈ Z y n ∈ N, de modo que tenemos que encontrar m ∈ Z y n ∈ N tales que a < m / n < b o, lo que es lo mismo, na < m < nb. Es intuitivamente claro, pensando en la representación gráfica de R, que entre dos números a distancia mayor que 1 siempre se puede incluir un número entero (suponiendo los dos números positivos, por ejemplo, superponiendo el segmento unidad consigo mismo hacia la derecha, la primera vez que sobrepasemos el número más cercano al origen, no habremos sobrepasado el otro número). Esta es la idea que vamos a tratar de utilizar.
Demostración. La propiedad arquimediana aplicada a b − a > 0 y a 1 nos asegura la existencia de un n ∈ N tal que n ( b − a ) > 1, con lo cual nb > na + 1. Sea ahora S = { p ∈ Z : p > na }. Este es un conjunto no vacío (¿por qué?) de números enteros acotado inferiormente en Z (¿por qué?); por lo tanto, posee un elemento mínimo. Llamando m = m´ın S , puesto que m ∈ S es m > na ; y como es el mínimo de S , m − 1 no puede estar en S , lo que significa que m − 1 ≤ na. Pero entonces m ≤ na + 1 < nb ; así pues, na < m < nb y finalmente a < m / n < b.
1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real 11
- intervalo cerrado, acotado superiormente pero no inferiormente: (−∞, b ] = { x ∈ R : x ≤ b };
- intervalo no acotado inferior ni superiormente: (−∞, +∞) = R.
Nótese que si a > b , ( a , b ) = 0, de modo que el conjunto vacío es un intervalo./ Los intervalos de R se caracterizan por la propiedad de los valores intermedios :
Proposición 1.2.6 (caracterización de los intervalos reales). Un subconjunto I de R es un intervalo si y solo si dados x , y ∈ I, cada z ∈ R tal que x ≤ z ≤ y también pertenece a I (dicho de otro modo: con cada dos valores están también todos los intermedios).
Demostración. Para probar la implicación directa basta un examen de todos los casos. Por ejemplo, si I = ( a , b ), x , y ∈ I , y z ∈ R es tal que x ≤ z ≤ y , se tiene a < x ≤ z ≤ y < b , luego a < z < b y por definición z ∈ I. La implicación inversa es trivial en el caso de que I = 0. Suponemos, pues,/ I 6 = 0. Pueden presen-/ tarse las siguientes situaciones: a) I es acotado; b) I es acotado superiormente pero no inferiormente; c) I es acotado inferiormente pero no superiormente; d) I no es acotado superior ni inferiormente. Veamos cada una de ellas. a) I es acotado. Sea a = ´ınf I , b = sup I. Obviamente entonces ( a , b ) ⊆ I ⊆ [ a , b ], pues c ∈ ( a , b ) ⇐⇒ a < c < b , y por definición de supremo e ínfimo existirán un x ∈ I con x < c y un y ∈ I con c < y , luego c ∈ I ; por otra parte, también por definición de supremo e ínfimo, de x ∈ I se sigue a ≤ x ≤ b , o sea, x ∈ [ a , b ]. Ahora,
- si a , b ∈ I , [ a , b ] = ( a , b ) ∪ { a , b } ⊆ I ⊆ [ a , b ], luego I = [ a , b ];
- si a ∈ I , b 6 ∈ I , [ a , b ) = ( a , b ) ∪ { a } ⊆ I ⊆ [ a , b ] \ { b } = [ a , b ), luego I = [ a , b );
- si a 6 ∈ I , b ∈ I , ( a , b ] = ( a , b ) ∪ { b } ⊆ I ⊆ [ a , b ] \ { a } = ( a , b ], luego I = ( a , b ];
- si a 6 ∈ I , b 6 ∈ I , ( a , b ) ⊆ I ⊆ [ a , b ] \ { a , b } = ( a , b ), luego I = ( a , b ). b) I es acotado superiormente pero no inferiormente. Sea a = sup I , con lo que (−∞, a ) ⊆ I ⊆ (−∞, a ], pues para cada z ∈ I es z ≤ a y dado z < a , existe y ∈ I con z < y (por definición de supremo) y existe x ∈ I con x < z ( I no está acotado inferiormente), que con la hipótesis del enunciado da z ∈ I. En consecuencia,
- si a ∈ I , (−∞, a ] = (−∞, a ) ∪ { a } ⊆ I ⊆ (−∞, a ], luego I = (−∞, a ];
- si a ∈/ I , (−∞, a ) ⊆ I ⊆ (−∞, a ] \ { a } = (−∞, a ), luego I = (−∞, a ).
Los restantes casos se analizan de forma análoga: en c) se obtiene I = ( a , +∞) o I = [ a , +∞), donde a = ´ınf I , y en d) queda I = R.
1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real
En esta exposición seguimos esencialmente la que puede verse en [APOSTOL 2 , págs. 13–15]. Los números reales de la forma a 0 +
a 1 10
a 2 102
an 10 n^
donde a 0 es un número entero no negativo y a 1 ,... , an son enteros que satisfacen 0 ≤ a (^) j ≤ 9, se expresan normalmente de la forma a 0 , a 1 a 2... an. Esta expresión se llama representación decimal finita. Estos números son racionales, pero no todo número racional tiene una representación decimal finita (véase [APOSTOL 2 , págs. 13–14]).
12 Capítulo 1. Números reales
Proposición 1.3.1 (aproximaciones decimales finitas de los números reales). Dado un número real x ≥ 0 , para todo n ∈ N existe un decimal finito rn = a 0 , a 1 a 2... an tal que
rn ≤ x < rn +
10 n^
En consecuencia, x = sup{ rn : n ∈ N}.
Demostración. Para construir los rn basta tomar a 0 = [ x ], ak = [ 10 kx ] − 10 [ 10 k −^1 x ], 1 ≤ k ≤ n (ver detalles en [APOSTOL 2 , págs. 14–15]). Por otra parte, x es cota superior de { rn : n ∈ N} por construcción, y es la menor de las cotas
superiores porque si y < x es posible encontrar un n ∈ N de manera que 10 n^ >
x − y (¿por qué?) y
para este n es rn > y (¿por qué?).
Que x es el supremo del conjunto { rn : n ∈ N} suele expresarse poniendo
x = a 0 , a 1 a 2... an...
y se dice entonces que a 0 , a 1 a 2... an... es una representación decimal infinita de x. En ciertos ca- sos, es posible obtener el mismo supremo para dos representaciones decimales infinitas distintas, ver [APOSTOL 2 , pág. 15]. Para x = 0, suele tomarse como representación decimal 0, 00... 0.. .; y para x < 0, se parte de una representación decimal de − x y se coloca un signo − delante. Hay una presentación más geométrica y computacional en [LAX, sec. 1.3]. Si en lugar de potencias de 10 se utilizan potencias de 2, se obtiene la representación binaria de los números reales; la representación hexadecimal resulta al tomar potencias de 16. Ambas son muy importantes (especialmente la primera) en relación con los ordenadores. Pueden verse detalles en [ABELLANAS-GALINDO, cap. 3] y [BARTLE-SHERBERT, pág. 73 y sigs.].
1.4. Ejercicios
Ejercicio 1.1. Sea x ∈ R. Demostrar que si | x | ≤ ε para todo ε > 0, entonces x = 0. ¿Qué números reales x cumplen que x ≤ ε para todo ε > 0?
Ejercicio 1.2. Decir si cada una de las siguientes expresiones es cierta o falsa:
a)
30 ∑ j = 1
j^4 =
30 ∑ j = 0
j^4 b)
100 ∑ j = 0
c)
20 ∑ j = 1
( 2 + j^2 ) = 2 +
20 ∑ j = 1
j^2 d)
100 ∑ k = 1
k^2 =
k = 1
k
Ejercicio 1.3. Expresar con notación de sumatorio:
a)
b) 1 + 40 + 900 + 16 000 + 250 000 + 3 600 000
c) 1 − 2 x + 3 x^2 − 4 x^3 + 5 x^4 d) a^5 + a^4 b + a^3 b^2 + a^2 b^3 + ab^4 + b^5
e) a^5 − a^4 b + a^3 b^2 − a^2 b^3 + ab^4 − b^5 f) a 0 x^4 + a 1 x^3 + a 2 x^2 + a 3 x + a 4