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An´alisis de una variable
Tema 2. Funciones de una variable real
1 Funciones y gr´aficas
Se podr´funci´on real de una variable real no es m´ıa decir que el concepto de funci´on es el m´as que una relaci´as importante de las Matem´on que asigna de modo ´aticas. Unaunico a un n´umero real otro n´umero real. Si S, T ⊆ R definimos f : S → T como la aplicaci´on que a cada x ∈ S le hace corresponder y = f (x) ∈ T. S es el conjunto origen y T el conjunto de llegada. Definimos Dominio de f, D(f ) al subconjunto de R en el que est´a definida la funci´on e Imagen de f, Im(f ) = {y ∈ R| ∃x ∈ D(f ) con y = f (x)} Al subconjunto {(x, f (x))|x ∈ S} del producto cartesiano S × T , se le denomina habitualmente grafo o gr´ XOY. afica de f , y tiene una representaci´on geomtrica en el plano
D(fPor ejemplo si ) = R e Im(^ ff ) =(x) = 2 R y su representaci´x^ + 3, como est´a definida para todo n´on gr´afica es una recta.umero real,
par´abola.Si^ f^ (x) =^ x^2 , entonces^ D(f^ ) =^ R, e^ Im(f^ ) = [0,^ +∞[=^ R+, y la gr´afica es una
es gr´Debe de quedar claro que toda funci´afica de una funci´on. on tiene una gr´afica o curva, pero no toda curva
y =Por ejemplo la circunferencia √ 1 − x^2 e y = −√ 1 − x^2.^ x^2 +^ y^2 = 1 es la uni´on de las gr´aficas de dos funciones, Funci´on inversa
f −^1 Dada(y) =^ f{^ x: ∈S S→ | fT (^ , six) =^ y y∈}^ .T^ se define la imagen inversa de^ y^ por f como el conjunto Suma y producto Dadas f, g : S → T , se define la suma f + g como la funci´on
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f + g : S → T tal que (f + g)(x) = f (x) + g(x) y el producto f g : S → T tal que (f g)(x) = f (x)g(x) Composici´on de funciones
como (^ Si^ fg^ : ◦S f^ →)(x^ T) =^ y g g(f^ : (^ Tx^ ))→^ U^ , podemos definir la composici´on de funciones^ g^ ◦f^ :^ S^ →^ U Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas Diremos que una funci´on f : S → T es inyectiva si f (x) = f (y) ⇒ x = y. Diremos que es suprayectiva si ∀y ∈ T, ∃x ∈ S tal que y = f (x), y es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. Si f es biyectiva, f −^1 : T → S es tambien biyectiva y (f −^1 )−^1 = f Funciones mon´otonas Diremos que f : S → T es mon´otona creciente, si x < y ⇒ f (x) ≤ f (y) Si f (x) < f (y) se dice estrictamente creciente. Diremos que f : S → T es mon´otona decreciente, si x < y ⇒ f (x) ≥ f (y) Si f (x) > f (y) se dice estrictamente decreciente. Veremos m´as adelante que si una funci´on es mon´otona, es inyectiva. Funciones acotadas. M´aximo y m´ınimo
f (x^ Diremos que) ≤ M ∀x ∈^ fS^ :, y acotada inferiormente si existe^ S^ →^ T^ est acotada superiormente si existe un n´ m ∈ R tal queumero real f (x) ≥ m M∀x^ tal que ∈ S. f : S → T tiene un m´aximo absoluto en c, si f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ S f : S → T tiene un m´ınimo absoluto en c, si f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ S f : S → T tiene un m´aximo relativo en c, si existe > 0 tal quef (c) ≥ f (x) ∀x ∈]c − , c + [ f : S → T tiene un m´ınimo relativo en c, si existe
Ejemplo: 1.- 3 x^2 − 10 xy + 3y^2 + x − 32 = 0. Como 102 − 4. 3 .3 = 100 − 36 = 64 > 0 se trata de una hip´erbola 2.- 16 x^2 + 24xy + 9y^2 − 30 x + 40y = 0. Como 242 − 4. 16 .9 = 576 − 576 = 0, una par´abola. 3.- 41 x^2 − 84 xy + 76y^2 − 168 = 0. Como 842 − 4. 41 .76 = 7056 − 12464 < 0 , una elipse. NOTA: Repasad estos conceptos como lugares geom´etricos.
