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AN
ALISIS DE VARIABLE REAL Grupo E Curso 2014/
Primer Parcial
Nombre:
Apellidos:
Duraci
on: 1 hora.
No se pueden utilizar libros, apuntes ni calculadoras, m
oviles o similares.
Todas las respuestas han de estar suficientemente justificadas.
Esc´ojanse cuatro de las cinco afirmaciones siguientes y determ´ınese cu´ales son verdaderas y cu´ales
falsas, demostrando las respuestas.
- (0.75 puntos) Si A y B son subconjuntos no vac´ıos de R tales que a < b para todo a 2 A y
todo b 2 B, entonces sup A < ´ınf B.
- (0.75 puntos) Existe una sucesi´on de n´umeros reales (x
n
) tal que para todo x 2 R alguna
subsucesi´on de (x n
) converge a x.
- (0.75 puntos) Si la serie
P
1
n=
a n
es convergente, entonces
P
1
n=
a n
n
tambi´en lo es.
- (0.75 puntos) Si l´ım x!c
f (x) = L y l´ım y!L
g(y) = M , entonces l´ım x!c
(g f )(x) = M.
- (0.75 puntos) Si f : R! R es continua en 1 y f (1) > 2, existe un -entorno V
(1) de 1 tal
que f (x) > 2 para todo x 2 V
AN
ALISIS DE VARIABLE REAL Grupo E Curso 2014/
Primer Parcial
Nombre:
Apellidos:
Duraci
on: 2 horas y 15 minutos.
Se pueden utilizar libros y apuntes, as
ı como una calculadora no programable. No
est
an permitidos otros aparatos electr
onicos y los m
oviles deben estar apagados.
Todas las respuestas han de estar suficientemente justificadas y todos los c
alculos
detallados.
- (1 punto) Demu´estrense que para todo n 2 N:
p
p
p
n
p
n.
- (2 puntos) Sea la sucesi´on de n´umeros reales (x n
) definida por
x
1
= 1, x
n+
1
x n
8 n 2 N.
Se pide:
a) Demostrar que es convergente.
b) Calcular su l´ımite.
- (2 puntos)
a) Est´udiese la convergencia de la siguiente serie en funci´on de los valores de los n´umeros reales
positivos a y b:
1
X
n=
(a + 1)(a + 2) · · · (a + n)
(b + 1)(b + 2) · · · (b + n)
b) Demu´estrese que la serie
P
1
n=
n
( 3)
n
es convergente. Est´ımese su suma con un error menor que
0.01 (en valor absoluto). ¿Es mayor la suma de la serie o su valor estimado?
- (2 puntos) Sea f : R! R la funci´on definida por:
f (x) =
x
2
1 , si x 2 R \ Q;
1 , si x 2 Q.
Determ´ınese en qu´e puntos tiene f l´ımite y calc´ulense estos l´ımites.
¿Tiene f l´ımite cuando x tiende a + 1?
AN
ALISIS DE VARIABLE REAL grupo E Curso 2014/
Convocatoria de Junio
Nombre:
Apellidos:
Duraci
on: 3 horas.
Se pueden utilizar libros y apuntes, as
ı como una calculadora no progra-
mable. No est
an permitidos otros aparatos electr
onicos y los m
oviles deben
estar apagados.
Todas las respuestas han de estar suficientemente justificadas y todos los
c
alculos detallados.
Los alumnos que se presenten a toda la asignatura deben responder s´olo a los
problemas: 3, 5, 8, 10 y a los apartados: 1 b) y 6 b).
Primer parcial
- (2 puntos) Para cada una de de las siguientes afirmaciones, dec´ıdase si es verdadera o es
falsa, demostrando la respuesta.
a) Existen sucesiones (x
n
) en R estrictamente crecientes cuyos t´erminos son todos los n´ume-
ros racionales.
b) Si la sucesi´on de sumas parciales de una serie de t´erminos positivos
P
a
n
tiene una
subsucesi´on acotada, entonces la serie
P
a
n
es convergente.
- (2 puntos)
a) Demu´estrese que para todo n 2 N:
2 · 4 · 6 · · · (2n)
1 · 3 · 5 · · · (2n 1)
p
3 n + 1.
b) Demu´estrese que si x e y son n´umeros reales no nulos y tales que x + y > 0, entonces
x
y
x
y
2
y
x
2
(Indicaci´on: Puede usarse la factorizaci´on x
3
3
= (x + y)(x
2
xy + y
2
- (2 puntos) Sea (x
n
) una sucesi´on de n´umeros reales tal que
x
1
3 , x
n+
p
x
n
3 8 n 2 N.
Se pide:
a) Estudiar su convergencia en funci´on de x 1
b) Calcular su l´ımite en los casos en que sea convergente.
- (2 puntos)
a) Determ´ınese para qu´e valores de a 2 R converge la siguiente serie:
1
X
n=
a
n
2
a
a
4
a
9
b) ¿Es convergente la serie
2
- (2 puntos)
a) Pru´ebese que si f : R! R satisface |f (x)| x
2
para todo x 2 R, entonces f es continua
en 0.
b) H´allense los puntos de continuidad de la funci´on f : R! R definida por:
f (x) =
1 , si x 1;
x + e
1 x
, si 1 < x 2;
x 1 /e + 2e
1 x
, si 2 < x 3;
x + 2/e
2
e + (1 + e
2
)e
2 x
, si x > 3.
Segundo parcial
- (2 puntos) Para cada una de de las siguientes afirmaciones, dec´ıdase si es verdadera o es
falsa, demostrando la respuesta.
a) Si f es continua en [a, + 1 ) y tiene l´ımite finito cuando x! + 1 , entonces f est´a acotada
en [a, + 1 ).
b) Si f 2 R[a, b] y f (x) 6 = 0 para todo x 2 [a, b], entonces 1/f 2 R[a, b].
- (2 puntos) Est´udiese la continuidad y la derivabilidad de la funci´on f : R! R definida por
f (x) =
x
1+e
1 /x
, si x 6 = 0;
0 , si x = 0.
- (2 puntos) Sea la funci´on f : ( 1 , + 1 )! R dada por f (x) = e
x
ln(1 + x). Se pide:
a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 3 de f en x 0
b) Probar que f (x) x +
1
2
x
2
para todo x 0.
c) Determinar si la integral impropia
R
1
0
f (x)
x
2
dx es o no convergente.
- (2 puntos) Sea f : [0, 1]! R una funci´on integrable Riemann. Para cada n 2 N, considere-
mos la partici´on marcada
P
n
[
i 1
n
i
n
],
i
n
n
i=
del intervalo [0, 1].
a) Usando las particiones
P
n
, probar que
l´ım
n!
n
n
X
i=
f
i
n
Z
1
0
f (x)dx.
b) Usando el resultado del apartado anterior y una elecci´on apropiada de f , probar que
l´ım
n!
n + 1
n + 2
n + n
= l´ım
n!
n
X
i=
n + i
= ln 2.
- (2 puntos) Sea la serie de potencias
1
X
n=
a n
x
n
, donde
a
n
1
5
n
, si n es un cuadrado perfecto;
0 , en caso contrario.
Se pide:
a) Determinar los puntos de R donde converge la serie.
b) Estudiar la continuidad de la funci´on suma de la serie en esos puntos.
AN
ALISIS DE VARIABLE REAL Grupo E Curso 2015/
Primer Parcial
Nombre:
Apellidos:
Duraci
on: 1 hora.
No se pueden utilizar libros, apuntes ni calculadoras, m
oviles o similares.
- (1 punto) Demu´estrese que el conjunto R de los n´umeros reales no es numerable.
- (1 punto) Def´ınanse los conceptos de l´ımite superior y l´ımite inferior de una sucesi´on acotada
de n´umeros reales, justificando su existencia.
- (1 punto) En´unciese y demu´estrese el criterio de Leibniz para series alternadas.
AN
ALISIS DE VARIABLE REAL Grupo E Curso 2015/
Primer Parcial
Nombre:
Apellidos:
Duraci
on: 2 horas y 15 minutos.
Se pueden utilizar libros y apuntes, as
ı como una calculadora no programable. No
est
an permitidos otros aparatos electr
onicos y los m
oviles deben estar apagados.
Todas las respuestas han de estar suficientemente justificadas y todos los c
alculos
detallados.
- (1 punto) Calc´ulense el supremo y el ´ınfimo, si existen, del siguiente subconjunto A de R. Si alguno
de ellos no existe, expl´ıquese la raz´on.
A = {(1 + ( 1)
n+
)n (1 + ( 1)
n
n
: n 2 N}.
- (2 puntos) Sea la sucesi´on de n´umeros reales (x
n
) definida por
x 1
= 2, x n+
1 + x
n
8 n 2 N.
Se pide:
a) Demostrar que es convergente.
b) Calcular su l´ımite.
- (2 puntos) Determ´ınese razonadamente cu´ales de las siguientes series son convergentes:
a)
1
X
n=
n + ( 1)
n
cos n
b)
2
2
3
3
4
4
- (2 puntos) Sea f : (0, 1)! R la funci´on definida por f (x) = x
1
x
, donde bxc denota la parte
entera de x 2 R. Demu´estrese que l´ım
x! 0
f (x) = 1.
AN
ALISIS DE VARIABLE REAL Grupo E Curso 2015/
Segundo Parcial
Nombre:
Apellidos:
Duraci´on: 2 horas y 15 minutos.
Se pueden utilizar libros y apuntes, as´ı como una calculadora no programable. No
est
an permitidos otros aparatos electr
onicos y los m
oviles deben estar apagados.
Todas las respuestas han de estar suficientemente justificadas y todos los c
alculos
detallados.
- (1 punto) Sean f, g : R! R funciones continuas tales que f es impar, g es par y g(1) = 0.
Demu´estrese que existe alg´un c 2 [ 1 , 1] tal que f (c) = g(c).
- (2 puntos) Sea la funci´on f : [ 1 , 1]! R definida por
f (x) =
x
3
sen(1/|x|
3
), si x 6 = 0;
0 , si x = 0.
a) Demu´estrese que f es derivable en [ 1 , 1] y h´allese la funci´on derivada f
0
b) Determ´ınese si f
0
es integrable Riemann. En caso afirmativo, calc´ulese
R
1
1
f
0
. En caso negativo,
demu´estrese la respuesta.
- (2 puntos) Pru´ebese que para todo n 2 N:
a)
Z
1
0
(1 x
2
n+
dx =
2 n + 2
2 n + 3
Z
1
0
(1 x
2
n
dx.
b)
Z
1
0
(1 x
2
n
dx =
2 · 4 · · · (2n)
3 · 5 · · · (2n + 1)
- (2 puntos) Para cada n 2 N, sea f n
: [0, 1]! R dada por f n
(x) = n
2
x(1 x
2
n
. Se pide:
a) Estudiar la convergencia puntual de la sucesi´on de funciones (f n
) en [0, 1], calculando la funci´on
l´ımite donde exista.
b) Estudiar la convergencia uniforme de (f n
en el intervalo [0, 1],
en cada intervalo [a, 1] con 0 < a < 1.
AN
ALISIS DE VARIABLE REAL grupo E Curso 2015/
Convocatoria de Junio
Parte Te´orica
Nombre:
Apellidos:
Duraci
on: 1 hora.
No se pueden utilizar libros, apuntes ni calculadoras, m
oviles o similares.
Los alumnos que se presenten a toda la asignatura deben responder s´olo a las
preguntas 1 y 3.
Primer parcial
- (1.5 puntos) En´unciese y demu´estrese la propiedad de los intervalos encajados.
- (1.5 puntos) Demu´estrese que toda sucesi´on de n´umeros reales tiene una subsucesi´on
mon´otona.
Segundo parcial
- (1.5 puntos)
a) Pru´ebese que si I es un intervalo y f : I! R tiene un extremo relativo en un punto
interior c de I en el que f es derivable, entonces f
0
(c) = 0.
b) En´unciese y demu´estrese el teorema de Rolle.
- (1.5 puntos) Demu´estrese que la funci´on l´ımite de una sucesi´on uniformemente convergente
de funciones continuas es continua.
2
Segundo parcial
- (2 puntos) Est´udiese la continuidad y la derivabilidad en x = 1 de la funci´on f : (0, + 1 )!
R definida por
f (x) =
1
ln x
x
ln x
, si x 6 = 1;
1 , si x = 1.
- (2 puntos)
a) Demu´estrese que para todo x 0:
(1 + x)
1 / 3
x
x
2
5 x
3
b) Utilizando el apartado anterior, est´ımese el valor de
R
1
0
(1 + x
2
1 / 3
dx con un error menor
que 0,01.
- (1.5 puntos) Sea F : [2, + 1 )! R la funci´on dada por F (x) =
R
x
5
x
4
dt
ln t
. ¿Es F creciente?
- (1.5 puntos) Determ´ınense los puntos de R donde converge la serie de potencias
P
1
n=
a n
x
n
donde:
a
n
1 / 3 , si n es par;
3 , si n es impar.
AN
ALISIS DE VARIABLE REAL Grupo E Curso 2015/
Convocatoria de Septiembre
Parte te´orica
Nombre:
Apellidos:
Duraci
on: 1 hora.
No se pueden utilizar libros, apuntes ni calculadoras, m
oviles o similares.
- (1.5 puntos) Demu´estrese que una sucesi´on de n´umeros reales es convergente si y s´olo si es de
Cauchy.
- (1.5 puntos) En´unciese y demu´estrese el teorema de Taylor.
AN
ALISIS DE VARIABLE REAL grupo E Curso 2016/
Primer Parcial
Nombre:
Apellidos:
Duraci
on: 3 horas.
Se pueden utilizar libros y apuntes, as
ı como una calculadora no programa-
ble. No est
an permitidos otros aparatos electr
onicos y los m
oviles deben estar
apagados.
Todas las respuestas han de estar suficientemente justificadas y todos los c
alcu-
los detallados.
- (3 puntos) Para cada una de las siguientes afirmaciones, determ´ınese si es verdadera o es falsa,
demostrando las respuestas.
a) El conjunto Q ⇢ R no es abierto ni cerrado en R.
b) Existen sucesiones en R que tienen subsucesiones acotadas pero no subsucesiones conver-
gentes.
c) Si
a n+
a n
< 1 para todo n 2 N, entonces la serie
P
1
n=
a
n
es convergente.
d ) Existe alguna funci´on f : R! R que tiene l´ımite en tres y s´olo tres puntos.
- (1.5 puntos) Sea x = 0.c 1
c 2
c 3
... la expresi´on decimal de un n´umero real x. Determ´ınese si x
es o no racional en cada uno de los siguientes casos. Si x es racional, obt´engase su expresi´on
como fracci´on irreducible y si no lo es, expl´ıquese la raz´on.
a) 8 n 2 N : c
n
1 , si n = 4k + 2 para alg´un k 2 N;
0 , en caso contrario.
b) 8 n 2 N : c n
3 , si n = k! para alg´un k 2 N;
0 , en caso contrario.
- (1 punto) Dada la sucesi´on X =
n
1
n
, se pide:
a) Hallar el conjunto S de todos los n´umeros reales que son l´ımite de alguna subsucesi´on de
X.
b) Calcular l´ım inf X y l´ım sup X.
- (1 punto) Calc´ulese l´ım
3
2
1
4
3
2
5
4
3
2
(n+2)
n+
n
n 1
n
3
- (2 puntos) Est´udiese la convergencia de cada una de las siguientes series en funci´on de los
valores del par´ametro p 2 R
a)
1
X
n=
1 + sen
2
(pn)
n
p
, b)
1
X
n=
n( 1)
n
p
n
- (1.5 puntos) Sea f : R \ { 0 }! R la funci´on definida por f (x) = sen
1+2x
2
x
4
. ¿Tiene esta
funci´on l´ımite en x = 0?
AN
ALISIS DE VARIABLE REAL grupo E Curso 2016/
Segundo Parcial
Nombre:
Apellidos:
Duraci
on: 3 horas.
Se pueden utilizar libros y apuntes, as
ı como una calculadora no programa-
ble. No est
an permitidos otros aparatos electr
onicos y los m
oviles deben estar
apagados.
Todas las respuestas han de estar suficientemente justificadas y todos los c
alcu-
los detallados.
- (3 puntos) Para cada una de las siguientes afirmaciones, determ´ınese si es verdadera o es falsa,
demostrando las respuestas.
a) Si a < b, f : [a, b]! R es continua y tal que f ([a, b]) ⇢ [a, b], entonces existe alg´un c 2 [a, b]
tal que f (c) = c.
b) Si c 2 (a, b), f : (a, b)! R es derivable en (a, b) \ {c} y l´ım
x!c
f
0
(x) = L 2 R, entonces f
es necesariamente derivable en c.
c) Si f 2 R[ 1 , 3] y f > 2, entonces
R
3
1
f > 6.
d ) Si las series de potencias
P
1
n=
a
n
x
n
y
P
1
n=
b
n
x
n
tienen radios de convergencia R
1
, R
2
2 R,
R
1
= R
2
, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias
P
1
n=
(a
n
n
)x
n
es
m´ın{R
1
, R
2
- (1.5 puntos) Para cada una de las siguientes funciones, determ´ınese si es uniformemente con-
tinua en su dominio:
a) f : [1, + 1 )! R dada por f (x) = ln(x
2
b) f : R! R dada por f (x) = cos(x
2
- (1.5 puntos) Sea la funci´on f : [ 2 , 3]! R definida por f (x) = cos(
p
|x|). Est´udiese su
derivabilidad en x = 0. Calc´ulense los valores m´aximo y m´ınimo absolutos de f en el intervalo.
- (2 puntos) Para cada una de las siguientes integrales impropias, determ´ınese si es o no con-
vergente. En caso afirmativo, h´allese su valor.
a)
Z
0
e
p
x
p
x
dx, b)
Z
1
0
e
x
(ln x)
2
(1 + x
4
)x
dx.
- (2 puntos)
a) H´allense el intervalo de convergencia y la funci´on suma, en dicho intervalo, de la serie de
potencias
1
X
n=
n
x
n
n
b) Sea a > 0 y consideremos la serie de funciones
1
X
n=
f
n
, donde cada f
n
: [ a, a]! R viene
dada por f n
(x) =
1
p
n
sen(x/n). Demu´estrese que la serie converge uniformemente en [ a, a]
a una funci´on derivable.
2
Segundo parcial
- (3 puntos) Para cada una de las siguientes afirmaciones, determ´ınese si es verdadera o es
falsa, demostrando las respuestas.
a)? Si f : A! R es continua en A y (x
n
) es una sucesi´on de Cauchy en A, entonces
(f (x n
)) tambi´en es de Cauchy.
b) Si a < b, existe alguna funci´on no constante f : [a, b]! R que tiene m´aximos relativos
en todos los puntos de [a, b].
c) El radio de convergencia de la serie de potencias
P
1
n=
(a n
)x
n
puede ser mayor que
cada uno de los radios de convergencia de las series
P
1
n=
a n
x
n
y
P
1
n=
b n
x
n
- (1.5 puntos) Determ´ınese el valor de a para que la siguiente funci´on f : R! R sea continua.
f (x) =
a, si x = 0;
cos(xe
x
) cos(xe
x
)
x
3
, si x 6 = 0.
8.? (1.5 puntos) H´allense los extremos relativos de la funci´on h : [0, 1]! R definida por:
h(x) =
1 , si x = 0;
0 , si x 62 Q;
1
n
, si x =
m
n
con m, n 2 N y m.c.d.(m, n) = 1.
- (2 puntos) Dada la funci´on f : R! R definida por f (x) =
R
x
1
sen(sen t)dt, se pide:
a) Determinar sus m´aximos y m´ınimos relativos, as´ı como sus puntos de inflexi´on.
b)? Estudiar si la funci´on F : [ 1 , 1]! R definida por
F (x) =
sen(sen x) + 1
f (x) + x + 2
es integrable Riemann y, en caso afirmativo, calcular
R
1
1
F.
- Consideremos la sucesi´on de funciones (f n
) donde, para cada n 2 N, f n
: R! R viene dada
por
f
n
(x) =
0 , si |x|
1
2 n
cos(n⇡x), si |x| <
1
2 n
a)? (1.5 puntos) Calc´ulese la funci´on l´ımite f de la sucesi´on (f
n
b) (0.5 puntos) ¿Se cumple f
n
◆ f en R?
AN
ALISIS DE VARIABLE REAL grupo E Curso 2016/
Final de Septiembre
Nombre:
Apellidos:
Duraci
on: 3 horas.
Se pueden utilizar libros y apuntes, as
ı como una calculadora no programa-
ble. No est
an permitidos otros aparatos electr
onicos y los m
oviles deben estar
apagados.
Todas las respuestas han de estar suficientemente justificadas y todos los c
alcu-
los detallados.
- (3 puntos) Para cada una de las siguientes afirmaciones, determ´ınese si es verdadera o es falsa,
demostrando las respuestas.
a) El n´umero
3
p
5 es irracional.
b) Si I ⇢ R es un intervalo arbitrario, f : I! R es continua en I y se cumple f (I) ⇢ I,
entonces existe alg´un c 2 I tal que f (c) = c.
c) Si a < b y f : [a, b]! R est´a acotada, entonces f tiene alguna primitiva F : [a, b]! R.
- (2 puntos) Calc´ulense los siguientes l´ımites:
a) l´ım
1
n
2
1
(n+1)
2
1
(n+2)
2
1
(n+n)
2
b) l´ım
n
p
n
2
(Sugerencia: Util´ıcese el teorema de compresi´on.)
- (1.5 puntos) Est´udiese la convergencia de la serie
P
1
n=
a
n
(n+1)(n+a)
n
en funci´on de los valores
del par´ametro a 2 R
- (1 punto) Demu´estrese que para todo x 2 (0, ⇡/2), se verifica:
tg x > x +
x
3
- Consid´erese la sucesi´on de funciones (f n
) donde, para cada n 2 N, f n
: (0, 1 )! R, viene dada
por f n
(x) =
n
(2+nx)
3
. Se pide:
a) (0.5 puntos) Hallar la funci´on f tal que f
n
! f en (0, 1 ).
b) (1 punto) Probar que f
n
◆ f en (0, + 1 ) pero, para cada a > 0: f
n
◆ f en [a, + 1 ).
c) (1 punto) Determinar si se verifica cada una las siguientes igualdades, donde 0 < a < b.
(A) l´ım
Z
b
a
f
n
Z
b
a
f (B) l´ım
Z
b
0
f
n
Z
b
0
f.
