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INTRODUCCIÓN
El cálculo de probabilidades es una tarea que sirve de modelo para la descripción y análisis de fenómenos estadísticos. La teoría de probabilidades es de trascendental importancia en las matemáticas, pues tiene una aplicación directa en muchos problemas de ingeniería, administración, economía, etc, donde es necesario tomar decisiones sobre la incertidumbre o lo relativo en base a datos estadísticos. Ejm: ¿Cuál es la probabilidad de que un producto nuevo sea aceptado en el mercado? MARCO TEÓRICO
1. Experimento Aleatorio (e) Es cualquier experimento cuyo resultado no se puede predecir con exactitud antes de realizar el experimento ya que consta con más de 1 resultado posible. Se denomina experimento aleatorio a toda prueba o ensayo cuyos resultados no son predecibles sin haberse realizado previamente la prueba. EJEMPLOS ε 1 : Se lanza una moneda dos veces y se observa los resultados posibles ε 2 : Se lanza un dado y se observa el número que resulta 2. Espacio Muestral ( ) Es un conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ejemplo 1: ε 1 : En el lanzamiento de una moneda 1 = (c,c); (c,s); (s,c); (s,s) Ejemplo 2: ε 2 : En el lanzamiento de un dado 2 = (1;2;3;4;5;6) 3. Evento (A; B; C; …) Se llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral. Un evento o suceso son subconjuntos de un espacio muestral. Se denota generalmente por letras mayúsculas del alfabeto (A; B; …). Del ejemplo 1 antes mencionado, sea el evento A: en los 2 lanzamientos sale un cara, por lo menos A = (c,c); (c,s); (s,c) Ejemplo 2 : Al lanzar un dado cuales son los números primos que aparecen Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} A = {2; 3; 5} Se observa que AQ OPERACIONES ENTRE SUCESOS: Se han indicado anteriormente que los sucesos son conjuntos y como tales cumplen todas las operaciones de los mismos. 4. Definición clásica de Probabilidad Se define la probabilidad de un evento “A” como (P(A)) al cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles: ES decir si A es un suceso de un espacio muestral , entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota P(A) y está dado por la relación: Propiedades 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 2. Si “A” es un evento imposible: P(A) = 0 3. Si “A” es un evento seguro: P(A) = 1 4. Sean A y B eventos independientes: P (A ∩ B) = P(A) · P(B) 5. Sean A y B eventos no excluyentes: P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B) 6. Sean A y B eventos excluyentes: P (A ∪ B) = P(A) + P(B)
APTITUD MATEMÁTICA-
PROBABILIDADES
- Siendo evento contrario de:
- Probabilidad condicional: CLASES DE SUCESOS PROBABILISTICOS *** SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES** : Dados los sucesos A y B se dice que ellos son mutuamente excluyentes si y sólo si A B = ; esto quiere decir que no ocurren juntos (simultáneamente). Ejemplo: En una aula de Pre UNAC, se tiene los siguientes sucesos: A: Un grupo de alumnos tienen de 15 a 17 años B: Un grupo de alumnos tienen más de 17 años pero no más de 19 años C: Un grupo de alumnos son mayores de 19 años. Si se elige a un alumno, este pertenecerá a alguno de los tres grupos. *** SUCESOS COMPATIBLES** Aquellos que pueden presentarse simultáneamente. Ejemplo: Lanzar dos dados y que aparezcan un dos o un cinco. *** SUCESOS INDEPENDIENTES** Dados los sucesos A y B se dice que ellos son independientes si la ocurrencia de A no afecta el hecho de que ocurra simultánea o sucesivamente B; es decir, que la ocurrencia de uno de ellos no depende de la ocurrencia del otro. Ejemplo: Se lanza un dado 2 veces D: Sale 3 en el primer lanzamiento E: Sale 3 en el segundo lanzamiento. *** SUCESOS DEPENDIENTES** Cuando la ocurrencia de uno de ellos depende de la ocurrencia del otro. Ejemplo: Se tiene dos urnas A y B, la urna A contiene 3 bolas rojas y 4 bolas negras, en tanto que la urna B tiene 4 bolas rojas y 7 bolas negras. Si se saca de la urna A una bola y se deposita en la urna B; al sacar una bola de la urna B, el resultado dependerá de la bola que se sacó de la urna A. Ejm 1: Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado, el resultado sea un número primo. Solución = 1,2,3,4,5,6 A = 2,3,5 → P(A) = 3/6 = 1/ En forma general para “n” dados se cumple que Nº casos totales = 6n^ → Cuando se lanzan dos dados simultáneamente, aumenta la diversidad de eventos que puedan ocurrir, esto es: 6² = 36 casos en total Los eventos más frecuentes, son aquellos que involucran a la SUMA de los números que aparecen en sus caras superiores. CUADRO de las SUMAS que se OBTIENEN al LANZAR DOS DADOS: De este cuadro se deduce que:
- SUMA MAS PROBABLE que salga es el 7 y su probabilidad es de 6/36.
- SUMAS MENOS PROBABLES son el 2 y el 12 y su respectiva probabilidad es de 1/36, para cada uno. Resumen del cuadro de Sumas: Ejm. 2: ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar dos dados, su suma sea un múltiplo de 3? Solución: Para que sea múltiplo de 3, la suma debe ser 3,6, o 12, siendo los casos favorables de 2,5,4 y 1 respectivamente, que en total hacen 2+5+4+1, igual a 12 casos favorables, con respecto a 36 casos en total. Por lo tanto, la probabilidad será: 12 /36 =1/ Para el caso de NAIPES: Debemos saber que el mazo consta de 52 cartas:
- palo de 13 cartas de corazones ()
- palo e 13 cartas de diamantes ()
- palo de 13 cartas de Tréboles ()
- palo de 13 cartas de Espadas () Ejm 3: De un mazo de 52 cartas, al extraer una de ellas ¿Cuál es la probabilidad de que sea un as? Solución: Como en un mazo de 52 cartas hay 4 ases, entonces la probabilidad será: 4/ 52 =1/ Para el caso de MONEDAS: Una moneda tiene una CARA y un SELLO, es decir, cada moneda tiene dos casos totales.
Solución: Como en un mazo de 52 cartas hay 13 espadas, por el método de las combinaciones, tenemos que: La probabilidad será: Ejm. 9: En una urna se tiene 4 bolas negras, 5 blancas y 7 verdes. Al extraer tres de ellas, ¿Cuál es la probabilidad que sean negras? Solución: La probabilidad será de Ejm. 10: Se tienen 10 objetos buenos, 4 dañados y otos 2 con daños importantes. ¿Cuál es la probabilidad que, al sacar 2 objetos al azar, éstos sean buenos? Solución: En total son: 10+4+2 = 16 objetos en total Por el método de las fracciones, será: 10/16 x 9/15 =3/ Por el método de las combinaciones: PROBLEMAS RESUELTOS
1. Determina la probabilidad de realizar el siguiente suceso: “Obtener cara por lo menos 2 veces al lanzar al aire 3 veces una moneda” Solución: Si lanzamos por vez primera, puede que resulte cara y si no cae cara tiene que ser sello; luego si lanzamos la moneda por 2da vez y después por 3ra vez se presentarán las ocurrencias que ilustramos en el diagrama adjunto. A) 1 / 2 B) 3/ 5 C) 5/1 4 D) 8/9 E) 7/ RESOLUCIÓN : Como nos piden hallar la probabilidad de sacar por lo menos 2 caras, esto es 2 o más caras, entonces las caras favorables que observamos en la tercera columna son: ccc, ccs, csc y scc, siendo 4 posibilidades de un total de 8, luego: P(por lo menos 2 caras) = 4 /8 = 1/ 2 2. En una caja hay 5 bolas rojas y 3 negras. Sin mirar se saca una bola y no se devuelve a la caja, luego se saca otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas que se sacaron sean rojas? A) 1/2 B) 3/5 C) 5/14 D) 8/9 E) 7/ RESOLUCIÓN : La probabilidad de sacar una bola roja la primera vez es de: 5/(5+3)=5/ probabilidad de sacar una bola roja la segunda vez es de: [ 5 − 1 ]/[ 8 − 1 ]= 4 /7. Como la ocurrencia de los sucesos están ligadas mutuamente, aplicamos el teorema dado: P(R y R) = P(R) x P(R) = 5 /8 x 4 /7 = 20/56 = 5/ 14 3. Se escogen al azar 4 naranjas entre 10 naranjas que habían en una caja, de las cuales 6 estaban malogradas, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 exactamente sean malogrados? A) 1/2 B) 3/5 C) 3 / 7 D) 8/9 E) 7/ RESOLUCIÓN: Solución: Según los datos se tiene: Total de naranjas: 10 = {6 malogrados + 4 sanos} a) Si se extraen 4 naranjas del total de naranjas (10), entonces el número de maneras se obtendrá: b) Si se extraen 4 naranjas, donde dos naranjas deben ser malogradas entonces los otros dos serán sanas. El conjunto de casos posibles de extraer dos naranjas malogradas de los 6 y 2 sanas de los 4 será. la probabilidad es de: P(A) = 90/ 210 =3/ 7 4. Un profesor de aula ha seleccionado a 10 niños y 4 niñas para recitar 3 poesías para actuación central del aniversario del plante. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros sean niños y la última sea niña? A) 1/2 B) 3/5 C) 5/14 D) 8/9 E) 15 /9 1 RESOLUCIÓN:
Según los datos el total de alumnos seleccionados son: { 10 niños+4 niños}=14 alumnos Determinando las probabilidades tenemos: Que el primero sea niño: 10/14=5/ Que el segundo sea niño:9/ Que el tercero sea niña: 4/12=1/ Como los tres eventos son independientes uno del otro, la probabilidad final será: P(F) = 5/ 7 x 9 / 13 x 1/3 15 = 15/ 91
5. En un estante de la biblioteca del área de Sociales, se va a ordenar en una fila 5 libros distintos de Adry, 4 libros distintos de Terry y 3 libros distintos de Salette. ¿Cuál es la probabilidad que los libros de Terry se encuentren juntos? A) 1/55 B) 1/ 27 C) 3/55 D) 3/64 E) 4/ RESOLUCIÓN: 6. En la sala de pediatría de un hospital el 70% de los pacientes son varones, de estos el 42% son menores de 3 años, y el 30% de las niñas son menores de 3 años. Una pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que este tenga 3 o más años? A) 0,484 B) 0,616 C) 0,294 D) 0,285 E) 0, RESOLUCIÓN: 7. Tres jugadores A, B y C extraen (en ese orden) una carta con reposición de una baraja de 52 cartas. El primero que obtiene corazón gana. Calcule la probabilidad que gane A. A) 9/74 B) 18/37 C) 16/37 D) 2/37 E) 8/ RESOLUCIÓN: 8. Nueve personas se sientan al azar en una mesa redonda. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 personas queden contiguas? A) 1/2 B) 3/5 C) 5/14 D) 3 / 28 E) 15 /9 1 RESOLUCIÓN: Sean A, B y C las personas que van a sentarse siempre juntas o contiguas, entonces: Calculamos el número total de formas en que se puedan sentar las 9 personas: (9-1)!= 8! Si las 3 personas (A, B y C), siempre están juntos, entonces las formas que se pueden ubicar es: 3 x 2 x 1 = 6 formas Las 6 personas restantes se podrán ubicar de: 6! formas Finalmente la probabilidad (P(A)) de que las tres personas queden contiguas es: 9. Al lanzar una moneda 3 veces consecutivas, ¿cuál es la probabilidad de obtener tres sellos? A) 1/ 8 B) 3/ 8 C) 5/14 D) 3/ 5 E) 5/ 9 RESOLUCIÓN:
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Se lanzan simultáneamente una moneda y un dado. ¿Calcular la probabilidad de obtener una cara y un número par? A) 1 /3 B) 1/ 4 C) 1/6 D) 2/3 E) 3/ 2. Se lanza un par de dados. Si los números que resultan son diferentes. Hallar la probabilidad de que su suma sea impar. A) 3/5 B) 3/10 C) 7/10 D) 1/3 E) 2/ 8 3. En un Ómnibus viajan 16 Varones, 18 damas y 20 niños ¿Cuál es la probabilidad de que el primero en bajar sea un niño? A)15/53 B) 18/53 C) 10/ 27 D) 38/53 E) 35/ 4. Una caja contiene 12 cartas rojas, 6 blancas y 8 negras, se saca una sin mirar, ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea roja? A)12/ 2 0 B) 6/13 C) 5/7 D) 9/13 E) 3/ 13 5. 9 amigos se sientan al azar en circulo. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos queden juntos? A) 1 /2 B) 1/3 C) 1/4 D) 1/8 E) 1/ 5 6. 6 parejas de casados se encuentran en una habitación, si las 4 personas se escogen al azar, encontrar la probabilidad de que se escojan 2 parejas de casados. A) 1/2 B) 1/3 C) 1/17 D) 1/33 E) 2/ 7. Hallar la probabilidad de que al lanzar tres dados, la suma de los números que se obtengan sea igual A) 1/2 B) 0,25 C) 0,125 D) 3/4 E) 0, 8. En un casting se seleccionan a 5 varones y 7 mujeres; de los cuales se aceptarán a 4 de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo aceptado sea mixto? A) 1/ 9 B) 1/ 90 C) 1/ 99 D) 90 / 97 E) 91 / 99 9. En una fiesta donde asistieron 90 personas, resulta que 60 fuman, 40 beben y 10 no fuman ni beben; si de éstas personas se eligen una de ellas al azar. ¿Cuál es la probabilidad que beba y fume? A) 2 / 3 B) 2 / 9 C) 1/1 5 D) 1/ 2 E) 2/ 10. La probabilidad de que Lina estudie computación es 0,75 y la probabilidad que estudie enfermería es 0,50. Si la probabilidad de que estudie computación ó enfermería es 0, 85 ¿Cuál es la probabilidad de que estudie sólo una de estas carreras? A) 0,21 B)0,35 D)0,56 E) 0,64 C) 0, 11. Se tiene 5 libros; 3 de R.M y 2 de R.V.; ordenados en un estante, ¿cuál es la probabilidad de que los Libros de R.V. sean separados por los 3 libros de R.M.? A) 0,20 B) 0,25 D) 0,50 E) 0,10 C) 0, 12. La probabilidad de que Bárbara estudie para el examen de Ingreso es 0,3. Si estudia la probabilidad de que ingrese es 0,7 pero si no estudia, la probabilidad es sólo 0,4. Si Bárbara ingreso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya estudiado? A) 1 / 2 B) 1 / 3 C) 3 / 4 D) 3 / 7 E) 4 / 7 13. Emerson, Luis y Robert ejecutan un penal; las posibilidades para hacer gol, son: 1/ 3 ; 1 /2 y 1/ respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos haga un gol? A) 1 / 2 B) 1 / 3 C) 1 / 4 D) 3 / 4 E) 2 / 3 14. Durante todas las noches del mes de octubre; Luisita escucha música ó lee un libro. Escucha 21 noches y lee un libro 15 noches. Si se elige una de esas noches al azar y Luisita escucha música. ¿Cuál es la probabilidad de que lea un libro? A) 5 / 31 B) 1/3 C) 2 / 3 D) 16 / 21 E) 5 / 21 15. Se escriben todas las palabras de 8 letras empleando todas las letras de la palabra MEDICINA. Señale la probabilidad de que la letra “I” aparezca al inicio y la final. A) 1 / 28 B) 1/3 C) 1 / 4 D) 3/4 E) 1 / 7
16. En una reunión se encuentran presentes 30 hombres y 20 mujeres. Si se eligen a 2 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las personas elegidas sean varón y mujer? A) 15 / 49 B) 1 8 / 49 C) 20 /4 9 D) 25 /4 9 E) 24 / 49 17. En una caja se tienen 90 bolos numerados del 1 al 90. Si se extrae un bolo, ¿cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 3 ó 7? A) 19 / 45 B) 1 7 / 31 C) 19 / 90 D) 38 /4 5 E) 12/1 7 18. Se tienen 30 fichas numeradas del 11 al 40. Se eligen 2 al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que los bolos tengan numeración consecutiva? A) 2 / 15 B) 4 / 5 C) 1/ 3 D) 1/ 15 E) 1 / 10 19. Se lanza cuatro monedas en forma simultánea. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sello y 3 caras? A) 1/ 4 B) 3 / 16 C) 1/ 8 D) 3 / 8 E) 1 / 16 20. Se lanzan dos dados. Halle la probabilidad de obtener una suma múltiplo de 3. A) 1/ 6 B) 1/3 C) 2 / 3 D) 1/ 2 E) 1 / 4 21. Emerson desea viajar al Cusco, pero sólo puede hacerlo por avión o por ómnibus. Si la probabilidad que viaje en avión es el cuádruple de que viaje en ómnibus, además la probabilidad de que no viaje es 0,75, ¿cuál es la probabilidad de que viaje en ómnibus? A) 3/20 B) 2/5 C) 1/5 D) 1/25 E) 1/ 22. En una carrera automovilística participan 3 peruanos, 3 bolivianos y 5 colombianos. Si todos tienen igual posibilidad de ganar, ¿cuál es la probabilidad de que llegue primero un colombiano y segundo un peruano? A) 2/11 B) 3/22 C) 3/11 D) 4/11 E) 8/ 23. La cerradura de una bóveda está conformada por 4 anillos donde cada anillo contiene dígitos del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de abrir la bóveda con una combinación realizada al azar, sí sabemos que la bóveda se abre con una combinación de dígitos pares? A) 5/32 B) 1/8 C) 3/16 D) 1/ 16 E) 1/ 24. Desde un avión se suelta un proyectil (bomba) dirigida hacia un blanco (región circular de radio 40m). ¿Cuál es la probabilidad que la bomba caiga en el blanco, si éste está sobre una región circular de radio 200m? A) 1/6 B) 1/3 C) 1/4 D) 7/12 E) 1/ 25. Un contador quiere contratar a un asistente, pero se presentan tres: Luis, Ramón y Emerson; las posibilidades de Luis son 7 contra 5 y las de Ramón de 1 a 3. ¿Cuál es la probabilidad que tiene Emerson de ocupar la vacante? A) 1/6 B) 1/3 C) 1/4 D) 7/12 E) 1/ 26. Diez libros, de los cuales 6 son de física y 4 de química, se colocan al azar en un estante. Determine la probabilidad de que los libros de física queden juntos. A) 1/21 B) 1/42 C) 4/9 D) 5/42 E) 21/ 27. Se lanza 4 monedas y dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras en las monedas y una suma igual a 10 en los dados? A) 1/4 B) 1/5 C) 1/6 D) 1/48 E) 1/ 12 28. En una caja hay 10 bolas de billar, de las cuales 4 son rojas. Se toma tres piezas al azar. Determine la probabilidad de que por lo menos uno resulte de color rojo. A) 3/5 B) 2/3 C) 10/39 D) 7/60 E) 5/ 29. Considerando que la semana empieza el lunes. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger, Edgar, dos días al azar del mes de agosto, para salir con su esposa, estos resulten días consecutivos y de la misma semana; además el primer día de dicho mes es miércoles? A) 26/ 31 B) 26/ 45 C) 26/ [31×15] D) 13/ [31×15] E) 26/ [45×3] 30. De una baraja de naipes, se extraen al azar 3 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cartas sean del mismo palo? A) 2/17 B) 1 1 / 17 C) 11/ 25 D) 2/25 E) 22/ [17×25]
