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Debemos tener en cuenta:
“ SI ” se utilizan todos los elementos:
1. Permutación lineal P(n) n!
2. Permutación circular
PC(n) (n-1)!
3. Permutación con
elementos repetidos a!b! c!
n!
PR
n a,b, c
“ NO ” se utilizan todos los elementos.
1. “ SI ” importa el orden de la ubicación de los elementos.
(n-k)!
n!
V
n
k
VARIACIÓN
2. “ NO ” importa el orden de la ubicación de los elementos.
k! (n-k)!
n!
C
n k
COMBINACIÓN
1. ¿ De cuántas maneras diferentes ; 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se siente juntos?
SEGÚN EL DATO:
P(1) P(2) A(1) A(2) A(3) C(1) C(2) C(3) C(4)
OBTENEMOS:
( 2! x 3! x 4! ) x 3!
PIDEN: La cantidad maneras diferentes que se pueden sentar = 4 x 6 x 24 x 6 =
RPTA : Se pueden sentar de 1728 formas.
4. ¿ Cuántos números mayores que un millón se pueden formar con los dígitos 0; 2; 2; 3; 3; 3 y 4?
SEGÚN EL DATO: 1 000 000 < N
a b c d e f g
OBTENEMOS:
6
PR1,1,3,1+
6
PR1,2,2,1+
6
PR1,2,
RPTA : Se pueden formar 360 números.
5. Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden sentarse , si las cuatro chicas quieren estar juntas?
ANÁLISIS COMBINATORIO II
SOLUCIÓN DEL
LIBRO VIRTUAL
SEGÚN EL DATO:
V(1) V(2) M(1) M(2) M(3) M(4)
OBTENEMOS:
= 4! x 3!
PIDEN: La cantidad maneras diferentes que se pueden sentar = 24 x 6 =
RPTA : Se pueden sentar de 144 formas.
6. Con cuatro banderas de diferentes colores se deben mandar un mensaje de un barco a otro. ¿ Cuántos mensajes se pueden mandar , si no es obligatorio usar todas las banderas?
ANALIZANDO EL DATO:
Se puede enviar mensajes con 1, 2, 3 o 4 banderas. Además “SI” importa la ubicación de los elementos.
Mensajes de 1 bandera^4
V 14
Mensajes de 2 banderas 12
V 24
Mensajes de 3 banderas 24
V 34
Mensajes de 4 banderas 24
V 44
PIDEN: La cantidad de mensajes diferentes que se pueden enviar = 4 + 12 + 24 + 24 =
RPTA : Se pueden enviar de 64 mensajes.
7. ¿ De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular, si en ningún momento las parejas estarán separadas?
OBTENEMOS:
= PC(3) x P(2) x P(2) x P(2)
PIDEN: La cantidad maneras diferentes que se pueden ubicar = 2! x 2! x 2! x 2! = 2 x 2 x 2 x 2 =
RPTA : Se pueden ubicar de 16 maneras.
8. ¿ De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una mesa redonda de 6 asientos, si 4 están en espera?
6 ubicados 10 amigos 4 espera
OBTENEMOS:
10 C 6 xPC(6)
x 5!
PIDEN: La cantidad maneras diferentes que se pueden sentar = 210 x 120 =
RPTA : Se pueden sentar de 25200 formas.
10. Siete amigas, ¿ de cuántas maneras diferentes se podrán sentar alrededor de una mesa, si Noemí y Liliana que son 2 de las 7 amigas no podrán estar juntas en ningún momento?
A 1 A 2
B 1
B 2
C 1
C 2
x
= 35 x 10
RPTA : Se pueden obtener de 350 maneras.
16. Se tiene 6 números negativos y 5 números positivos, ¿ de cuántas maneras se puede escoger cuatro números de tal manera que su producto sea positivo?
ANALIZANDO EL DATO:
“NO” se debe escoger todos los números, solamente 4 de ellos. Además “NO” importa la ubicación de los elementos ya que el resultado de multiplicarlos es siempre positivo.
4 números positivos.
C^54
4 números negativos.
C^64
2 números negativos y 2
números positivos.^150
C 62 C^52
PIDEN: La cantidad de maneras diferentes que se pueden escoger = 5 + 15 + 150 =
RPTA : Se pueden escoger de 170 maneras.
18. En una reunión, se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. Si se desea formar grupos mixtos de 5 personas. ¿ De cuántas maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada uno de ellos estén siempre dos mujeres?
“NO” se utilizan todos los elementos, además “NO” importa el orden ya que el grupo es el mismo.
ENTONCES:
5 C 2 x
8 C 3
x
= 10 x 56
RPTA : Se pueden formar de 560 maneras.
19. ¿ Cuántos números enteros y desiguales mayores que 10 y menores que 100 se pueden formar con las 8 primeras cifras no repitiéndose ninguna de ellas? (Las cifras deben ser contadas a partir del 1)
10 < a b < 100
RPTA : Se pueden formar de 56 números.
20. En la figura se han marcado ocho partes equidistantes sobre la circunferencia de un círculo dado. ¿ Cuántos cuadriláteros diferentes podemos inscribir en el círculo usando los vértices marcados?
ANALIZANDO EL DATO:
“NO” se debe escoger todos los puntos, solamente 4 de ellos. Además “NO” importa el orden de los elementos ya que el resultado debe ser un cuadrilátero.
ENTONCES:
4! 4!
8! C^84
RPTA : Se pueden inscribir 70 cuadriláteros.
Resolver los ejercicios 3, 10
y 11 de la página 4 de tu libro
virtual de razonamiento
matemático.
LUNES 03/08/
ALUMNOS PARTICIPANTES = 27
PRACTICA EN CASA
