¡Descarga ANALISIS COMBINATORIO EJERCICIOS y más Ejercicios en PDF de Estadística Descriptiva solo en Docsity!
ANALISIS COMBINATORIO O TECNICAS DE CONTEO
Introducción El análisis combinatorio estudia las diversas formas de agrupar u ordenar los elementos de un conjunto. Estos elementos son de cualquier naturaleza (personas, animales, objetos o sucesos) y se representan por a1, a 2 …. an Algunos ejemplos ilustran lo anterior: a) Cuantos comités de 3 personas se pueden obtener de un grupo de 20? b) ¿De cuantas formas se pueden asignar 5 operarios a 5 máquinas distintas? c) ¿Cuantos números de 4 cifras diferentes y serie de 2 letras diferentes pueden formarse? Estos y diversos ejercicios se trataran a continuación Se estudiaran a continuación los siguientes ítems: A. Principio de Adición B. Principio de Multiplicación
1. PERMUTACIONES 1.1 Permutaciones sin repetición 1.2 Permutaciones con repetición 1.3 Permutaciones cuando n = r sin repetición 1.4 Permutaciones cuando n = r con repetición 2. COMBINACIONES 2.1 Combinaciones sin repetición 2.2 Combinaciones con repetición
A. Principio de Adición En tu barrio hay 5 tiendas, tres droguerías y dos supermercados. Si usted sale a comprar un jeringa, , de cuantas maneras puede elegir el lugar de compra? ¿De cuantas maneras se puede obtener un siete y un ocho al lanzar dos dados? En general, si un ensayo o proceso se puede hacer de n1, n2 ….nk maneras diferentes, además los ensayos no se pueden realizar simultáneamente, entonces los k ensayos se pueden realizar de n1+n2+……+nk maneras diferentes
B. Principio de Multiplicación De Bogotá a Medellín hay 5 vuelos y de Medellín a Barranquilla hay 4 vuelos. De cuantas maneras diferentes, puedes viajar de Bogotá a Barranquilla, haciendo escala en Medellín. Rosa maria dispone de 6 blusas, 5 jeans y tres pares de zapatos. ¿De cuantas maneras podría Ella vestirse? En un distrito ganadero, las vacas lecheras deben llevar un código especial compuesto por tres caracteres: Una aletra (A, B o C); un digito (4 o 6) y una vocal (E o U). Cuanto códigos posibles pueden formarse? En general, si un evento A1 se puede hacer de n1 maneras diferentes y un evento A2 de n maneras diferentes, el número de formas que pueden ocurrir A y B simultáneamente es n1*n
3. FACTORIAL DE UN NUMERO FACTORIAL DE UN NUMERO n La expresión n! se le llama n factorial e indica el producto sucesivo de los números desde n hasta 1, es decir: n! = n(n-1) (n-2)….. (1) Ej: 5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-3) (5-4) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880 Propiedades: 0! = n! = n(n-1)! n! = n(n-1) (n-2) 1. Permutaciones : Dado el conjunto de n elementos
a , a 1 2 a n
se llaman permutaciones de orden r a todos los grupos o subconjuntos de r elementos que se pueden elegir entre ellos, considerando que dos permutaciones son diferentes cuando: i) Tienen al menos un elemento diferente entre ellas o ii) Cuando teniendo los mismos elementos difieren en el orden.
1.3 PERMUTACIONES SIN REPETICION CUANDO n = r (Pn) Cuando n=r, el interés se centra en ordenar los elementos de un conjunto dado. Si todos los elementos del conjunto de tamaño n a 1 , a 2 ……an son distintos, entonces el número de permutaciones (u ordenaciones) que se pueden hacer esta dado por: P(n) = n! / (n-r)! = n! / (n-n)! = n! / 0! = n! Luego Pn = n! Ejemplo de cuantas formas se pueden sentar 7 personas en 7 sillas
1.4 PERMUTACIONES CON REPETICION CUANDO n = r ( P^ ´n )
Cuando el conjunto de n elementos que está formado por X 1 elementos iguales, X 2 elementos iguales,…….…Xk elementos iguales, se dice que es una permutación con repetición con n=r. El número de permutaciones (u ordenaciones) que pueden hacerse esta dado por:
P ´n =
n!
X 1! ∗ X 2! ∗ … …. ∗ X k!
Ejemplo: De cuantas maneras se puede ordenar las letras de la palabra ESTADISTICAS Ejercicio: Se rifa un vehículo y usted elige el Nº 191929 cuantas personas posibles totales están compitiendo con el mismo número combinado.
2. COMBINACIONES Dado el conjunto de n elementos, a 1 , a 2 …..an, se llaman combinaciones de orden r, a todos los grupos o subconjuntos de r elementos extraídos de los n elementos, donde cada grupo es distinto cuando difieren al menos en un elemento , es decir el orden no importa: (a 1 a 2 ) = (a 2 a 1 ) es una sola combinación Un equipo de basquetbol (A, B, C, D, E), es el mismo equipo formado por (BDCAE) = (CBADE) Sea le conjunto { a 1 , a 2 , a 3 } cuantas combinaciones de dos elementos pueden hacerse? n =3, r = 2; el Nº de combinaciones será:
( a 1 a 2 ) , ( a 1 a 3 ) , ( a 2 a 3 ) = 3 combinaciones
2.1 COMIBNACIONES SIN REPETICION
Cuando todos los elementos que conforman cada combinación son diferentes. Así por ejemplo
{ a , b , c , d } , el número de combinaciones de orden 3 que puede formarse son: abc, abd, adc,
bcd, en total. Para el cálculo de estas combinaciones se ha desarrollado la siguiente expresión:
C ( n , r ) =
n
r )
= nCr =
n!
r! ( n − r )!
( 0 ≤ r ≤ n ) Ejemplos: ¿Cuantos comités de tres miembros se pueden elegir de un grupo de 8 personas? En un grupo de amigos hay cinco hombres y seis mujeres. Cuatro de estas personas van a un supermercado cercano a comprar refrescos. a) ¿De cuántas formas posibles se pueden elegir las cuatro personas que van a realizar la compra? b) ¿Y si tienen que ir dos hombres y dos mujeres? La Universidad dispone de un grupo de trabajo especial 15 alumnos, 6 docentes y 3 directivos. Para un proyecto de investigación estadística se requieren 10 alumnos, 3 docentes y 2 directivos. De cuantas maneras se puede formar el equipo de investigación. 2.2 COMBINACIONES CON REPETICION Se dice que las combinaciones son con repetición, cuando los elementos del conjunto a 1 , a 2 ,… a 3 se puede repetir al formar las combinaciones de orden r. así por ejemplo: si el conjunto es
{ A , B , C , D } y r = 3, combinaciones con repetición puede ser (AAB), (ABB), (AAA), (CDD)…
etc. Recuerde que cada grupo es diferente y que demás (ABB), (BAB) y (BBA) es la misma combinación Para calcular el número de combinaciones con repetición se ha desarrollado la siguiente expresión:
C ´ ( n , r ) =
( n + r − 1 )!
( n − 1 )! r!
Ejemplos: ¿Cuantas fichas tiene un domino? ¿Cuantas fichas tiene un domino cubano, que va del blanco y blanco al nueve y nueve? En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? Las siguientes expresiones son de mucha importancia para la comprensión y tratamientos los
- En una empresa de juguetes, se produce un producto ensamblado de 3 componentes. ¿Si a cada componente puede ser pintado de azul, amarillo, rojo o verde, cuantos productos pueden obtenerse?
- Una caja contiene 20 tornillos y entre ellos hay 5 defectuosos. ¿En cuantas formas pueden seleccionarse 7 tornillos, entre los cuales halla 3 defectuosos si los tornillos son de diferentes dimensiones?
- De cuantas maneras pueden sentarse en una fila de 7 sillas, 4 hombres y 3 mujeres si: a. ¿Pueden sentarse en cualquier orden? b. ¿Alternándose hombres y mujeres?
- De cuantas maneras pueden 8 personas hacer fila en al taquilla de un teatro. 16. Determinar el valor de “n” para el cual P(n, 5) = 6P(n, 4)
- Hay 10 buses que viajan entre Galapa y Campeche. ¿De cuantas maneras puede una persona viajar de Galapa a Campeche y regresar en un bus diferente?
- ¿Si hay 3 caminos para ir de A hasta B y 4 caminos de B hasta C. de cuantas maneras se puede hacer un viaje de A hasta C pasando por B y regresar de C hasta A pasando de nuevo por B?
- Se trazan 10 puntos sobre una circunferencia. ¿Cuantas cuerdas se pueden trazar uniendo los puntos de todas las formas posibles? Con esos 10 vértices; ¿cuantos triángulos se pueden formar? ¿Cuantos hexágonos?
- Una compañía de 20 soldados se va a dividir en 3 patrullas, la primera con 3 soldados, la segunda con 5 y al tercera con 12. ¿De cuantas maneras se puede hacer esto?
- Una mujer tiene 8 pares diferentes de guantes. De cuantas maneras puede elegir un guante derecho y un guante izquierdo que no sean compañeros
- La cerradura de una caja de caudales está compuesta de 3 anillos, marcados cada uno con 15 letras diferentes. De cuantas maneras es posible hacer un intento infructuoso para abrir la caja.
- De cuantas maneras pueden sentarse en una fila de 7 asientos, 4 niños y 3 niñas, a) si pueden sentarse en cualquier orden; b) alternándose niños y niñas?
- De cuantas maneras se pueden llenar los cargos de Presidente, vicepresidente, secretario y tesorero de una asociación que tiene 16 miembros y todos pueden ser elegidos
- De cuantas formas se pueden ordenar 9 libros en una estantería de una biblioteca
- Una avenida tiene 5 semáforos. De cuantas formas posibles se pueden encontrar los semáforos encendidos en un instante cualquiera.
