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Universidad Autónoma de Madrid
Tema 4: Integrales Impropias
1 Integral Impropia
En la definición de una integral definida (^) Z b
a
f (x) dx
se exigió que el intervalo [a, b] fuese finito. Por otro lado el teorema fundamental del cálculo que hemos utilizado requiere que la función f sea continua en [a, b]. Ahora vamos a analizar aquellas integrales que no satisfacen uno o ambos de los requisitos citados. Tales integrales se llaman integrales impropias. Recordemos que una función tiene una discontinuidad infinita en c si por la derecha o por la izquierda,
lim x→c f (x) = ∞, lim x→c f (x) = −∞
1.1 Integrales en intervalos no acotados
Son integrales impropias con límites de integración infinitos:
- Si f es continua en el intervalo [a, ∞), entonces
R ∞
a f^ (x)^ dx^ = limb→∞
R (^) b a f^ (x)^ dx
- Si f es continua en el intervalo (−∞, b], entonces
R (^) b −∞ f^ (x)^ dx^ = lima→−∞
R (^) b a f^ (x)^ dx
- Si f es continua en el intervalo (−∞, ∞), entonces Z (^) ∞
−∞
f (x) dx =
Z (^) c
−∞
f (x) dx +
Z ∞
c
f (x) dx
donde c es cualquier número real.
En los dos primeros casos, la integral impropia converge si el límite existe; en caso contrario, la integral impropia diverge. En el tercer caso, la integral impropia de la izquierda diverge si cualquiera de la integrales impropias de la derecha diverge.
1.2 Integrales de funciones no acotadas
Son integrales impropias con discontinuidades infinitas:
- Si f es continua en el intervalo [a, b) y tiene una discontinuidad infinita en b, entonces Z (^) b
a
f (x) dx = lim c→b−
Z (^) c
a
f (x) dx
- Si f es continua en el intervalo (a, b] y tiene una discontinuidad infinita en b, entonces Z (^) b
a
f (x) dx = lim c→a+
Z (^) b
c
f (x) dx
- Si f es continua en el intervalo [a, b] excepto en algún c∈ (a, b) , en el que f tiene una discontinuidad infinita, entonces (^) Z b
a
f (x) dx =
Z (^) c
a
f (x) dx +
Z (^) b
c
f (x) dx
En los dos primeros casos, la integral impropia converge si el límite existe; en caso contrario, la integral impropia diverge. En el tercer caso, la integral impropia de la izquierda diverge si cualquiera de la integrales impropias de la derecha diverge.
- Sea
In =
Z ∞
0
x^2 n−^1 (x^2 + 1)n+^
dx, n ≥ 1
Probar que In =
n− 1 n+
In− 1 y calcular a continuación: Z (^) ∞
0
x^3 (x^2 + 1)^5
dx
- La función Beta se define como:
β (p, q) =
Z 1
0
xp−^1 (1 − x)q−^1 dx =
Γ (p) Γ (q) Γ (p + q)
(a) Realizando el cambio de variable x = 1 − t, probar que β (p, q) = β (q, p) (b) Realizando el cambio de variable x = sin^2 θ probar que
β (p, q) = 2
Z (^) π/ 2
0
sin^2 p−^1 θ cos^2 q−^1 θdθ
(c) Calcular Z (^3)
0
x^4
μ 3 − x 3
dx
(d) Calcular Z (^10)
4
μ x − 4 2
¶ μ 1 −
x − 4 6
dx
(e) Calcular utilizando la función beta Z (^) π/ 2
0
sin^3 θ cos^3 θdθ
1.3 Integrales paramétricas
Sea f (x, α) una función de las variables independientes x y α. Se denomina integral paramétrica, respecto al parámetro α, a la integral
F (α) =
Z (^) b
a
f (x, α) dx
Si f (x, α) es derivable respecto a α, ∂f∂α (x, α), verificándose además que tanto f (x, α) como ∂f∂α (x, α) son
continuas en el dominio a ≤ x ≤ b; c ≤ α ≤ d, la función F (α) =
R (^) b a f^ (x, α)^ dx^ es derivable en el intervalo c ≤ α ≤ d : dF (α) dα
Z (^) b
a
∂f ∂α
(x, α) dx
Un caso más general que el anterior es cuando los límites de integración son también funciones de α; es decir:
F (α) =
Z (^) b(α)
a(α)
f (x, α) dx
en este caso la derivada es:
dF (α) dα
Z (^) b(α)
a(α)
∂f ∂α
(x, α) dx + f (b (α) , α) b^0 (α) − f (a (α) , α) a^0 (α)
En este caso, se exige, además de las hipótesis anteriores, que existan las derivadas a^0 (α) y b^0 (α) Ejemplos de funciones paramétricas tenemos los casos de las funciones Gamma y Beta
Γ (n) =
Z ∞
0
xn−^1 e−xdx, n > 0
β (p, q) =
Z 1
0
xp−^1 (1 − x)q−^1 dx =
Γ (p) Γ (q) Γ (p + q)
Propiedades de Γ (n) :
- Γ (n) Γ (1 − n) = (^) sinπ nπ para todo n ∈ R, como consecuencia tenemos que Γ
2
π
- Γ (n) = (n − 1) Γ (n − 1) para todo n ∈ R, entonces Γ (n) = (n − 1)! para todo n ∈ N
- Si n no es un entero positivo, n = p + r, donde 0 < r < 1 y p ∈ N entonces:
Γ (n) = (n − 1) (n − 2) · · · (1 + r) Γ (r + 1) siendo 1 < 1 + r < 2
y existen tablas en las que se encuentra tabulado el valor de Γ (n) cuando 1 < n < 2.
Propiedades de β (p, q) :
- Simetría β (p, q) = β (q, p)
- β (1, q) = (^1) q
- Fórmula recurrente: β (p, q) = q− p 1 β (p + 1, q − 1)
- β (p, q) = Γ Γ(p(p)Γ+(qq))
