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TEMA 5: ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Regresión Lineal Simple: Se llama Regresión Lineal Simple, al procedimiento general de expresar los puntos de un Diagrama de dispersión por una Recta. La ecuación de una Recta en el Plano se expresa por: Y = a 0 + a 1 X La Recta Y = a 0 + a 1 X que presenta el mínimo valor de S, con respecto a los puntos de un Diagrama de dispersión es la Recta de constantes a 0 a 1 que provienen de un Sistema llamado sistema Normal de Ecuaciones: ∑Y = a 0 N + a 1 ∑X ∑XY = a 0 ∑X + a 1 ∑X^2 Resolviendo el Sistema Normal de Ecuaciones, se obtienen las siguientes soluciones para a 0 a 1 a 0 =
∑ Y^ ∑ X
2
−∑ X ∑ XY
N ∑ X
2 −¿ ¿ a 1 =
N ∑ XY −∑ X ∑ Y
N ∑ X
2 −¿ ¿ Ejemplo: Se ajusta a una Recta, la siguiente tabla de datos: X 1 2 3 4 5 Y 14 33 20 41 52 Y = a 0 + a 1 X a 0 =
∑ Y^ ∑ X
2
−∑ X ∑ XY
N ∑ X
2 −¿ ¿
a 1 =
N ∑ XY −∑ X ∑ Y
N ∑ X
2 −¿ ¿
Y = a 0 + a 1 X Y =6,8+8,4 X Y =6,8+8,4∗ 1 Y =6,8+8,4 = 15, Y = a 0 + a 1 X Y =6,8+8,4 X Y =6,8+8,4∗ 2 Y =6,8+16,8 = 23, Y = a 0 + a 1 X Y =6,8+8,4 X Y =6,8+8,4∗ 4 Y =6,8+33,6 = 40, Y = a 0 + a 1 X Y =6,8+8,4 X Y =6,8+8,4∗ 3 Y =6,8+25,2 = 32 X Y XY X 1 14 14 1 2 33 66 4 3 20 60 9 4 41 164 16 5 52 260 25 ∑ 15 160 564 55 X Y 1 15, 2 23, 3 32 4 40, 5 48,
1 2 3 4 5 0 10 20 30 40 50 60
32
Y
Recta Inversa: Es aquella recta ajustada que presenta una ecuación de la forma X^ = b 0 + b 1 Y En esta recta las variables están intercambiadas, así X pasa a ser la variable dependiente, Y la variable independiente. La constante b 0 b 1 puede calcularse a partir de un Sistema Normal de Ecuaciones, adaptado al caso:
∑ X = b 0 N^ +^ b 1 ∑ Y
∑ X = b 0 ∑ Y^ +^ b 1 ∑ Y^
2 Las correspondientes soluciones directamente son: b 0 =
∑ X^ ∑ Y^
2
−∑ Y ∑ XY
N ∑ Y
2 −¿ ¿ b 1 =
N ∑ XY −∑ Y ∑ X
N ∑ Y
2 −¿ ¿ Ejemplo: En las dos formas posibles, se ajusta a una Recta, la siguiente tabla de datos: X 2 3 4 5 6 7 Y 11 14 13 16 19 17 Y = a 0 + a 1 X X = b 0 + b 1 Y Y = a 0 + a 1 X a 0 =
∑ Y^ ∑ X
2
−∑ X ∑ XY
N ∑ X
2 −¿ ¿
Y =8,83+1,37 X
X =−4,07 +0,57 Y
−1,37 X + Y =8,
X −0,57 Y =−4,07 (1,37)
−1,37 X + Y =8,
1,37 X −0,78 Y =−5,
0,22 Y =3,
Y =
Y =14,
X −0,57 Y =−4,
X −0,57∗14,77=−4,
X −8,42=−4,
X =−4,07 +8,
X =4,
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL
Precisamente una medida de cuán preciso es el ajuste de un conjunto de puntos a una Recta es el coeficiente de correlación lineal. El coeficiente de correlación lineal proviene de la definición general del coeficiente de correlación. Ejemplo: Se calcula el coeficiente de correlación lineal entre las variables X, Y cuyos datos son: X 1 1
Y 5
X Y (^ X^ − X^ )^ (^ Y^ − Y^ )^ ( X − X )^2 ( Y − Y )^2
( Y − Y )
2 ( 58 − 82 ) 2 (− 2 4 ) 2 = 576
( X − X )
2 ( 11 − 15 ) 2 (− 4 ) 2 = 16
( X − X ) ( Y − Y )
X =
∑ X
N
=
= 15 Y =
∑ Y
N
=
= 82 r =
COV XY
σ (^) x σ (^) y
∑ (^ X^ − X^ )^ (^ Y^ − Y^ )
N
∑ (^ X^ − X^ )
2
N √
∑ (^ Y^ − Y^ )
2 N =
=
√ 8 √262,
= r =
= 0, Ejemplo: Se calcula el coeficiente de correlación lineal entre las variables X, Y de la siguiente tabla de datos: X 2 3 4 5 6 7 Y 11 14 13 16 19 17 r =
N ∑ XY −∑ X ∑ Y
√ N^ ∑^ X 2 −¿ ¿ ¿ ¿
√^6 ∗^139 −¿^ ¿^ ¿ ¿
√ 834 − 729 √ 8352 − 8100
√ 105 √ 252
X Y XY X^2 Y^2 2 11 22 4 121 3 14 42 9 196 4 13 52 16 169 5 16 80 25 256 6 19 114 36 361 7 17 119 49 289 ∑ 27 90 429 139 1392
