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Facultad Regional La Plata
Cátedra: Análisis Matemático II
Ciclo Lectivo: 2017
TP Nª 3 – Límite de funciones de varias variables
Trabajo realizado por el Profesor Ing. Pablo J. Garcia y la JTP Ing. Erika A. Sacchi,
bajo la supervisión del Coordinador de Cátedra Ing. Jorge Disandro
1. Temario
Definición de límite Límites de funciones de dos y tres variables Regla de las dos trayectorias Continuidad de una función
2. Resumen teórico
Definición de límite
Sea una función de dos variables definida en el interior de un círculo con centro en , excepto posiblemente en.
Interpretación gráfica
Teoremas
Si f y g son funciones de dos variables, que tienen límite cuando , entonces
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Funciones polinómicas: Una función de dos variables es una función polinómica si se puede expresar como una suma de términos de la forma cxnym, donde c es un número real , y m y n son enteros no negativos. Una función racional es un cociente de dos funciones polinómicas.Los límites de las funciones polinómicas y las funciones racionales de dos variables pueden calcularse por sustitución.
Función compuesta: Sean f , función de una variable y g , función de 2 variables. Se define función compuesta
Si y es continua en , entonces
Regla de las trayectorias
Si dos trayectorias que llevan a un punto producen dos valores límites diferentes para f , entonces
Límite en coordenadas polares
Sea una función de dos variables definida en un entorno del , aunque no necesariamente en
Si , y este resultado es independiente del valor que tome , entonces
Continuidad en un punto
Una función es continua en un punto interior si:
Continuidad en una región
f es continua en una región R si es continua
Teoremas sobre continuidad
Si f y g son funciones continuas en un punto , entonces
es continua en es continua en es continua en es continua en , siempre que. Una función polinomial es continua en cada punto de. Una función racional es continua en cada punto de su dominio. o Función compuesta: Sean , función de una variable y , función de 2 variables. Si es continua en y es continua en entonces es continua en.
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3) Calcular, si existe, el límite
En este caso, cuando , el numerador tiende a 5 y el denominador tiende a cero. En consecuencia el cociente tomará números muy grandes y positivos y se puede afirmar que
(Obs: no confundir con indeterminaciones, como la que se produce en el ejemplo siguiente).
4) Calcular, si existe, el límite
Cuando tanto el numerador como el denominador tienden a 0. En consecuencia, no es posible aplicar que el límite del cociente es el cociente de los límites sino que estamos ante una indeterminación. Para decidir sobre el carácter del límite, procedemos a acercarnos al mediante distintos caminos y vemos que ocurre con el comportamiento de la función.
Si nos acercamos a a través del eje X, los puntos pertenecerán al conjunto:
En consecuencia
Si por otra parte nos acercamos a a través del eje Y, los puntos pertenecerán al conjunto:
En consecuencia
El hecho de que dos (ó muchos) caminos conduzcan a un mismo valor del límite no es prueba suficiente de que el límite exista. En este ejemplo, si ahora nos acercamos a a través de la recta , los puntos pertenecerán al conjunto:
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En consecuencia
Al tener dos caminos que producen distintos valores del límite (en este caso y ) podemos afirmar, por la regla de las trayectorias, que
5) Calcular, si existe, el límite
Nuevamente se trata de una indeterminación, ya que numerador y denominador tienden a 0 cuando Probaremos una familia de rectas no verticales que pasen por el origen de coordenadas, de la forma
Notese que para cada , el conjunto es una recta particular, y que distintos valores de darán lugar a distintas rectas. Entonces
Vemos que, cualquiera sea la recta no vertical (distitnos valores de ), el límite da el mismo resultado. Nuevamente esto no es suficiente para concluir que el límite existe y vale.
Probaremos ahora una familia de parábolas con vértice en el origen de coordenadas y eje de simetría coincidente con el eje x, cuya ecuación responda a
Entonces
Vemos que distintas trayectorias, en este caso distintas parábolad (para distintos valores de ) producen distintos resultados del límite. En consecuencia, por regla de las trayectorias
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- Analice la continuidad de
El dominio de es
Por ser una función racional es continua en todo su dominio. En , es discontinua , pues no está definida.
9) Analice la continuidad de
En puntos distintos del origen de coordenadas, la función es continua por ser una función racional y no anularse su denominador. Analicemos el origen de coordenadas, :
- La función está definida
- Para calcular el , notese que si entonces y en consecuencia
Es decir que el cual por lo visto en el Ej. 5.
En consecuencia es discontinua en , siendo esta una discontinuidad esencial.
En consecuencia es continua en
10) Analice la continuidad de
En puntos distintos del origen de coordenadas, la función es continua por ser una función racional y no anularse su denominador.
Analicemos el origen de coordenadas, :
- La función está definida
- Para calcular el , notese que si entonces y en consecuencia , entonces
, por lo visto en el Ej. 6.
- por lo que la función es discontinua en , presentando una discontinuidad evitable.
En consecuencia es continua en
Es podría redefinir la función, para que sea continua también en , haciendo:
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y en este caso es continua en
11) Analice la continuidad de
En primer lugar , es una función racional, por lo que es continua en todo su dominio, es decir siempre que.
Por otra parte, , es continua , entonces es continua
4. Ejercicios propuestos
1. Verificar usando la definición de límite:
a) 0
b)
c)
2. Hallar el límite de la función si es que existe, cuando salvo otra
indicación:
a)
b) en coordenadas polares.
c) , utilizando coordenadas polares.
d)
e)
f) Evaluar el límite de la función del inciso anterior para cuando.
g)
, cuando.
h)
, cuando
i) , cuando
