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Problemario Variable Compleja
M. en C. Sanchez L. L. Tadeo
B
1 Introducci´on a la Variable Compleja
1.1 N ´UMEROS COMPLEJOS Y EL PLANO COMPLEJO
- Comprobar que (I) i^2 = − 1 , i^3 = −i, i^4 = 1, i^5 = i, ...
(II) 1 i
= −i,
i^2
i^3
= i, ...
Sean z 1 = 4 − 5 i y z 2 = 2 + 3i. Encontrar (en la forma x + iy)
- z 1 z 2 3. (z 1 + z 2 )^2 4.
z 2
z 2 z 1
- 3 z 1 − 6 z 2 7. 0. 2 z 13 8.
z 1 (z 1 + z 2 )
z 22 Encontrar
- Re
1 + i
- Im
3 + 4i 7 − i
- Re
(2 − 3 i)^2 2 + 3i
- Im
z z ¯
- (0.3 + 0. 4 i)^4 15. Re z^2 , (Re z)^2 16. Im z^3 , (Im z)^3 17. (1 + i)^8
- Demostrar que z es imaginario puro si y solo si ¯z = −z.
- Comprobar las siguientes f´ormulas para z 1 = 31 − 34 i y z 2 = 2 − 5 i.
(z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 , (z 1 − z 2 ) = z 1 − z 2 ,
(z 1 z 2 ) = z 1 z 2 ,
z 1 z 2
z 1 z 2
- Si el producto de dos n´umeros complejos es cero, demostrar que por lo menos uno de los dos debe de ser cero.
- Demostrar que |z 1 + z 2 |^2 + |z 1 − z 2 |^2 = 2|z 1 |^2 + 2|z 2 |^2.
1.2 FORMA POLAR DE LOS N ´UMEROS COMPLEJOS.
POTENCIAS Y RA´ICES
- (Multiplicaci´on por i). Demostrar que la multiplicaci´on de un n´umero complejo por i corresponde a una rotaci´on en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj del vector correspondiente a trav´es del ´angulo π 2.
Encontrar
| − 0. 2 i| 3. | 1 .5 + 2i| 4. |z|^4 , |z^4 | 5. | cos θ + i senθ|
z z
5 + 7i 7 − 5 i
z + 1 z − 1
(1 + i)^6 i^3 (1 + 4i)^2
Representar en forma polar:
- 2 i, − 2 i 11. 1 + i 12. − 3 13. 6 + 8i
1 + i 1 − i
i
4 + 4i
2 + 2i −
2 − 23 i
2 + 3i 5 + 4i
Determinar el valor principal de los argumentos de
- − 6 − 6 i 19. − 10 − i 20. − π 21. 2 + 2i
Representar en la forma x + iy:
cos
π 3
π 3
cos
3 π 4
3 π 4
- 10 (cos 0.4 + isen0.4) 25. cos (− 1 .8) + isen(− 1 .8)
Encontrar todos los valores de las siguientes ra´ıces y graficarlos en el plano complejo
i 27.
− 8 i 28.
− 7 − 24 i 29.
−7 + 24i 31. 4
1 + i
Resolver las ecuaciones:
- z^2 +z+1−i = 0 35. z^2 −(5+i)z+8+i = 0 36. z^4 −3(1+2i)z^2 −8+6i = 0
- Demostrar las siguientes desigualdades ´utiles, que ser´an requeridas ocasion- almente: |Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z|.
- Comprobar la desigualdad del tri´angulo para z 1 = 4 + 5i, z 2 = −2 + 1. 5 i.
- Demostrar la desigualdad del tri´angulo.
- (Igualdad de paralelogramo) Demostrar que
|z 1 + z 2 |^2 + |z 1 − z 2 |^2 = 2(|z 1 |^2 + |z 2 |^2 ).
¿Por qu´e se llama as´ı?
- Si limz→z 0 f (x) existe, demostrar que es ´unico.
- Si f (z) es diferenciable en z 0 , demostrar que f (z) es continua en z 0.
2.2 Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Las siguientes funciones ¿son anal´ıticas?
- f (z) = z^8 2. f (z) = Re (z^2 ) 3. f (z) = ex(cos y + isen y)
- f (z) =
i z^4
- f (z) =
1 − z
- f (z) = z − z
- f (z) = ln |z| + iArg z 8. f (z) =
1 − z^4
- f (z) = Arg z
- f (z) = z +
z
- f (z) = z^2 − z^2 12. f (z) = ex(sen y − icos y)
- Demostrar que tambi´en se cumplen las ecuaciones siguientes
f ′(z) = ∂u ∂x
− i ∂u ∂y
, f ′(z) = ∂v ∂y
- Aplicando la f´ormula f ′(z) = ∂u∂x + i ∂v∂x , demostrar que una funci´on anal´ıtica cuya derivada es igual a cero es una constante.
- A partir de las ecuaciones
∂u ∂x
∂v ∂y
∂u ∂y
∂v ∂x
obtener las ecuaciones de Cauchy-Riemann en la forma polar
∂u ∂r
r
∂v ∂θ
∂v ∂r
r
∂u ∂θ
Las siguientes funciones ¿son arm´onicas? En caso afirmativo, encontrar una funci´on anal´ıtica correspondiente f (z) = u(x, y) + iv(x, y).
- u = xy 17. u =
x x^2 + y^2
- v = x^3 − 3 xy^2 19. u = excos 2y 20. v = xy
Determinar a y b tales que las funciones dadas sean arm´onicas y encontrar una arm´onica conjugada.
- u = e^2 x^ cos ay 22. u = cos bx cosh y
2.3 Funci´on Exponencial
- Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, demostrar que ez^ es anal´ıtica para todo z.
Calcular ez^ (en la forma u + iv) y |ez^ |, si z es igual a
- 3 + πi 3. 1 + i 4. 2 + 5πi 5.
i
7 π 2
i 7. (1 + i)π 8. − 1 + 1. 4 i 9. − 9 π 2
i
Encontrar las partes Real e Imaginaria de
- e−z
2
- ez
3
- e−πz^ 13. e−^2 z
Escribir las siguientes expresiones en la forma polar z = reiθ^.
- 1 + i 15.
i,
−i 16. n
z 17. 3 + 4i
Encontrar todas las soluciones y graficar algunas en el plano complejo.
- ez^ = − 2 19. ez^ = 0
- Demostrar que f (z) = ez^ no es anal´ıtica en ning´un punto.
Respuestas Problemas impares
- 1 .469 + 2. 287 i, 2. 718 5. 3. 61 − 1. 97 i, 4. 113
- ± 23. 141 9. − i, 1
- ex
(^3) − 3 xy 2 cos(3x^2 y−y^3 ), ex
(^3) − 3 xy 2 sen(3x^2 y−y^3 ) 13. e−^2 xcos(2y), −e−^2 xsen(2y)
- e
π 4 i , e−^
34 π i , e−^
π 4 i , e
34 π i
- 5 eiarctg(^
(^34) )
- z = ln(2) + (2n + 1)πi, n = 0, ± 1 , ... 19. No existen soluciones
3 INTEGRACI ´ON COMPLEJA
3.1 Integral de l´ınea en el Plano Complejo & Dos m´etodos
de integraci´on
Encontrar una representaci´on z = z(t) del segmento de recta con los puntos terminales siguientes
- z = 0 y z = 1+2i 2. z = 4+2i y z = 3+5i 3. z = − 4 i y z = −7+38i
¿Qu´e curvas representan las siguiente funciones?
- (1+2i)t, 0 ≤ t ≤ 3 5. 1 −i− 2 eit, 0 ≤ t ≤ π 6. t+3t^2 i, − 1 ≤ t ≤ 2
Representar las siguientes curvas en la forma z = z(t).
- |z − 3 + 4i| = 4 8. y =
x
desde (1, 1) hasta (3,
) 9. x^2 + 4y^2 = 4
Evaluar
R
f (z)dz integrando por medio de la trayectoria, y comprobar el resultado aplicando la integraci´on indefinida de funciones anal´ıticas.
- f (z) = az + b, C el segmento de recta desde − 1 − i, hasta 1 + i
- f (z) = z^3 , C el semicircunferencia |z| = 2 desde − 2 i hasta 2i en el semiplano derecho.
Evaluar
R
f (z)dz, en donde
- f (z) = z^4 −
z^4
C la circunferencia unitaria (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj).
- f (z) = Im z,
C la circunferencia |z| = r (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj).
- f (z) =
z − 1
(z − 1)^2
C la circunferencia |z − 1 | = 4 (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj).
- f (z) = e^2 z^ , C el segmento vertical desde πi hasta 2πi.
Respuestas a los problemas
- z = (1+2i)t, 0 ≤ t ≤ 1 2. z = 4+2i+(−1+3i)t, 0 ≤ t ≤ 1 3. z = − 4 i+(−1+6i)t, 0 ≤ t ≤ 7
- Segmento de recta de 0 a 3 + 6i 5. Semic´ırculo inferior (radio 2, centro 1 − i)
- Par´abola y = 3x^2 de (-1,3) a (2,12) 7. 3 − 4 i + 4eit, , 0 ≤ t ≤ 2 π
- t +
i t
, 1 ≤ t ≤ 3 9. 2cos t + isen t, 0 ≤ t ≤ 2 π
- 2 b(1+i) 11. 0 12. 0 13. −πr^2 14. − 2 πi 15. 0
3.2 Teorema de la Integral de Cauchy
- Comprobar el teorema de la integral de Cauchy para la integral de z^2 tomada en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj sobre la frontera del rect´angulo con v´ertices en − 1 , 1 , 1 + i, −1 + i.
Integrar f (z) en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj sobre la circunferencia unitaria e indique si el Teorema de Cauchy puede o no ser aplicado.
- f (z) = |z| 3. f (z) = Im z 4. f (z) =
z
- f (z) = tan z 6. f (z) = z^2 7. f (z) =
z^2 + 2
Calcular las siguientes integrales (SUGERENCIA: En caso de ser necesario, representar el integrando en t´erminos de fracciones par- ciales)
I
C
dz z − i
C la circunferencia |z| = 2 (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj).
I
C
cosz z
dz
C consta de |z| = 1 (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj).
I
C
dz z^2 + 1
dz
C consta de |z + i| = 1 (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj).
Respuestas a los problemas
- 0 2. 0 , no 3. − π, no
- 0 , no 5. 0 , s´ı
- 0 , no 7. 0 s´ı
- 2 πi 9. 0
- − π, π
3.5 Derivadas de Funciones Anal´ıticas
Integrar las siguientes funciones en sentido contrario al movimiento de las manecil- las del reloj alrededor de |z| = 2, (n ∈ Z, para los problemas 7 y 8)
- f (z) =
z^4 (z − 3 i)^2
- f (z) =
eπz z^2
- f (z) =
cos z z^2
- f (z) =
z^3 (z + 1)^3
- f (z) = ez^ sen z z^2 6. f (z) = ez
3
z^3
- f (z) = zn (z + 1)n+^
- f (z) = cos z z^2 n
Integrar f (z) alrededor del contorno C (en sentido contrario a las manecillas del reloj)
- f (z) =
tan πz z^2
, C es cualquier elipse con focos ± i.
- f (z) =
cot z (z − 12 π)^2
, C es la frontera del tri´angulo con v´ertices ± i y 2.
- f (z) =
ez 2
z(z − 2 i)^2
, C consta de la frontera del cuadrado con v´ertices ±3 y ± 3 i.
- ¿Qu´e teorema de este cap´ıtulo considera el lector como el m´as impor- tante? ¿Por qu´e? Escribirlo de memoria.
- ¿Qu´e significa independencia de la trayectoria?
- No confundir el teorema de Cauchy con la f´ormula de Cauchy. Escribir ambos.
- ¿Qu´e es un dominio doblemente conexo?
3.6 Series de Taylor
- e−z^ , 0 2. sen πz, 0 3. sen z,
π 2
1 − z
, − 1. 5. Ln z, 1
3.7 Series de Potencias: M´etodos Pr´acticos
Encontrar la serie de MacLaurin de las siguientes funciones y determinar el radio de convergencia
1 + z^4
z + 2 1 − z^2
- sen 2z^2 4.
(z + 3 − 4 i)^2
Encontrar la serie de Taylor de la funci´on dada con el punto dado como centro y determinar el radio de convergencia.
z
z
, 1+i 7.
(z + i)^2
, − 2 i 8. z^5 +z^3 −z, i 9. ez^ , −πi
3.8 Series de Laurent
Desarrollar cada una de las siguientes funciones en una serie de Laurent que converja para 0 < |z| < R y determinar la regi´on de convergencia precisa.
ez z^2
sin 4z z^4
z^3 (1 − z)
- z cos
z
Desarrollar cada una de las siguientes funciones en unsa serie de Laurent que converja para 0 < |z − z 0 | < R y determinar la regi´on de convergencia precisa.
ez z − 1
, z 0 = 1 2.
z^2 + 1
, z 0 = i 3.
cos z (z − π)^3
z 0 = π 4.
1 − z^4
, z 0 = − 1
Encontrar la serie de Taylor o la serie de Laurent de la funci´on f (z) = (^1) −^1 z 2 en la regi´on
- 0 ≤ |z| < 1 2. 1 ≤ |z| < 2 3. |z| > 2
Encontrar las series de Taylor o las series de Laurent con centro z = z 0 y determinar la regi´on de convergencia precisa.
1 − z^3 , z 0 = 0 2.
1 − z^2 , z 0 = 1 3.
z^2 z 0 = i 4.
z , z 0 = 1
4 Integraci´on por el M´etodo de Residuos
4.1 Residuos
Encontrar los residuos en los puntos singulares de las siguientes funciones.
1 − z
sin z z^4
z^2 + 1 z^2 − z
(z^2 − 1)^2
Encontrar los residuos en aquellos puntos singulares que est´an dentro del c´ırculo |z| = 1.
2 z − 3 z^3 + 3z^2
3 z + 6 z(z^2 + 16)
z − 23 z^2 − 4 z − 5
4.2 Teorema del Residuo
Evaluar las siguientes integrales, en donde C es cualquier trayectoria cerrada tal que todas las singularidades est´an dentro de C (en sentido contrario a las manecillas del reloj).
I
C
5 z z^2 + 4
dz, 2.
I
C
z 1 + 9z^2
dz, 3.
I
C
z + ez z^3 − z
dz 4.
I
C
z^2 sin z 4 z^2 − 1
dz
