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BLOQUE 3.2 – ANÁLISIS FACTORIAL
El objetivo de usar el análisis factorial es representar un conjunto de variables empíricas en términos de unas variables causales llamadas factores.
Supone que la respuesta de cada sujeto a cada item de un test está causada por unos determinados factores e influida por un error aleatorio llamado unicidad.
La ecuación derivada de aplicar un análisis factorial puede usarse para detectar que factores relevantes mide una determinada variable empírica de mi test o todo el test en conjunto:
1. Si quiero comprobar qué factores está midiendo una determinada variable de mi test,
uso una ecuación como la siguiente:
Dónde: · El objetivo es estudiar las saturaciones factoriales (o coeficiente factoriales) de una determinada variable.
2. Si quiero comprobar qué factores está midiendo un test (un conjunto de variables
empíricas), lo que haré será estimar la Matriz de Saturaciones Factoriales A a partir de las puntuaciones de los sujetos en el test. Primero, antes de estimar la Matriz de Saturaciones Factoriales, crearé una Matriz de Varianzas y Covarianzas ( ) y luego haré la de saturaciones.
• así puedo ver que factores mide mi test. Debo cumplir una serie de supuestos:
• Que todos los elementos se distribuyan normalmente
• que los errores sean aleatorios
• y que los factores sean independientes
Como hemos dicho, el objetivo es estudiar las saturaciones factoriales (o coeficiente factoriales, “A”) de una determinada variable Y eso se hace TEORICAMENTE: primero estimando una matriz de Varianzas y Covarianzas y luego desde ella hallar una matriz de Saturaciones Factoriales.
Pues bien, dependiendo de cómo manipule la Matriz de Varianzas y Covarianzas para obtener la de Saturaciones usaré uno u otro algoritmo de estimación ; hay tres posibles:
• procedimiento de mínimo cuadrático:
• procedimiento de mínimo de generalización:
• y procedimiento de máxima verosimilitud:
Sin embargo, EN LA PRÁCTICA no se parte de la matriz de Varianzas y Covarianzas para hallar la Matriz de Saturaciones Factoriales (A) sino que se parte de la Matriz de Correlaciones Empíricas ( ) o : es la misma cosa.
En la práctica hay dos variantes o formas de hacer el análisis factorial: las dos son igual de efectivas, así que puedo escoger la que quiera. Ambas parten de la Matriz de Correlaciones
(R)
- usando el modelo basando en factores principales, y obtiene desde la Matriz de Correlaciones Reducida ( ). Es decir, parte de la matriz de correlaciones reducida
para obtener una Matriz de Correlaciones Reducida Reproducida ( ).
- Sigue los siguientes pasos:
- 1º- Parte de una Matriz de Correlaciones ( R )
- 2º - Obtiene una Matriz Diagonal (D). Cada uno de sus elementos es un autovalor.
- 3º – Crea una Matriz de Saturaciones Factoriales (A), en la que asigna un autovector a cada autovalor. En la matriz A cada columna corresponde a un autovalor y, por tanto, a cada dimensión subyacente que mide el test.
El método de los factores principales es el análisis factorial propiamente dicho, e indica la varianza común entre los items.
- o usando el modelo de componentes principales, que los define como una combinación lineal y se obtienen desde la Matriz de Correlaciones ( R ). Es decir, parte de la Matriz de Correlaciones ( R ) y desde ella obtiene una Matriz de Correlaciones Reproducida ( )
- este método indica la varianza total observada: tiene en cuenta la varianza total (la específica y la común).
LA MATRIZ DE CORRELACIONES REDUCIDA “ “
·Una matriz de correlaciones Reducida es diferente de la Matriz de Correlaciones completa; tiene unos elemenos que se llaman comunalidades del item ( ) y no posee las correlaciones de los items que estaban en la Matriz completa).
· La comunalidad de un item es una estimación de la varianza en un item compartida con los restantes. Cuando obtengo la Matriz de Saturaciones ( R ) encuentro factores que dan cuenta de la varianza común entre los items del test.
LA ESTIMACIÓN INICIAL DE LA COMUNALIDAD.
La estimación inicial de la comunalidad de un item puede hacerse de varias maneras. Es decir, puedo obtener la matriz de Correlaciones Reducida (R*) usando varios procedimientos alternativos:
1. Leer como estimación inicial de la comunalidad de un item el valor más alto de las
correlaciones de ese item con el resto
2. Interpretar como estimación inicial de la comunalidad de un item la media de sus
correlaciones con los demás
3. Leer la estimación inicial de la comunalidad de un item como la correlación lineal
múltiple entre ese item y los restantes. El truco es calcular la inversa de la Matriz de Correlaciones Empíricas (poner )
Por tanto, en el proceso de diagonalización se generan dos matrices: una Matriz de Autovectores (T) y una Matriz Diagonal.
En la práctica, la matriz Diagonal se obtiene:
- Resolviendo esta ecuación.
- con esta ecuación obtengo todos los autovalores.
- Luego debo calcular cada autovalor ( )
- (^) El resultado es que obtengo una Matriz de Saturaciones Factoriales (A) como la siguiente:
··· Un ejemplo de diagonalización···
1. Tengo una matriz Reducida (R*) de 2x2 (o “de orden 2”)
2. La matriz Diagonal que obtengo tiene el mismo tamaño (2x2); hay dos autovalores: 1 y
3. Para cada autovalor genero un autovector
4. Calculo la Matriz Diagonal y la Matriz de Saturaciones Factoriales
Con este ejemplo comprobamos que el análisis factorial es una técnica que reduce la dimensionalidad pero sin eliminar ni reducir nada; solo cambia el tamaño de cada cosa, reordena. La reducción la hace el psicómetra diciendo dónde cortar, algo que no hace el análisis factorial.
RESUMIENDO: “el análisis factorial”:
- El análisis factorial propiamente dicho es el que se hace en el método de los factores principales. Y estudia la dimensionalidad de un test.
- Este método se siguen estos pasos :
- (^) 1º- Parte de una Matriz de Correlaciones ( R )
- 2º - Obtiene una Matriz Diagonal (D). Cada uno de sus elementos es un autovalor.
- 3º – Crea una Matriz de Saturaciones Factoriales (A), en la que asigna un autovector a cada autovalor. En la matriz A cada columna corresponde a un autovalor y, por tanto, a cada dimensión subyacente que mide el test.
- En la práctica, no hay unidimensionalidad: hay varios factores que se miden, no sólo uno, pero sí uno más alto que los demás
- por tanto, al haber un factor más alto que los otros, habrá una columna en el autovector con mayor valor que el resto, y otras columnas cuyo valor sea próximo a 0.
- La Matriz de Correlaciones ( R ), la Matriz Diagonal ( D ) y la Matriz de Saturaciones Factoriales ( A ) tienen todas igual tamaño. El análisis factorial no reduce, recoloca: nosotros como psicómetras ignoramos unas columnas e interpretamos las significativas. Yo, a posteriori, decido qué dimensiones considero (esto no lo hace el aná
Como acabamos de decir, debemos ser nosotros, ya que no es tarea del análisis factorial, los que interpretemos las columnas que son significativas de la Matriz de Saturaciones
Factoriales (A). Es decir, quiero decidir que factores debo retener en mi modelo. Para esto podemos usar dos tipos de aproximaciones :
· Aproximaciones estadísticas: No se pueden hacer ambas; elijo una u otra.
- Basada en la Matriz de Correlaciones Reproducida ( ) Se basan en comparar la Matriz de Correlaciones (R ) original con una Matriz de Correlaciones Reproducida ( ) usando el a.f. Eso debe permitir poder volver desde la Matriz de Saturaciones Factoriales (A) hasta la Matriz de Correlaciones (R ). La matriz A es una condensación, como sabemos, de la información de la matriz R y eso es lo que nos permite volver desde a hasta la realidad / hasta la matriz R.
- Para saber si mi test es unidimensional comprobaré si tiene una única columna significativa en la Matriz de Correlaciones Reproducida; si es así, esa columna estará representando adecuadamente la realidad
- Pasos:
- 1º- Construyo la Matriz de Correlaciones Reproducida.
- 2º- Añado otra columna
- 3º- Si la Matriz de C Reproducida no es significativa, añado otra columna
- 4º- Finalizo de añadir columnas cuando la M de C Reproducida sea estadísticamente significativa.
- se define una Matriz de Residuos y se interpreta
- Para ello, compara un Estadístico de Contraste distribuido en Gí Cuadrado
- n = número de items
- (^) N = número de sujetos
- El EC lo uso para decidir:
- si EC es menor que Gí Cuadrado significa que la matriz A no representa adecuadamente los datos originales
- si EC es mayor que Gí Cuadrado significa que la matriz A sí representa bien los datos originales. Es decir, que la matriz de Saturaciones Factoriales (A) se corresponde con las dimensiones que mide el test.
- Así conozco cuántas columnas mínimo necesito considerar para valorar esa Matriz de Correlaciones Reproducida como adecuada para representar la realidad
- Basada en la Matriz de Residuos ( )
- Se usa cuando el procedimiento basado en la Matriz de Correlaciones Reproducida no funciona
- Pasos:
- 1º – Construyo la Matriz de Residuos (E)
- 2º – comparo la diferencia entre la matriz de Correlaciones original (R ) y la Reproducida (Rk)
- 3º – si la diferencia entre ellas no es significativa: significa que la M de C Reproducida representa adecuadamente los datos.
- El EC es más complicado. Es Gí Cuadrado pero con grados de libertad distintos
- las lambdas son los autovalores.
···· Cada procedimiento se interpreta al revés: el primero busca rechazar la Ho (esto es, busca que haya significación estadística) y el segundo busca no rechazar la Ho (busca que no haya significación estadística).
· Aproximaciones matemáticas:
- Kaiser.
- Se usa cuando los factores no son independientes.
- El resultado es una Matriz de Transformación Oblicua ( )
- “S” es la Matriz de Estructura Factorial. Sus elementos, por primera vez, son correlaciones entre un item y un factor.
Por último, finalizando el tema, hay claves para interpretar un análisis factorial:
- sólo interpretaré saturaciones mayores o iguales que 0.40 (lo dijo Stevens). En la práctica, también puedo considerar saturaciones iguales a 0.
- para confiar en el a.f el tamaño muestral mínimo debe ser de 5 veces más sujetos que items (N debe ser mayor que 5n)
