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PROBLEMAS DE

AN ´ALISIS REAL Y

COMPLEJO

Fernando Revilla

© c All rights reserved, Safe Creative, c´od. 1401309967930.

´Indice general

∫ (^) π

4.5. Aproximaci´on racional de

4.23. Integral

4.25. Integral ∫ (^2) π 0

• 1. An´alisis real univariable
  • 1.1. Familia de sucesiones recurrentes
  • 1.2. Continuidad de funciones
  • 1.3. Funciones f -continuas
  • 1.4. Valores intermedios y Bolzano: aplicaci´on
  • 1.5. Derivaci´on de funciones no elementales
  • 1.6. Derivada sim´etrica
  • 1.7. Derivabilidad absoluta
  • 1.8. Derivada (g ◦ f −^1 )′(6)
  • 1.9. Familia de funciones de clase
  • 1.10. Aplicaci´on del teorema de Rolle
  • 1.11. L´ımite de las ra´ıces de pn(x) = xn+2 − 2 x +
  • 1.12. F´ormula de Leibniz: derivada (uv)(n)
  • 1.13. Aplicaci´on de la f´ormula de Taylor
  • 1.14. C´alculo de un l´ımite por integrales
  • 1.15. Pi es irracional
  • 1.16. F´ormula de Wallis
  • 1.17. Integral de Euler-Poisson - 3 por deriv. par´ametrica 0 dx/(5 − 3 cos x)
    • ∫ π/ 1.19.
      • 0 (arctan sin x/ sin x) dx por deriv. par´ametrica
  • 1.20. Funci´on Gamma de Euler
  • 1.21. Integral mediante las Gamma y Beta
  • 1.22. Sucesi´on funcional con l´ımite Γ(x)
  • 1.23. Series de Bertrand
  • 1.24. Criterio de Weierstrass: suma de una serie
  • 1.25. Sucesi´on de Fibonacci
• 2. An´alisis real multivariable
  • 2.1. Puntos de discontinuidad, compacidad
  • 2.2. Diferenciabilidad en R
  • 2.3. Diferencial de una composici´on
• ´INDICE GENERAL
  • 3.18. Un problema de Dirichlet
  • 3.19. Funci´on entera y polinomio
  • 3.20. Area de una imagen del c´´ ırculo unidad
  • 3.21. Funci´on holomorfa: representaci´on integral
  • 3.22. Funci´on holomorfa biperi´odica
  • 3.23. N´umero de ceros en Re z >
  • 3.24. Desigualdades de Cauchy
  • 3.25. Residuo en el punto del infinito
• 4. Miscel´anea de An´alisis
  • 4.1. Un examen completo
  • 4.2. Derivabilidad seg´un par´ametros
  • 4.3. Desigualdad y n´umero de ra´ıces
  • 4.4. Di´ametro de un subconjunto de R
  • 4.6. Integral doble como producto de simples
  • 4.7. Suma de una serie racional
  • 4.8. Irracionalidad del n´umero e
  • 4.9. Integral de Gauss o de probabilidades
  • 4.10. Convoluci´on de dos campanas de Gauss
  • 4.11. Derivaci´on param´etrica y l´ımite
  • 4.12. Conv. unif. en un intervalo no acotado
  • 4.13. Convergencia uniforme. Teorema de Dini
  • 4.14. Converg. de series: crit. de Dirichlet
  • 4.15. Converg. de series: crit. de Abel
  • 4.16. Espacio de funciones completo y no compacto
  • 4.17. Continuidad uniforme y teorema de Tychonoff
  • 4.18. Cardinales de las sigma-´algebras contables
  • 4.19. Funciones holomorfas f : Re f + Im f =
  • 4.20. Polinomio complejo p∗(z) = p(−z¯)
  • 4.21. Tres desarrollos de Laurent
  • 4.22. Lagrange-Sylvester, representaci´on integral - n dx/(x 2 n+1 + 1) 0 x
  • 4.24. Relaci´on entre dos integrales
    • 1 − 2 a cos t+a^2 dt cos 3t

8 ´INDICE GENERAL

10 CAP´ITULO 1. AN ALISIS REAL UNIVARIABLE´

(b) Si xn > 0 entonces, xn ≥ +

b ⇔ x^2 n ≥ b. Demostremos que xn > 0 para todo n ≥ 0. Efectivamente x 0 = a > 0 por hip´otesis. Supongamos que xn > 0, entonces xn+1 = (1/2)(xn + b/xn) es el producto de dos n´umeros positivos y por tanto positivo. Veamos ahora que para todo n ≥ 0 se verifica x^2 n+1 ≥ b. Efectivamente

x^2 n+1 =

x^2 n + b^2 x^2 n

• 2b

x^4 n + b^2 + 2bx^2 n 4 x^2 n

Entonces

x^2 n+1 ≥ b ⇔ x^4 n + b^2 + 2bx^2 n 4 x^2 n

≥ b ⇔ x^4 n + b^2 + 2bx^2 n ≥ 4 bx^2 n ⇔ x^4 n + b^2 − 2 bx^2 n ≥ 0 ⇔ (x^2 n − b)^2 ≥ 0

igualdad esta ´ultima que es trivialmente cierta. Hemos demostrado pues que para todo n ≥ 1 se verifica xn ≥ +

b. Por supuesto que el t´ermino x 0 = a podr´ıa no cumplir la relaci´on anterior.

(c) Tenemos

xn+1 ≤ xn ⇔

xn + b xn

≤ xn ⇔ x^2 n + b 2 xn

≤ xn ⇔ x^2 n + b ≤ 2 x^2 n ⇔ −x^2 n + b ≤ 0 ⇔ b ≤ x^2 n

y esta ´ultima desigualdad ya la hab´ıamos demostrado en el apartado (b) para todo n ≥ 1. Obs´ervese que x 0 = a queda excluido, lo cual es irrelevante para la existencia de l´ımite. Tenmos una sucesi´on x 1 , x 2 ,... mon´otona decreciente y acotada inferiormente y por tanto, convergente. Llamemos L a su l´ımite. Tomando l´ımites en la igualdad

xn+1 =

xn + b xn

obtenemos L = (1/2)(L + b/L) o equivalentemente L^2 = b. Entonces, L =

b o L = −

b. Ahora bien, como xn > 0 para todo n se deduce que l´ımn→∞ xn = +

b.

1.2. Continuidad de funciones

1. Determinar donde son continuas las siguientes funciones elementales:

(a) f (x) = 3 x − 2 x^2 − 5 x + 6

(b) g(x) =

− 2 x^2 + 10x − 12

1.2. CONTINUIDAD DE FUNCIONES 11

2. Determinar donde son continuas las siguientes funciones no elementales:

(a) f (x) =

x^3 − 8 x − 2 si x 6 = 2 5 si x = 2

(b) g(x) =

3 x^2 + 1 si x ≤ − 2 − 3 x + 7 si x > − 2

(c) h(x) =

e^1 /x^ si x 6 = 0 0 si x = 0

Resoluci´on. 1. Recordamos que que todas las funciones elementales son continuas en su dominio de definici´on, en consecuencia, bastar´a determinar donde las funciones dadas est´an definidas.

(a) La funci´on no est´a definida si y s´olo si el denominador se anula, es decir cuando x^2 − 5 x + 6 = 0. Resolviendo obtenemos x = 2, x = 3. Por tanto f es continua exactamente en R − { 2 , 3 }.

(b) La funci´on est´a definida si y s´olo si el radicando es no negativo es decir, si y s´olo si p(x) = − 2 x^2 + 10x − 12 ≥ 0. Factoricemos p(x) para estudiar su signo. Tenemos p(x) = −2(x^2 − 5 x+6) = −2(x−2)(x−3). El polinomio p(x) toma valores no negativos exactamente en el intervalo [2, 3] : g es continua exactamente en [2, 3].

2. (a) Sea x 0 6 = 2, entonces existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a x 0 de tal forma que la funci´on f es elemental y est´a definida en (a, b). Por el teorema de continuidad de las funciones elementales concluimos que f es continua en x 0. Estudiemos la continuidad en x 0 = 2. Usando la definici´on:

(i) Existe f (2) = 5. (ii) Veamos si existe l´ımx→ 2 f (x)

l´ım x→ 2 f (x) = l´ım x→ 2

x^3 − 8 x − 2

= l´ım x→ 2

(x − 2)(x^2 + 2x + 4) x − 2

l´ım x→ 2 (x^2 + 2x + 4) = 12

(iii) l´ım x→ 2 f (x) 6 = f (2).

Por tanto, f no es continua en 2. Concluimos que la funci´on f es continua exactamente en R − { 2 }.

(b) Sea x 0 6 = −2, entonces existe un intervalo abierto (a, b) que contiene a x 0 de tal forma que la funci´on f es elemental y est´a definida en (a, b). Por el teorema de continuidad de las funciones elementales concluimos que f es

1.3. FUNCIONES F -CONTINUAS 13

son f -continuas.

2. Determinar todas las funciones que son f -continuas si: a) f es constante b) f (x) = x para todo x ∈ R.
3. Consideremos f (x) = ex. Estudiar razonadamente la veracidad o falsedad de la siguiente afirmaci´on: g es f -continua si, y s´olo si g es continua en (0, ∞).
4. Consideremos ahora f (x) = sen x. Caracterizar las funciones g : R → R que son f -continuas. [1]

Resoluci´on. 1. Determinemos la funci´on g 1 ◦ f y g 2 ◦ f :

(g 1 ◦ f )(x) = g 1 [f (x)] = g 1 (x^2 ) =

0 si x = 0 1 si x 6 = 0

Claramente g 1 ◦ f no es continua en x = 0, por tanto g 1 no es f -continua.

(g 2 ◦ f )(x) = g 2 [f (x)] = g 2 (x^2 ) = 1

La funci´on g 2 ◦ f es continua para todo x ∈ R, es decir g 2 es f -continua.

2. a) Sea f (x) = k con k constante. Entonces, para toda funci´on g se verifica (g ◦ f )(x) = g[f (x)] = g(k), es decir g ◦ f es constante y por tanto continua. En consecuencia todas las funciones g son f -continuas. b) Si f (x) = x para todo x ∈ R :

g es f -continua ⇔ (g ◦ f )(x) = g[f (x)] = g(x) es continua

Es decir, las funciones f -continuas son en ´este caso las continuas.

3. Veamos si se verifica la doble implicaci´on: g es f -continua ⇔ g es continua en (0, ∞).

⇒) El rango de la funci´on f : R → R, f (x) = ex^ es (0, ∞). Por hip´otesis g ◦f : R → R es continua y como consecuencia es continua g ◦f considerando

la restricci´on R f →(0, ∞) g → R, y llamemos h = g ◦ f a esta composici´on. La inversa de la funci´on f : R → (0, ∞) es f −^1 : (0, ∞) → R, f −^1 (x) = log x. Entonces

g ◦ f = h ⇒ g ◦ f ◦ f −^1 = h ◦ f −^1 ⇒ g ◦ I = h ◦ f −^1 ⇒ g = h ◦ f −^1

14 CAP´ITULO 1. AN ALISIS REAL UNIVARIABLE´

Se deduce que g es continua en (0, ∞) al ser composici´on de continuas.

⇐) Por hip´otesis g es continua en (0, ∞). Razonando como en la implicaci´on

anterior tenemos R f →(0, ∞) g → R, y la funci´on g ◦ f es continua por ser la composici´on de continuas, es decir g es f -continua. Hemos demostrado la doble implicaci´on, y por tanto la afirmaci´on dada es verdadera.

4. Veamos que: g es f -continua ⇔ g es continua en [− 1 , 1]. Razonaremos de manera an´aloga a la del apartado anterior.

⇒) Consideramos la restricci´on [−π/ 2 , π/2]

f →[− 1 , 1] g → (^) R. Entonces f −^1 : [− 1 , 1] → [−π/ 2 , π/2] , f −^1 (x) = arcsen x.

Llamemos h = g ◦ f (h es continua por hip´otesis). Se verifica:

g ◦ f = h ⇒ g ◦ f ◦ f −^1 = h ◦ f −^1 ⇒ g ◦ I = h ◦ f −^1 ⇒ g = h ◦ f −^1

Se deduce que g es continua en [− 1 , 1] al ser composici´on de continuas.

⇐) Por hip´otesis g es continua en [− 1 , 1]. Razonando como en la implicaci´on

anterior tenemos R

f →[− 1 , 1] g → (^) R, y la funci´on g ◦ f es continua por ser la composici´on de continuas, es decir g es f -continua. Hemos demostrado pues la doble implicaci´on.

1.4. Valores intermedios y Bolzano: aplicaci´on

Si α < β prueba que la ecuaci´on x^2 + 1 x − α

x^6 + 1 x − β

= 0 tiene al menos una

soluci´on en el intervalo (α, β). [6]

Resoluci´on. Consideremos la funci´on

f (x) = x^2 + 1 x − α

x^6 + 1 x − β

Esta funci´on es racional y est´a definida en el intervalo abierto (α, β), en consecuencia continua en dicho intervalo. Por otra parte

l´ım x→α+^

f (x) = +∞ , l´ım x→β−^

f (x) = −∞

Por el teorema de los valores intermedios de las funciones continuas, existen α 1 , β 1 tales que α < α 1 < β 1 < β con f (α 1 ) > 0 y f (β 1 ) < 0. Por el teorema de Bolzano, existe ξ ∈ [α 1 , β 1 ] ⊂ (α, β) tal que f (ξ) = 0. Es decir, la ecuaci´on dada tiene al menos una soluci´on en el intervalo (α, β).

16 CAP´ITULO 1. AN ALISIS REAL UNIVARIABLE´

2. Sabemos que la funci´on valor absoluto est´a definida por

f (x) = |x| =

x si x ≥ 0 −x si x < 0

Primer caso: x > 0. Existe un intervalo abierto que contiene a x en el cual la funci´on es elemental. Aplicando las conocidas reglas de derivaci´on, f ′(x) = 1.

Segundo caso: x > 0. Existe un intervalo abierto que contiene a x en el cual la funci´on es elemental. Aplicando las conocidas reglas de derivaci´on, f ′(x) = −1.

Tercer caso: x = 0. En todo intervalo abierto que contiene a 0 la funci´on no es elemental. Aplicamos pues la definici´on de derivada. La funci´on a la derecha y a la izquierda de 0 est´a expresada por f´ormulas distintas, por tanto hallamos las derivadas por la derecha y por la izquierda.

f (^) +′(0) = l´ım h→ 0 +

f (0 + h) − f (0) h = l´ım h→ 0 +

h h

= l´ım h→ 0 +^

f (^) −′(0) = l´ım h→ 0 −

f (0 + h) − f (0) h = l´ım h→ 0 −

−h h

= l´ım h→ 0 −^

No coinciden las derivadas por la derecha y por la izquierda de f en 0, por tanto no existe f ′(0). Podemos pues concluir que

f ′(x) =

1 si x > 0 − 1 si x < 0

3. (a) Primer caso: x 6 = 0. Existe un intervalo abierto que contiene a x en el cual la funci´on es elemental. Aplicando las conocidas reglas de derivaci´on:

f ′(x) = 3x^2 sen

x

• x^3

cos

x

x^2

= 3x^2 sen

x

− x cos

x

Segundo caso: x = 0. En todo intervalo abierto que contiene a 0 la funci´on no es elemental. Aplicamos pues la definici´on de derivada.

1.5. DERIVACI ON DE FUNCIONES NO ELEMENTALES´ 17

f ′(0) = l´ım h→ 0

f (0 + h) − f (0) h

= l´ım h→ 0

h^3 sen (1/h) h = l´ım h→ 0 h^2 sen (1/h) = 0

Hemos usado que el l´ımite de una funci´on que tiende a cero por otra acotada, tambi´en tiende a 0. La funci´onf es derivable en R y adem´as

f ′(x) =

3 x^2 sen

x − x cos

x si x 6 = 0 0 si x = 0

(b) Aplicando la propiedad anteriormente mencionada:

l´ım x→ 0 f ′(x) = l´ım x→ 0

3 x^2 sen

x

− x cos

x

= 0 = f ′(0)

Es decir, f ′^ es continua en 0. Veamos que f ′^ no es derivable en 0.

f ′′(0) = l´ım h→ 0

f ′(0 + h) − f ′(0) h

= l´ım h→ 0

3 h^2 sen (1/h) − h cos(1/h) h = l´ım h→ 0 (3hsen (1/h) − cos(1/h))

Ahora bien, si h → 0 entonces 3hsen (1/h) → 0 y cos(1/h) es oscilante, en consecuencia no existe f ′′(0).

4. En el intervalo abierto (0, 2) la funci´on bxc est´a definida por

bxc =

0 si 0 < x < 1 1 si 1 ≤ x < 2

Por tanto

f (x) =

√^0 si^0 < x <^1 x − 1 si 1 ≤ x < 2

Se verifica

l´ım x→ 1 −^ f (x) = l´ım x→ 1 −^

l´ım x→ 1 +^

f (x) = l´ım x→ 1 +

x − 1) = 0

1.6. DERIVADA SIM ETRICA´ 19

Hemos usado la regla de L’Hopital.

(f 2 )′ s(0) = l´ım h→ 0

|h| − | − h| 2 h

= l´ım h→ 0

2 h

= l´ım h→ 0

(f 3 )′ s(0) = l´ım h→ 0

h sin (^) h^1 − (−h) sin

− (^1) h

2 h = l´ım h→ 0

2 h = l´ım h→ 0

Hemos usado que el producto de un infinit´esimo por una funci´on acotada es tambi´en un infinit´esimo. Podemos concluir que existen las derivadas sim´etri- cas de las tres funciones dadas en x 0 = 0.

(b) Podemos expresar

f (x 0 + h) − f (x 0 − h) 2 h

f (x 0 + h) − f (x 0 ) + f (x 0 ) − f (x 0 − h) 2 h

f (x 0 + h) − f (x 0 ) h

f (x 0 − h) − f (x 0 ) −h

Tomando l´ımites y teniendo en cuenta que existe f ′(x 0 ) :

f (^) s′(x 0 ) =

f ′(x 0 ) +

f ′(x 0 ) = f ′(x 0 )

Es decir, si existe la derivada ordinaria de una funci´on en un punto, enton- ces existe tambi´en su derivada sim´etrica en dicho punto y ambas coinciden. El enunciado rec´ıproco es: Si existe la derivada sim´etrica f (^) s′(x 0 ), entonces existe la derivada ordinaria f ′(x 0 ). Este enunciado es falso. En efecto, es bien sabido que para la funci´on f 2 (x) = |x| no existe la derivada f 2 ′(0), sin embargo existe (f 2 ′)s(0) como se demostr´o en el apartado anterior.

(c) Por hip´otesis existen f (^) +′(x 0 ) y f (^) −′(x 0 ). Veamos que existe f (^) s′(x 0 ). Tene- mos:

l´ım h→ 0 +

f (x 0 + h) − f (x 0 − h) 2 h

l´ım h→ 0 +

f (x 0 + h) − f (x 0 ) + f (x 0 ) − f (x 0 − h) 2 h

l´ım h→ 0 +

f (x 0 + h) − f (x 0 ) h

l´ım h→ 0 +

f (x 0 − h) − f (x 0 ) −h

f (^) +′(x 0 )+

f (^) −′(x 0 )

En la ´ultima igualdad hemos usado que −h < 0. Razonando de manera an´aloga obtenemos:

l´ım h→ 0 −

f (x 0 + h) − f (x 0 − h) 2 h

f (^) −′(x 0 ) +

f (^) +′(x 0 )

20 CAP´ITULO 1. AN ALISIS REAL UNIVARIABLE´

Hemos demostrado por tanto que si existen f (^) +′(x 0 ) y f (^) −′(x 0 ), entonces existe f (^) s′(x 0 ) y adem´as f (^) s′(x 0 ) = (1/2)(f (^) +′(x 0 ) + f (^) −′(x 0 )). El enunciado rec´ıproco es: Si existe la derivada sim´etrica f (^) s′(x 0 ), entonces existen las derivadas f (^) +′(x 0 ) y f (^) −′(x 0 ). Este enunciado es falso. En efecto, para la funci´on f 3 (x) del apartado (a) existe la derivada sim´etrica en 0 seg´un demostramos. Ahora bien,

f 3 (0 + h) − f 3 (0) h

h sin(1/h) − 0 h = sin(1/h)

Si h → 0 +^ entonces 1/h → +∞, por tanto no existe (f 3 ′)+(0).

1.7. Derivabilidad absoluta

Sea f una funci´on real y sea a un punto interior del dominio de f. Diremos que f es absolutamente derivable en a si la funci´on |f | es derivable en a.

Estudiar si son ciertas o no, las siguientes proposiciones:

a.- Si f es absolutamente derivable en a, entonces f es continua en a. b.- Si f es derivable en a, entonces f es absolutamente derivable en a. c.- Si f es derivable en a, y f (a) 6 = 0 entonces f es absolutamente derivable en a. d.- Si f es absolutamente derivable en a, y f (a) 6 = 0 entonces f es derivable en a. e.- Si f es absolutamente derivable en a, continua en a y f (a) 6 = 0 entonces f es derivable en a. f.- Supongamos que f (a) = 0 y que f es derivable en a. Entonces f es absolutamente derivable en a, si y s´olo si f ′(a) = 0. g.- Si f y g son absolutamente derivable en a entonces f · g (producto) es absolutamente derivable en a. h.- Si f y g son absolutamente derivable en a entonces f + g (suma) es absolutamente derivable en a. [1]

Resoluci´on. a.- La proposici´on es falsa. En efecto, consideremos la funci´on:

f : R → R , f (x) =

1 si x ≥ 0 − 1 si x < 0

Entonces, |f |(x) = 1 para todo x ∈ R con lo cual |f |′(x) = 0 para todo x ∈ R y en particular |f |′(0) = 0. La funci´on f es pues absolutamente derivable en a = 0, sin embargo es claro que no es continua en a.