Medida 3, Apuntes de Análisis Matemático

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Parte III

Medida e Integraci´on en R

n

166 Medida Exterior 17.

disjuntos dos a dos, su ´area sea la suma de las ´areas de estos rect´angulos. Precisamente, la propiedad de que la medida del “todo”sea igual a la su- ma de las medidas de las “partes”, es lo que se tomar´a como definici´on de medida abstracta. An´alogas consideraciones cabe hacer sobre el concepto de volumen de un cuerpo en el espacio.

Definici´on 17.1 Sea X un conjunto y F una familia de subconjuntos de X. Una aplicaci´on μ : F ⊂ P(X) → [0, ∞] se dir´a que es una medida finitamente aditiva , si para cada colecci´on finita (Ai) de conjuntos disjuntos dos a dos

de F tales que ∪ Ai ∈ F, se tiene que

μ(∪ Ai) =

μ(Ai).

μ se dir´a que es una medida (o tambi´en medida numerablemente aditiva o σ-aditiva) si para cada colecci´on numerable (Ai) de conjuntos disjuntos dos

a dos de F tales que ∪ Ai ∈ F, se tiene que

μ(∪ Ai) =

μ(Ai).

(Supondremos que α < +∞, α + ∞ = ∞, para cada α ∈ R).

Esta definici´on, siendo tan general, permite la construcci´on de numerosas medidas:

1. μ(A) = 0 para todo A ⊂ X.
2. μ(A) = ∞ para todo A ⊂ X.
3. μ(A) =

p , si A tiene p elementos ∞ , si A es infinito.

4. Aunque no lo precisemos aqu´ı, toda probabilidad ser´a tambi´en una medida.

Pero en este curso la ´unica medida que estamos interesados en construir es la medida de Lebesgue en Rn, que denotaremos por “m”, y que mide longitudes, ´areas o vol´umenes seg´un que n=1,2 ´o 3.

17.2 Medida Exterior 167

Semintervalos de Rn

La primera familia sobre la que definiremos la medida de Lebesgue ser´a la de semintervalos.

Definici´on 17.2 En Rn^ llamaremos Semintervalo a cada producto cartesia- no de n intervalos acotados de R de la forma [ai, bi), ai < bi i = 1, 2 ,... , n. La medida del semintervalo I =

∏n i=1[ai, bi) es el n´umero real m(I) = (b 1 − a 1 ) × (b 2 − a 2 ) × · · · × (bn − an).

Por convenio, consideraremos al ∅ como un semintervalo de medida 0.

Para n = 2 un semintervalo es un rect´angulo de lados paralelos a los ejes coordenados, al que le falta parte del borde. Puede parecer un poco extra˜no comenzar este proceso de medir con la consideraci´on de un tipo tan particular de rect´angulos, en vez de trabajar desde un principio con rect´angulos arbitrarios, definiendo su medida como el producto de las longitudes de sus lados. La raz´on de esto est´a en que aceptar, de entrada, que la medida de un rect´angulo abierto y del rect´angulo cerrado que tiene los mismos lados coinciden, puede ser demasiado fuerte para una mentalidad matem´atica: Lo anterior tiene m´as apariencia de teorema que de algo asumible como hip´otesis. Como punto de partida nos deber´ıamos de limitar, pues, a considerar todos los rect´angulos del mismo tipo, en lugar de rect´angulos arbitrarios (por ejemplo todos abiertos, o todos cerrados o semintervalos). Y de to- das estas subfamilias, la m´as adecuada es la de semintervalos: Mediante semintervalos podemos obtener una partici´on numerable del plano (y de cualquier conjunto abierto), en cambio eso no es posible hacerlo a base s´olo de rect´angulos abiertos o de rect´angulos cerrados. Para nuestros prop´ositos, lo anterior constituye una importante propiedad de los semintervalos de la que habremos de hacer uso en m´as de una ocasi´on (Ver Zaanen [30]).

Nuestro objetivo inmediato es demostrar que “m” es una medida σ- aditiva sobre la familia de semintervalos. Posteriormente extenderemos esta medida a conjuntos m´as generales (ser´ıa deseable que esta extensi´on la pu- di´esemos hacer a cada subconjunto de Rn, pero, como veremos, esto es imposible manteniendo el car´acter σ-aditivo de la medida). Para todo ello necesitaremos destacar algunas de las propiedades de la familia de semin- tervalos y de la medida definida sobre ella.

17.6 Medida Exterior 169

tomando como factores a estos intervalos, se obtiene trivialmente una par- tici´on finita del semintervalo I, uno de cuyos miembros es el semintervalo J. Por tanto I \ J es igual a la uni´on del resto de los semintervalos de la partici´on.

La partici´on del semintervalo I, obtenida de la forma anterior, diremos que constituye un cuadriculado o red del semintervalo I. M´as generalmente, sea el semintervalo I =

∏n i=1[ai, bi) y consideremos en cada eje una partici´on finita de [ai, bi). Entonces, la colecci´on de semintervalos, {Ks}, obtenidos como antes (es decir, formando los n-productos posibles que tienen en el factor i, (i = 1,... , n), un semintervalo de la partici´on de [ai, bi)), constituye una partici´on de I que se denomina cuadriculado o red de I.

Lema 17.5 Si {Ks} es un cuadriculado del semintervalo I entonces,

m(I) =

m(Ks).

Demostraci´on. Para no complicar en exceso las notaciones, supongamos n = 2. Sea I = [a 1 , b 1 ) × [a 2 , b 2 ), y

a 1 = t 0 < t 1 <... < tp = b 1 ; a 2 = u 0 < u 1 <... < uq = b 2

particiones de [a 1 , b 1 ) y [a 2 , b 2 ). Entonces cada cuadr´ıcula es de la forma Ks = [ti, ti+1) × [uj , uj+1), luego

∑ m(Ks) =

i,j

(ti+1 − ti)·(uj+1 − uj )

i

(ti+1 − ti)

j

(uj+1 − uj )

i

(ti+1 − ti)·(b 2 − a 2 )

=(b 2 − a 2 )(b 1 − a 1 ) = m(I).

Proposici´on 17.6 Sean I 0 , I 1 ,... , Ip una colecci´on finita de semintervalos de Rn.

(a) Si I 0 ⊂ ∪pk=1 Ik entonces m(I 0 ) ≤

m(Ik).

(b) Si Ik ∩ Ir = ∅ (k 6 = r) y ∪ Ik ⊂ I 0 entonces

m(Ik) ≤ m(I 0 ).

170 Medida Exterior 17.

Demostraci´on. (a) Prolongando los lados de los semintervalos I 0 , I 1 ,... , Ip (como en la proposici´on anterior) se obtiene en cada eje una colecci´on finita de semintervalos disjuntos. Si se construyen a partir de ellos todos los n- productos posibles, la colecci´on finita Ks de semintervalos disjuntos de Rn que resulta, proporciona un cuadriculado de cada Ik. Concretamente, cada Ik es la uni´on de los Ks que lo cortan. Se tiene pues que

m(Ik) =

Ks⊂Ik

m(Ks).

Entonces, si I 0 ⊂ ∪pk=1 Ik, cada semintervalo que est´a contenido en I 0 est´a

tambi´en contenido en alg´un Ik (k ≥ 1), y por tanto

m(I 0 ) =

Ks⊂I 0

m(Ks) ≤

k

Ks⊂Ik

m(Ks) =

m(Ik).

(b) Se demuestra de forma an´aloga. Para quien no le guste la demostraci´on anterior, vamos a ver, a continuaci´on, la singular demostraci´on que dio Von Newman [24] de este resultado. Demostraci´on*. (a) Supongamos, en primer lugar, que todos los intervalos Ik =

[aki , bki ) verifican que las longitudes de sus lados son mayores que 1, es decir bki − aki > 1, y denotemos por NIk al n´umero de elementos de Ik que tienen como coordenadas (todas) n´umeros enteros. Si se tiene en cuenta que un semintervalo de R cuya longitud l est´e comprendida entre los n´umeros naturales N y N + 1 (N ≤ l ≤ N + 1), contiene N o N + 1 enteros, resulta que ∏n

i=

(bki − aki − 1) ≤ NIk <

∏^ n

i=

(bki − aki + 1).

Como NI 0 ≤

NIk , de la relaci´on anterior resulta que

∏^ n

i=

(b^0 i − a^0 i − 1) ≤

k

i

(bki − aki + 1).

Si las longitudes de los lados de los Ik no fuesen todas mayor o igual que 1 entonces, tomando r un natural suficientemente grande, los semintervalos

rIk ser´ıan del tipo anterior (y es obvio que rI 0 ⊂ ∪pk=1 rIk). Aplicando la

desigualdad 17.1 se obtiene ∏^ n

i=

(rb^0 i − ra^0 i − 1) ≤

k

i

(rbki − raki + 1),

172 Medida Exterior 17.

lo que implica, por ser ε arbitrario, que

m(I 0 ) ≤

∑^ ∞

k=

m(Ik).

(b) Si los semintervalos Ik son disjuntos entre s´ı y est´an contenidos en I 0 entonces, por la proposici´on anterior, se tiene que para cada p ∈ N ∑^ p

k=

m(Ik) ≤ m(I 0 ),

luego tambi´en

k=1 m(Ik)^ ≤^ m(I^0 ). Corolario 17.8 Si F denota a la familia de semintervalos de Rn, la aplica- ci´on m : F ⊂ P(Rn) → [0, ∞] , que asigna a cada semintervalo el producto de las longitudes de sus lados, es una medida numerablemente aditiva.

Demostraci´on. Si el semintervalo I se escribe como

I = ∪ Ik,

donde los Ik son semintervalos disjuntos entre s´ı entonces, del apartado (a) de la proposici´on anterior, se deduce que

m(I) ≤

m(Ik)

y del apartado (b) que (^) ∑ m(Ik) ≤ m(I).

Medida exterior

En esta secci´on vamos a extender la medida de semintervalos a conjuntos m´as generales. Vamos a comenzar asignando a cada subconjunto A de Rn un n´umero real (+∞), m∗(A) ≥ 0, que pretendemos sea su medida.

Definici´on 17.9 Si A ⊂ Rn, llamaremos medida exterior del conjunto A, al elemento de [0, +∞],

m∗(A) = inf

m(Ik) : A ⊂ ∪ Ik

donde este ´ınfimo est´a extendido al conjunto de colecciones numerables, {Ik}, de semintervalos que recubren el conjunto A.

17.11 Medida Exterior 173

Es inmediato comprobar que la definici´on anterior tiene perfecto sentido, ya que, por una parte, para cada conjunto existe alguna colecci´on numerable de semintervalos que lo recubre, y por otra, todas la sumas

m(Ik) est´an acotadas inferiormente por 0, luego el extremo inferior de todas ellas exis- te en [0, +∞]. Precisamente por ser la medida exterior del conjunto A el extremo inferior de un conjunto de n´umeros reales, se deduce

Proposici´on 17.10 Sea A un conjunto de Rn. El n´umero α ∈ [0, +∞] es la medida exterior de A si y s´olo si se dan las dos condiciones

1. Cualquiera que sea la colecci´on {Ik} de semintervalos con A ⊂ ∪ Ik ,

se tiene que α ≤

m(Ik).

2. Para cada ε > 0 , existe alguna colecci´on {Ik} de semintervalos que recubre a A y tal que ∑ m(Ik) ≤ α + ε.

Probaremos a continuaci´on que la medida exterior de un semintervalo coin- cide con su n-volumen, es decir la medida que ya le hab´ıamos asignado. Pero, desafortunadamente, m∗^ no es numerablemente aditiva sobre la tota- lidad de P(Rn) y, por tanto, no es una medida sobre P(Rn). Sin embargo, podremos encontrar despu´es una familia M de subconjuntos de Rn, suficien- temente amplia (contiene a los semintervalos, a todos los abiertos, cerrados etc.), de forma que la restricci´on de m∗^ a M s´ı que sea numerablemente aditiva.

Propiedades de la Medida Exterior

Proposici´on 17.11 La medida exterior de un semintervalo I es igual al producto de las longitudes de sus lados. Es decir m∗(I) = m(I).

Demostraci´on. Sea I un semintervalo no vac´ıo de Rn. Por definici´on

m∗(I) = inf

m(Ik) : I ⊂ ∪ Ik

donde este ´ınfimo est´a extendido al conjunto de colecciones numerables, {Ik}, de semintervalos que recubren el conjunto I. Como un recubrimiento trivial de I lo constituye el propio {I}, resulta que

m∗(I) ≤ m(I).

17.15 Medida Exterior 175

Proposici´on 17.14 La medida exterior de Lebesgue es invariante por tras- laciones. Es decir, para todo conjunto A de Rn^ y para todo punto x, se tiene que m∗(x + A) = m∗(A).

Demostraci´on. El resultado es cierto si A es un semintervalo. En efecto, si A es el semintervalo

∏n i=1[ai, bi), entonces es evidente que

x + A =

∏^ n

i=

[xi + ai, xi + bi).

Por lo tanto

m∗(x + A) =

(xi + bi − (xi + ai)) =

(bi − ai) = m∗(A).

En general, si A es un conjunto cualquiera, veamos que m∗(x + A) ≤

m∗(A). Sea (Ik) una colecci´on de semintervalos tal que A ⊂ ∪ Ik. Entonces

x + A ⊂ ∪(x + Ik), por lo que de la definici´on de medida exterior resulta

que m∗(x + A) ≤

m(x + Ik) =

m(Ik).

Esto significa que m∗(x + A) es una cota inferior del conjunto { ∑

m(Ik) : A ⊂ ∪ Ik

por tanto m∗(x + A) ≤ m∗(A). La desigualdad contraria se obtiene de la anterior escribiendo A = (−x)+ (x + A). As´ı,

m∗(A) = m∗((−x) + (x + A)) ≤ m∗(x + A).

Por ´ultimo, vamos a ver que la medida exterior de Lebesgue no es nume- rablemente aditiva. Para ello vamos a dar el ejemplo cl´asico de Vitali, el cual proporciona, a partir del axioma de elecci´on, una familia numerable de conjuntos de R, disjuntos dos a dos, cuya suma de medidas no coincide con la medida de la uni´on de ellos.

Ejemplo 17.15 (Vitali) Sea A un conjunto acotado de n´umeros reales con m∗(A) > 0. Supongamos, por ejemplo, A ⊂ [−r, r). Definimos sobre A la relaci´on de equivalencia

x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q.

176 Medida Exterior 17.

Obviamente cada clase de equivalencia es de la forma (x+Q)∩A, luego es un conjunto numerable. Se deduce pues que existe una cantidad no numerable de clases de equivalencia. Sea V un conjunto obtenido seleccionando en cada clase un ´unico representante (observar que para ello se hace uso del Axioma de Elecci´on), y consideremos, para cada racional q del intervalo [− 2 r, 2 r), el conjunto Vq = q + V. Se tiene entonces

1. Los conjuntos Vq son disjuntos dos a dos. En efecto, si x ∈ Vq 1 ∩ Vq 2 , entonces

x = q 1 + a 1 = q 2 + a 2 ⇒ a 1 − a 2 ∈ Q.

Es decir los puntos de V , a 1 y a 2 , est´an relacionados, y esto implica, por la construcci´on de V , que a 1 = a 2 , y por tanto, q 1 = q 2.

2. A ⊂ ∪ Vq ⊂ [− 3 r, 3 r), q ∈ Q ∩ [− 2 r, 2 r).

En efecto, sea x ∈ A, y sea a ∈ V tal que q = x − a ∈ Q. Entonces

x = q + a ∈ q + V,

siendo |q| = |x−a| < 2 r, como se sigue f´acilmente de que tanto x como a est´en en [−r, r). De igual modo si x ∈ Vq, es decir x = q + a con − 2 r ≤ q < 2 r y a ∈ V (por tanto −r ≤ a < r), entonces x ∈ [− 3 r, 3 r). Teniendo en cuenta lo anterior, vamos a comprobar que

m∗(∪ Vq) 6 =

m∗(Vq),

lo que demostrar´a que m∗^ no es σ-aditiva en todo Rn: Por una lado, de la monoton´ıa de la medida exterior, se deduce que

0 < m∗(A) ≤ m∗(∪ Vq) ≤ 6 r.

Por otro, como la medida exterior es invariante por traslaciones, m∗(Vq) = m∗(V ), y por tanto ∑ m∗(Vq) = 0 , si m∗(V ) = 0 ∑ m∗(Vq) = ∞ , si m∗(V ) > 0

Tanto en un caso como en otro, resultar´ıa imposible que m∗(∪ Vq) fuese

igual a

m∗(Vq). (Comprobar adem´as que la primera opci´on, es decir m∗(V ) = 0, no puede darse).