La Antiderivada
Una función F diferenciable con 𝑥 ∈ 𝐷𝑚𝑓 se dice antiderivada de la función 𝑓 en 𝑥,
si F′(𝑥)= 𝑓(𝑥), (equivalentemente en notación diferencial 𝑑𝐹 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥).
El con conjunto de todas las antiderivadas de 𝑓 en 𝑥 se denomina integral indefinida
de 𝑓 respecto a 𝑥, y se denota por ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = F(𝑥) + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ
Nota
Geométricamente una integral indefinida no es otra cosa que una familia de curvas.
Ejemplos
1) Una de las antiderivadas de 𝑓(𝑥)=2
3𝑥3+ 2 está dada por F(𝑥)=1
6𝑥4+ 2𝑥, pues
F′(𝑥)=2
3𝑥3+ 2 = 𝑓(𝑥)
Decimos que es una de las antiderivadas, pues F(𝑥)= 1
6𝑥4+ 2𝑥 + √3, también lo es.
En general, una antiderivada sería, F(𝑥)= 1
6𝑥4+ 2𝑥 + 𝑘, donde 𝑘 ∈ ℝ.
Finalmente, este conjunto de antiderivadas está representada por la integral indefinida
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =∫(2
3𝑥3+ 2)𝑑𝑥 =1
6𝑥4+ 2𝑥 + 𝑐
2) Una antiderivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥4− 5𝑥 está dada por F(𝑥)= 1
5𝑥5− 5
2𝑥2+ 𝑐, pues
F′(𝑥)= 𝑥4− 5𝑥 = 𝑓(𝑥)
Nota
En la integral a la función 𝑓(𝑥) le llamaremos factor integrando
