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APÉNDICE MATEMÁTICO
En este apéndice repasaremos brevemente algunos de los conceptos matemáticos utilizados
durante el curso, con el fin de recordar las definiciones de algunos términos. No pretende ser, desde
luego, un texto de matemáticas, por lo que las definiciones expuestas no serán, por lo general, las
más rigurosas sino las más sencillas.
1. Funciones
Una función es una regla que describe una relación entre números. Asigna a cada número x un
único número y de acuerdo con una determinada regla. Por lo tanto, puede indicarse describiendo la
regla; por ejemplo, "tómese un número y elévese al cuadrado" o "tómese un número y multiplíquelo
por 2", etc. Estas funciones se expresan de la forma siguiente: y = x
2 , y = 2 x. Las funciones se
denominan algunas veces transformaciones.
Cuando quiere indicarse que una variable y depende de otra, x , pero no se conoce la relación
algebraica específica que existe entre las dos, se escribe y = f ( x ) y se dice que la variable y depende
de x de acuerdo con la regla f.
Dada una función y = f ( x ), el número x suele llamarse variable independiente y el número y
variable dependiente, en el sentido de que x varía independientemente, pero el valor de y depende
del valor de x.
Muchas veces una variable y depende de varias, x l, x 2 , etc.; en ese caso, escribimos y = f ( x 1 , x 2 )
para indicar que ambas variables determinan conjuntamente el valor de y.
2. Gráficos
Un gráfico de una función representa gráficamente su conducta. La figura l muestra dos
ejemplos. En matemáticas, la variable independiente suele representarse en el eje de abscisas y la
dependiente en el de ordenadas. En ese caso, el gráfico indica la relación entre la variable
independiente y la dependiente.
Sin embargo, en economía es frecuente representar las funciones colocando la variable
independiente en el eje de ordenadas y la dependiente en el de abscisas. Por ejemplo, las funciones
de demanda suelen representarse colocando el precio en el eje de ordenadas y la cantidad
demandada en el de abscisas.
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4 !
3. Propiedades de las funciones
Una función continua es aquella que puede trazarse sin levantar lápiz del papel: no hay ningún
salto. Una función lisa es aquella que no tiene vértices ni esquinas. Una función monótona es
aquella que siempre es creciente (en este caso se dice que es monótonamente creciente ) o
decreciente (en este caso se dice que es monótonamente decreciente ).
4. Funciones inversas
Recuérdese que una función tiene la propiedad de que a cada valor de x le corresponde un único
valor de y y que una función monótona es aquella que siempre es creciente o decreciente. Eso
significa que en una función monótona, a cada valor de y le corresponde un único valor de x.
La función que relaciona la x y la y de esta forma se llama función inversa. Si se nos da y en
función de x , podemos calcular la función inversa despejando x en función de y. Si y = 2 x , la
función inversa es x = y/ 2. Si y = x
2 , no hay una función inversa; dada cualquier y , tanto
como tienen la propiedad de que su raíz cuadrada es igual a y. Por lo tanto, a cada valor de
y le corresponde más de un valor de x , en contra de lo que exige la definición de la función.
5. Ecuaciones e identidades
Una ecuación pregunta en qué casos una función es igual a un determinado número. He aquí
algunos ejemplos.
2 x = 8
x
2 = 9
f ( x ) = 0
La solución de una ecuación es el valor de x que satisface la ecuación. La primera tiene una
solución x = 4. La segunda tiene dos soluciones, x = 3 y x = -3. La tercera es una ecuación general.
Normalmente, Δ x representa una pequeña variación de x. A veces se expresa diciendo que Δx
representa una variación marginal.
Una tasa de variación es el cociente entre dos variaciones. Si y es una función de x que viene
dada por y = f ( x ), la tasa de variación de y con respecto a x se representa de la forma siguiente:
La tasa de variación mide la variación que experimenta y cuando varía x.
Una función lineal tiene la propiedad de que la tasa de variación de y con respecto a x es
constante. Para demostrarlo, obsérvese que si y = a + bx , entonces
Cuando las funciones no son lineales, la tasa de variación de la función depende del valor de x.
Consideremos, por ejemplo, la función y = x
2
. En esta función,
En esta expresión, la tasa de variación de x a x + Δ x depende del valor de x y de la magnitud de la
variación, Δ x. Pero si las variaciones de x son muy pequeñas, Δ x tiende a cero, por lo que la tasa de
variación de y con respecto a x es aproximadamente 2 x.
8. Pendientes y coordenadas en el origen
La tasa de variación de una función puede interpretarse gráficamente como la pendiente de dicha
función. La figura 2A representa la función lineal y = - 2 x + 4. Su ordenada en el origen es el valor
de y cuando x = 0, que es y = 4. Su abscisa en el origen es el valor de x cuando y = 0, que es x = 2.
La pendiente de la función es la tasa de variación que experimenta y cuando varía x. En este caso, es
-2. Por tanto, la pendiente de una línea representa el cambio que experimenta la variable
dependiente (la representada en el eje de ordenadas, es decir, la y ) cuando cambia la variable
independiente (la representada en el eje de abscisas, esto es, la x ).
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Generalmente, si una función lineal tiene la forma y = ax + b , la ordenada en el origen será y * =
b y la abscisa en el origen, x * = - b / a. Si una función lineal se expresa de la forma siguiente:
a 1 x 1 + a 2 x 2 = c ,
la abscisa en el origen es el valor de x l cuando x 2 = 0, que es y la ordenada en el origen se
da cuando x 1 = 0, lo que significa que. La pendiente de esta función es – a 1 / a 2.
Una función no lineal tiene la propiedad de que su pendiente varía cuando varía x. Una tangente
de una función en el punto x es una función lineal que tiene la misma pendiente. La figura 2B
representa la función x
2 y la tangente en x = 1.
Si y aumenta siempre que aumenta x, Δy siempre tendrá el mismo signo que Δ x , por lo que la
pendiente de la función será positiva. Si, en cambio, y disminuye cuando aumenta x o aumenta
cuando disminuye x , Δ y y Δ x tendrán signos opuestos, por lo que la pendiente de la función será
negativa.
En definitiva: la pendiente puede expresarse como un número que mide el cambio en y por
cambio unitario en x. La pendiente indica si la relación entre las variables en directa o inversa. Si la
pendiente es positiva, la relación es directa, es decir las variables crecen o decrecen conjuntamente
(figura 3B). Cuando la pendiente es negativa, la relación es inversa, al aumentar una variable la
otra disminuye (figura 3A). Cuando la línea es recta la pendiente es constante a lo largo de todo su
recorrido. En el caso de una curva (función no lineal) la pendiente cambia durante su trayectoria
(figura 3C). Supongamos que deseamos conocer la pendiente en el punto H. Para ello calculamos la
pendiente de la línea recta tangente a la curva en el punto. Así pues, la pendiente de una curva en un
punto viene dada por la pendiente de la línea recta que es tangente a la curva en el punto en
cuestión.
x 1 1 2 3 4 5 6
f 1 6 7 14 10 14 9
Las modas son M o = 3 y M o =5, por ser estos dos valores de la variable los que tienen mayor
frecuencia. La distribución se llama bimodal (dos modas).
Variación porcentual
Es la variación absoluta dividida por la cifra original y multiplicada por cien.
Ejemplo: la cantidad demandada de un bien es 25 al precio p ; un aumento determinado del
precio produce una disminución de la cantidad a 21. Calcule la variación porcentual de la cantidad:
Δ% Q =
Valor absoluto
El valor absoluto o módulo de un número real a se define así:
a = a si a ≥ 0 ; a = − a si a < 0
Ecuación de segundo grado
ax
2
x 1 , 2
− b ± b
2 − 4 ac
2 a
OperacionesOperacionesOperaciones
a ( b ± c ) = ab ± ac
( a ± c )
b
a
b
c
b
a
b
c
d
a
b
d
c
ad
bc
a
b
c
ab
c
a
b
c
ac
b
a
b
c
a
bc
ab ± ac
a
= b ± c , a ≠ 0
a
b
c
d
ad ± bc
bd
a − b
c − d
b − a
d − c
OperacionesOperacionesOperaciones
( a + b )
2 = a
2
2 ( a − b )
2 = a
2 − 2 ab + b
2 ( a + b )( a − b ) = a
2 − b
2
Operaciones con infinito y ceroOperaciones con infinito y ceroOperaciones con infinito y cero
Sumas Productos Cocientes
∞ ± k = ∞ ∞ · (± k ) = ± ∞ Si k ≠ 0
k
k
∞ - ∞ Indeterminación 0 · ∞ Indeterminación
k
k
Indeterminación
Indeterminación
