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APLICACIONES LINEALES.
INTRODUCCIÓN: APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS.
Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una regla que permite asignar a cada elemento de A, uno de B.
La aplicación f del conjunto A en el conjunto B se indica mediante f: A B o bien A B.
^ f→
El conjunto A se llama conjunto inicial, y el B conjunto final. Si la aplicación f asigna al elemento a ∈ A el elemento b ∈ B , diremos que b es la imagen de a , lo que se denota por f(a) = b. La regla ha de estar inequívocamente definida, de modo que para todos y cada uno de los elementos de A, esté claro qué elemento de B es su imagen.
Clasificación de las aplicaciones :
- Se dice que una aplicación es inyectiva si no hay dos elementos que tengan imágenes iguales. Una aplicación inyectiva “crea una copia” de A dentro de B.
- Se dice que una aplicación es suprayectiva (o sobreyectiva) si todos los elementos del conjunto final B han sido utilizados.
- Se dice que una aplicación es biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva. Una aplicación biyectiva establece una “igualdad” entre los conjuntos A y B, pues a cada elemento de A le corresponde uno de B, y a cada elemento de B, exactamente uno de A.
Si f es biyectiva existe su inversa, denotada f –1^ : A →B , que “deshace” lo hecho por f.
Ejemplos :
1. La aplicación del conjunto de la población española mayor de edad en el conjunto de los números naturales, que asigna a cada ciudadano su número de DNI. Es inyectiva, pues no hay dos personas con el mismo DNI. No es suprayectiva, pues no todos los números se utilizan. 2. La aplicación del conjunto de los números reales en el conjunto de los reales positivos,
que asigna a cada número su cuadrado: (^2) x x
ℜ → ℜ^ +
No es inyectiva, pues hay números con el mismo cuadrado (p.ej. 2 y –2). Es suprayectiva, pues todos los reales positivos son el cuadrado de algún número.
En este capítulo definiremos aplicaciones entre espacios vectoriales.
APLICACIONES LINEALES. PROPIEDADES
Definición: Aplicación lineal
Dados dos espacios vectoriales V y W, y dada una aplicación f: V W, diremos que f es lineal si conserva las combinaciones lineales, es decir: dada una combinación lineal entre vectores de V, sus imágenes en W verifican la misma combinación:
si u = α v+ β w (en V) entonces u’ = α v’ + β w’ (en W)
donde u’, v’, w’ son respectivamente las imágenes de u, v, w.
Esto se puede expresar también así:
(1) f( α v+ β w) = α f(v) + β f(w) para v, w∈V
(“La imagen de una combinación lineal, es la combinación lineal de las imágenes”. )
También es equivalente a afirmar que se conserva la suma y el producto por escalares:
(2) (2a) f(v+ w) = f(v) + f(w) para v, w∈V
(2b) f( α v) = α f(v) para v∈V, α escalar.
Por tanto, a la hora de probar si una aplicación es lineal, podemos utilizar indistintamente (1) o (2).
- Las aplicaciones lineales también se pueden llamar homomorfismos.
- Pueden también definirse aplicaciones en subespacios vectoriales, pues éstos funcionan como espacios vectoriales. Por ejemplo,
S={(α, 2α) : α ∈ ℜ } es un subespacio de ℜ 2 y en él podemos definir la aplicación lineal
S^3 ( , 2 ) (3 , 4 ,5 )
f
α α α α α
Ejemplos.
1. Consideremos la siguiente aplicación de ℜ^3 en ℜ^2 y veamos si es lineal:
3 2
(x,y,z) (2x, z)
ℜ f→ ℜ
Vamos a comprobar que se cumple la afirmación (2) anterior.
(2a): Veamos que f(v+ w) = f(v) + f(w) para cualesquiera v, w∈ ℜ^3 :
Sean dos vectores genéricos de ℜ 3 , v=(a,b,c), w= (a’, b’, c’), entonces
f(v + w) = f ( (a,b,c) + (a’, b’, c’) ) = f(a+a’, b+b’, c+c’) = ( 2(a+a’), c+c’) son iguales.
f(v) + f(w) = f(a,b,c) + f(a’,b’,c’) = (2a, c) + (2a' , c’) = ( 2a+2a’, c+c’)
5. Homotecias: Multiplican los vectores por un cierto escalar (el mismo para todos los vectores). Si el escalar es mayor que 1, se trata de una dilatación, mientras que si es menor que 1 se trata de una contracción. La siguiente homotecia puede representar la dilatación del 1% de una lámina de metal bajo el efecto del calor:
2 2
(x,y) (1.01x, 1.01y )
6. Proyecciones: Son aplicaciones que llevan todos los vectores del espacio ℜ a un cierto plano, sobre el que proyectamos.
3
La siguiente aplicación transforma cualquier pieza tridimensional en su vista en alzado (proyección sobre el plano XZ).
3 3
(x,y,z) (x,0,z)
Propiedad: Si f: V W es una aplicación lineal, la imagen del vector cero de V siempre
es el vector cero de W.
Demostración:
Denotemos por (^0) V y 0 el vector cero de V y de W respectivamente.
G
W
G
Entonces, partiendo de cualquier vector v∈V, tenemos:
f( (^0) V ) = f( v – v) = f(v) – f(v) =
G
0 W
G
Observación. Esta propiedad puede utilizarse para probar que una aplicación no es lineal, pues si no cumple esta propiedad no podrá serlo. (Si la cumple, podrá ser lineal o no.)
Teorema: Transformación de subespacios.
a) Una aplicación lineal f: V →W transforma subespacios de V en subespacios de W.
Dado S un subespacio de V, su imagen se denota por f(S). Es el subespacio de W formado por las imágenes de todos los vectores de S.
b) El subespacio f(S) tiene dimensión menor o igual que la dimensión de S. Además se tiene que si la aplicación f es inyectiva, entonces se conservan las dimensiones, es decir, f(S) tiene la misma dimensión que S.
- Observar el significado geométrico de este teorema: ya que los subespacios de son rectas, planos..., el apartado a) afirma que éstos no pueden transformarse, por una aplicación lineal, en líneas curvas o superficies curvas.
ℜ^ n
El apartado b) significa que una recta no puede, por ejemplo, transformarse en un plano (la dimensión no puede aumentar). Un plano podrá transformarse en otro plano; en una recta; o
en un punto {
G
Teorema: imagen de un sistema generador.
Sea f: V W lineal, y sea S un subespacio de V. Entonces, la imagen de un sistema generador de S es un sistema generador de f(S).
Es decir: si v1,... vr generan S, entonces f(v 1 ) (^) ,... , f(vr) generan f(S).
Ejemplo. Usaremos el teorema anterior para calcular cuál es la imagen de un subespacio.
Sea la aplicación lineal:
3 2
(x,y,z) (x+y+2z, 3x+3y+6z )
ℜ f→ ℜ
Calculemos la imagen del subespacio S= {(α+β, α, α–β) : α,β }. Para ello hallamos primero un sistema generador de S, que es (1,1,1), (1,0,–1). La imagen de este sistema generador es:
f(1,1,1) = (4,12)
f(1,0,–1) = (–1,–3)
Por tanto f(S) será el subespacio de ℜ 2 generado por (4,12) y (–1,–3).
Notar que estos no forman base de f(S), pues no son independientes. Una base de f(S) podría ser (4,12), o bien (1,3), por ejemplo.
Teorema: imagen de conjuntos dependientes e independientes.
Sea f: V → W lineal. La imagen de un conjunto linealmente dependientees otro conjunto linealmente dependiente.
No está asegurado que la imagen de un conjunto independiente siga siendo independiente (esto sólo está asegurado si la aplicación es inyectiva).
Observación. Si tenemos en cuenta que una base es un sistema generador linealmente
independiente, veremos que de los dos teoremas anteriores se desprende que una base de S no tiene por qué transformarse en una base de f(S). Sólo si f es inyectiva está asegurado que sea así.
NÚCLEO E IMAGEN.
Observemos que determinados vectores de V pueden tener como imagen el 0. Esto ocurre
al menos con
G
, pero también puede ocurrir con más vectores de V.
W
G
0 V
Por ejemplo, en la aplicación el vector (0,0) tiene como imagen
(0,0), pero lo mismo le ocurre a (1,1), y también a todos los vectores de la forma (λ, λ).
2 2
(x,y) (x-y, x-y )
ℜ f→ ℜ
Núcleo : Hay que encontrar los vectores cuya imagen es (0,0), es decir, los (x,y,z) tales que
(x+y+2z, 3x+3y+6z) = (0,0) por tanto
x+y+2z =
3x+3y+6z =
sistema compatible indeterminado cuya solución general es:
(2α, 2β, –α–β) : α, β ∈ ℜ
Estos son todos los vectores que forman el núcleo, es decir
Ker(f) = { (2α, 2β, –α–β) : α,β ∈ ℜ }
De esta expresión paramétrica podemos obtener una base de Ker(f): { (2,0,–1), (0,2,–1) }
Por tanto la dimensión del núcleo es 2.
Observemos que se verifica la fórmula: 1 + 2 = 3.
2) Calcular el núcleo y la imagen de la aplicación lineal ℜ^
2 2
(x,y) (2x-3y, -x-y )
f→ ℜ
Núcleo : Hay que encontrar los vectores cuya imagen es (0,0), es decir, los (x,y) tales que
(2x+3y, –x–y) = (0,0) por tanto
2x+3y=
–x–y = 0
este sistema es compatible determinado y por tanto su única solución es x=0, y =0.
Por ello el único vector en Ker(f) es (0,0).
Imagen : De la fórmula dim( Im(f) ) + dim( Ker(f) ) = 2 , como dim( Ker(f) ) es cero, obtenemos que dim( Im(f) ) = 2.
Y como Im(f) está contenida en el espacio final , si su dimensión es 2 ha de ser todo el
espacio. Por tanto, Im(f) =.
ℜ^2
ℜ^2
CLASIFICACIÓN DE APLICACIONES.
Una aplicación lineal f: V W puede ser inyectiva, suprayectiva, ninguna de las dos cosas o ambas (y en ese caso es biyectiva). Veremos cómo esto se relaciona con el cálculo del núcleo e imagen.
Suprayectividad:
Im(f) es un subespacio de W, que puede ocupar todo W o no. Si existen elementos de W que estén fuera de Im(f), éstos no serán imagen de ningún elemento de V.
Por tanto, f: V →W será suprayectiva si Im(f) ocupa todo W: Im(f) = W.
Para comprobar esto basta comparar las dimensiones: en efecto, como Im(f) siempre está contenido en W, cuando sus dimensiones coincidan tendremos que Im(f) = W.
Así pues, f es suprayectiva cuando dim ( Im(f) ) = dim(W).
Inyectividad:
En principio habría que comprobar si existen dos vectores de V cuyas imágenes sean iguales. Pero esto viene facilitado por el siguiente resultado:
Teorema. f es inyectiva si y sólo si su núcleo es solamente { (^0) V }.
G
Demostración:
Si hay un vector v además de 0 en el núcleo, ambos tienen la misma imagen 0 , con lo que f ya no sería inyectiva.
V
G
W
G
Y por otra parte, si f no es inyectiva entonces hay dos vectores u, v con imágenes iguales, f(u) = f(v), y entonces tendremos
f(u)–f(v) = 0 ⇒ f(u – v) = 0 así el vector u – v está en el núcleo, luego éste ya no es { (^0) V }
G
Gracias a esto, para comprobar la inyectividad basta calcular el núcleo.
También es suficiente conocer la dimensión, puesto que Ker(f) = { 0 } es equivalente a que su dimensión sea 0.
V
G
Así pues, f es inyectiva cuando dim ( Ker(f) ) = 0.
Ejemplos.
1) Consideramos la aplicación del ejemplo 1) anterior
3 2
(x,y,z) (x+y+2z, 3x+3y+6z )
ℜ f→ ℜ
Como ya hemos calculado el núcleo y la imagen, tenemos:
dim ( Im(f) ) = 1 ≠ 2 ⇒ no es suprayectiva.
dim ( Ker(f) ) = 2 ≠ 0 ⇒ no es inyectiva.
2) Ejemplo 2) anterior: ℜ^
2 2
(x,y) (2x-3y, -x-y )
f→ ℜ
dim ( Im(f) ) = 2 ⇒ es suprayectiva.
dim ( Ker(f) ) = 0 ⇒ es inyectiva.
Por tanto es biyectiva.
3) Una aplicación f: ℜ nunca podrá ser inyectiva: pues como Im(f) está
contenida en , su dimensión es ≤^ y así
ℜ^2
dim( Im(f) ) + dim( Ker(f) ) = 3 ⇒ es imposible que dim( Ker(f) ) sea 0 ≤ 2
Ejemplo.
Calculemos el rango de la siguiente aplicación:
3 2
(x,y,z) (2x+3y+z, y+z)
ℜ f→ ℜ
Para ello hemos de hallar Im(f) y su dimensión.
Partiendo de un sistema generador de ℜ 3 , (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) hallamos sus imágenes,
f(1,0,0)=(2,0)
f(0,1,0)=(3,1)
f(0,0,1)=(1,1)
Estos tres vectores de generan Im(f), pero sólo dos de ellos son linealmente independientes, por lo que la dimensión de Im(f) es 2. Así pues , rg(f) = 2.
ℜ^2
Observación.
En el ejemplo anterior, para calcular el rango de f, hemos calculado el rango (es decir, el número de vectores independientes) de la familia de vectores (2,0), (3,1), (1,1). Esto
equivale, colocando estos vectores en columnas, a calcular el rango de la matriz
(en este caso rango 2).
Veremos que esta matriz cumple un papel importante respecto a la aplicación.
Definición: Matriz asociada a una aplicación.
Dada una aplicación lineal f: V → W, se llama matriz asociada a f(en bases canónicas) a la matriz que contiene en sus columnas las imágenes de la base canónica de V.
Propiedades.
1) La matriz de f: ℜn → ℜmes de tamaño m x n.
2) Si A es la matriz asociada a f, el rango de la aplicación f (es decir, la dimensión del subespacio imagen) es el rango de A (que puede calcularse escalonando la matriz, etc).
3) La matriz A asociada a f puede utilizarse para calcular la imagen de cualquier vector. En
efecto, si multiplicamos la matriz A por el vector v∈ (en columna), obtenemos el vector
f(v) ∈ (también en columna).
ℜ^ n ℜ^ m
A v = f(v)
Ejemplo.
Dada la aplicación
2 3
(x,y) (x+y, x-y, 0)
ℜ f→ ℜ
su matriz asociada será de tamaño 3x2.
Colocamos en las columnas las imágenes de la base canónica de ℜ^2 :
f(1,0)= (1,1,0) f(0,1)=(1,–1,0).
así obtenemos la matriz A = ^
Utilicemos la matriz para calcular la imagen del vector v=(2,3).
= por tanto f(v) = (5,–1,0)
Observación.
Dada una aplicación lineal podemos calcular su matriz asociada; pero también al revés: dada cualquier matriz A de tamaño m x n, podemos interpretarla como la matriz de una aplicación f: ℜ ℜ , puesto que con la matriz ya sabemos calcular las imágenes y por tanto está determinada la aplicación f.
n (^) → m
Así pues, hay una identificación entre aplicaciones lineales y matrices.
Ecuación de una aplicación lineal.
Sea f: ℜ n^ → ℜ m, con matriz asociada A =.
11 1
1
n
m m
a a
a a
" (^) n
Denotemos por (x 1 ,.. ., xn ) un vector del conjunto inicial ℜ , y por (y 1 ,.. ., ym ) su imagen en
. Entonces tenemos, según lo anterior,
n ℜ^ m
11 1
1
n
m m
a a
a a
" (^) n
1
n
x
x
= (ecuación matricial)
1
m
y
y
lo que también se puede escribir en forma no matricial, resultando y 1 = a 11 x 1 +... +a1n xn
ym = am1 x 1 +... +amn xn
Esta es la ecuación de f, que es la expresión que permite calcular la imagen (y 1 ,.. ., ym ) a partir del vector (x 1 ,.. ., xn ).
(lo que puede comprobarse aplicando f al vector v y obteniendo el mismo resultado).
Núcleo : Resolvemos el sistema = , obteniendo la solución (λ, – λ, λ), que
es la forma paramétrica de Ker(f). Por tanto una base de Ker(f) es (1,–1,1).
x y z
Imagen : Es el subespacio de ℜ generado por las tres columnas de la matriz A. Como A tiene rango 2, una de las columnas depende linealmente de las demás. Escalonando la matriz se ve que los pivotes quedan en las columnas 1ª y 2ª, por tanto nos quedamos con
las columnas
3
y^ como base de Im(f).
Finalmente podemos ver, como comprobación, que dim( Ker(f) ) + dim( Im(f) ) = 1 + 2 = 3.
MATRIZ DE UNA APLICACIÓN EN DISTINTAS BASES.
La matriz de una aplicación que hemos considerado hasta ahora, es la matriz llamada estándar o en bases canónicas. Cuando no se afirme lo contrario se tratará de la matriz estándar.
Ahora bien, si fijamos en los espacios inicial y final otras bases, entonces podemos trabajar con coordenadas en dichas bases.
Podemos entonces encontrar una expresión de f adecuada a estas coordenadas.
(Nota. A partir de aquí, conviene repasar el punto “COORDENADAS Y CAMBIOS DE BASE” del tema Espacios Vectoriales).
Definición: Matriz de una aplicación en bases cualesquiera.
Sea f: ℜ una aplicación lineal, y consideremos en el espacio inicial una cierta base B, y en el espacio final otra base B’.
ℜ n → m^ ℜn
Entonces se define la matriz de f en bases B y B’ como la matriz M que contiene en sus columnas las imágenes de los vectores de la base B, expresadas en coordenadas respecto de B’.
Ejemplo.
Sea la aplicación
2 3
(x,y) (x+y, x-y, 0)
ℜ f→ ℜ
y consideremos las bases siguientes:
- En el espacio inicial ℜ^2 la base B = { (1,1), (1,–1) }
- En el espacio final la base B’ = { (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) }
ℜ^3
Calculemos la matriz de f en bases B y B’. Para ello hallamos las imágenes de la base B:
f(1,1) = (2,0,0)
f(1,–1) = (0,2,0)
Estas imágenes, (2,0,0) y (0,2,0), en el espacio final ℜ han de expresarse en coordenadas respecto de la base B’. Esto puede hacerse planteando sistemas o bien utilizando la matriz de cambio de base (ver Tema Espacios Vectoriales ). Por ejemplo mediante sistemas:
3
(2,0,0) = α (1,0,0) + β (1,1,0) + γ (1,1,1) ⇒ α=1, β=1, γ=–1, es decir, (1,1,–1) son las
coordenadas de (2,0,0) en base B’ y por tanto
es la primera columna de la matriz M.
(0,2,0) = α (1,0,0) + β (1,1,0) + γ (1,1,1) ⇒ α=1, β=–1, γ=1, es decir, (1,–1,1) son las
coordenadas de (2,0,0) en base B’ y por tanto
es la segunda columna de la matriz M.
Así tenemos M =
, la matriz de f en bases B y B’.
Propiedades.
1) La matriz de f: ℜ en bases cualesquiera es de tamaño m x n , al igual que la matriz estándar.
ℜ n → m
2) El rango de la aplicación f ( = dimensión del subespacio imagen) también puede calcularse mediante el rango de M, siendo M la matriz en bases cualesquiera.
4) La matriz M en bases B y B’ puede utilizarse para calcular imágenes de vectores, cuando trabajamos con coordenadas en base B en el espacio inicial y con coordenadas en base B’ en el espacio final.
En efecto, si multiplicamos la matriz M por el vector v∈ (en columna y expresado como
coordenadas en base B), obtenemos el vector f(v) ∈ (también en columna y expresado como coordenadas en base B’). Es decir,
ℜ^ n ℜ^ m
M ^ =
1
n
x
x
1
m
y
y
siendo las coordenadas de v∈ en base B, y siendo
1
n
x
x
ℜn
1
m
y
y
(^) # las coordenadas de su
imagen f(v) expresada en base B’.
Neila Campos ÁLGEBRA LINEAL Aplicaciones Linealess^14
Esto puede representarse mediante el siguiente esquema:
f W
b. canónica b. canónica
base B’
P-1^ P Q –1^ Q
base B^ M
A
V
También es posible cambiar de base sólo en el espacio inicial, o sólo en el espacio final:
f W
b. canónica b. canónica
base B’
Q –1^ Q
M
A
1) Aquí M es la matriz en la base canónica V y B’ (es decir, sus columnas contienen las imágenes de la base canónica, expresadas como coordenadas en B’).
Entonces tenemos: M = Q –1^ A
f
b. canónica b. canónica
base B
P-1^ P
M
A
V (^) W (^) 2) Ahora M es la matriz en B y la base canónica (es decir, sus columnas contienen las imágenes de la base B, expresadas como coordenadas en base canónica).
Entonces tenemos: : M = A P
Ejemplo:
Dada la aplicación
2 3
(x,y) (x+y, x-y, 0)
ℜ f→ ℜ
ya hemos calculado anteriormente la matriz en bases canónicas, que es A= ^
y su matriz en bases B={(1,1),(1,–1)}, B’={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}, que es M = ,
Los cambios de base son:
En el espacio inicial ℜ 2 : el cambio de B a la base canónica es P=
(P se halla colocando en columnas los vectores de B expresados en base canónica).
El cambio inverso, de la base canónica a B será P–^.
(Podemos considerar que P es la matriz identidad)
(Podemos considerar que Q es la matriz identidad)
En el espacio final ℜ 3 : el cambio de B’ a la base canónica es Q= ^ .
(Q se halla colocando en columnas los vectores de B’ expresados en base canónica).
El cambio inverso, de la base canónica a B’ será Q–^.
Se cumplirá entonces que M = Q–1^ A P.
Así pues, también podríamos haber hallado M de la siguiente manera:
M = Q –1^ A P =
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
=^
MATRICES EQUIVALENTES.
La equivalencia es una relación entre matrices que se puede definir de cuatro formas diferentes:
1) Dos matrices A y B son equivalentes (se denota A ~ B) si son matrices de la misma aplicación lineal , en distintas bases.
3) A y B son equivalentes si existen P, Q matrices cuadradas inversibles tales que B=PAQ.
4) Dos matrices son equivalentes si tienen la misma dimensión m xn y el mismo rango.
Ejemplo. Dadas las matrices A= y B = , observamos que
ambas tienen dimensión 3x4 y rango 3. Así, por la afirmación 4 ) anterior, A y B son equivalentes.
Esto significa, por 2), que A se puede transformar en B mediante operaciones elementales por filas y posiblemente también por columnas.
También significa, por 1), que tanto A como B son matrices de una cierta aplicación lineal en
distintas bases. Esta aplicación deberá ser f: ℜ (puesto que así su matriz será 3x4) y deberá ser rg(f)=3 ( es decir, dim(Im(f))=3 ), puesto que así la matriz de f tendrá rango 3.
2) Dos matrices A y B son equivalentes si se puede pasar de una a otra mediante operaciones elementales por filas y posiblemente también por columnas (permutar líneas; multiplicar una línea por un escalar no nulo; sumar a una línea un múltiplo de otra)
