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Aplicaciones lineales (I).
Algebra Lineal. Grupo F^ ´
Diciembre de 2008.
- Determinar cu´ales de las siguientes aplicaciones son lineales, en caso afirmativo calcular el n´ucleo e imagen:
a ) f : R^2 → R^2 , f ( x , y ) = ( x + 1 , y + 2 ). b ) f : V → V ′, f ( v ) = 0. c ) I : V → V , I ( v ) = v. d ) f : R → R, f ( r ) = r^2. e ) f : R^3 → R^2 , f ( x , y , z ) = ( x + y + z , 28 x + 92 z ). f ) f : R^3 → P 2 [ x ], f ( a , b , c ) = a + bx + cx^2. g ) f : P n [ x ] → P n [ x ], f ( p ( x )) = p ( x + 1 ). h ) f : P n [ x ] → P n [ x ], f ( p ( x )) = p ( x ) + 1.
- Construir una aplicaci´on lineal f : R^2 → R^2 de forma que f ( 0 , 1 ) = ( 28 , 92 ) y f ( 1 , 0 ) = ( 92 , 28 ).
- Construir una aplicaci´on lineal f : R^3 → R^3 de manera que ( 1 , 2 , 1 ) ∈ Ker ( f ) y ( 1 , 0 , 0 ), ( 0 , 1 , 0 ) ∈ Im ( f ).
- En R^3 se consideran S = L {( 0 , 1 , 0 ), ( 0 , 1 , 1 )} y T = L {( 1 , 0 , 0 )}.
a ) Expresar ( x , y , z ) ∈ R^3 como suma de un vector de xs ∈ S y otro en xt ∈ T. b ) Dada la aplicaci´on f : R^3 → R^3 definida como fs (( x , y , z )) = xs , demostrar que es lineal. c ) Si L es un subespacio vectorial de R^3 de dimensi´on 2 ¿ que dimensi´on puede tener f [ L ]?
5. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on 3 y B = { v 1 , v 2 , v 3 } una base para V. Comprobar
que la informaci´on siguiente determina un ´unico endomorfismo de V :
f ( v 1 − v 2 ) = − 7 v 1 + v 3 , f ( 3 v 1 + v 2 − v 3 ) = − v 1 + v 2 , f ( v 1 + v 2 + 2 v 3 ) = 4 v 1 − v 3.
A continuaci´on calcular f ( 5 v 1 − 7 v 2 + v 3 ).
- Sea f : R^3 → R^2 la aplicaci´on lineal definida por f ( x , y , z ) = ( x + 2 y + z , 2 z ). Calcular las bases y las ecuaciones param´etricas de Ker ( f ) y de Im ( f ).
- Sea f : R^3 → R^3 , f ( x , y , z ) = ( x + y + z , 2 x + y , 3 x + 2 y + z ). Calcular una base de Ker ( f ) y una base de Im ( f ).
- Calcular la expresi´on matricial respecto de las bases can´onicas de R^4 y R de una aplicaci´on lineal f : R^4 → R verificando que
f ( 2 , 1 , 0 , − 1 ) = 5 , f ( 3 , 2 , 1 , 0 ) = 5 , f ( 1 , 1 , − 2 , 0 ) = − 1 , f ( 2 , 3 , 2 , 1 ) = 6.
- Sea f : R^3 → R^2 f ( x , y , z ) = ( x + y + z , y + 3 z ) Calcular la matriz asociada a f respecto de la base can´onica. Calcular la matriz asociada a f respecto de la bases B = {( 1 , 1 , 1 ), ( 1 , 1 , 0 ), ( 1 , 0 , 0 )}, y B ′^ = {( 1 , 1 ), ( 2 , 0 )}.
- Sea f : R^3 → R^3 una aplicaci´on lineal tal que
f ( 1 , 1 , 1 ) = (− 1 , 0 , 1 ), f ( 0 , 1 , − 1 ) = ( 2 , 1 , 0 ), f ( 1 , 0 , 0 ) = ( 1 , 1 , 1 ).
Se pide:
a ) Determinar la expresi´on matricial de f respecto de la base can´onica. b ) Calcular una base de la imagen y del n´ucleo de f. c ) Calcular la imagen por f del subespacio H = {( x , y , z ) ∈ R^3 : x + y + z = 0 }.
(Julio 1998)
- Probar que si f : V −→ V ′^ es lineal y dim ( V ) > dim ( V ′), entonces f no pueder ser inyectiva.
- Probar que no existen aplicaciones lineales sobreyectivas de R^3 en R^4.
- D´e una aplicaci´on lineal de R^3 en R^3 cuyo n´ucleo sea todo R^3 , comprobando que la aplica- ci´on dada es efectivamente lineal y que verifica dicha propiedad. (Junio 2003)
- Sea h : R^2 −→ R^2 definida por h ( x , y ) = ( 2 x + 5 y , 3 x − ay ). ¿ Qu´e condici´on debe verificar a para que h seah un isomorfismo?
- Sea la aplicaci´on lineal f : R^3 → R^3 , definida por
f ( x , y , z ) = (− ax − ay + z , 2 ax + ay − z , 2 ax + 2 y + ( a − 2 ) z ).
Determina en funci´on del par´ametro a de que tipo de aplicaci´on lineal se trata y especifica en cada caso una base del n´ucleo y de la imagen. (Julio 2002).
- Justifica la veracidad o la falsedad de la siguiente afirmaci´on: Si f : R^2 → R^3 es la aplicaci´on lineal dada por f ( x , y ) = ( x − 2 y , − x , 2 x + y ), y la matriz de la aplicaci´on lineal g : R^3 → R^2 respecto de las bases can´onicas es ( − 1 2 3 0 1 1
