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MATEM ´ATICAS
Depto. de Matem´atica Aplicada
GECO-Grado en Econom´ıa
ESQUEMA
Aplicaciones de las
derivadas
POLINOMIO DE TAYLOR
Dada una funci´on f ( x ), queremos aproximarla, en un entorno de un punto x = a , es decir, en un intervalo abierto de centro a y un cierto radio r , mediante un polinomio (de grado uno, de grado dos,..., de grado n ). Los polinomios son funciones con ”muy buen comportamiento”, ya que, entre otras propiedades, son funciones continuas y derivables hasta el orden n , siendo n el grado del polinomio, en todo R.
Definici´on: Polinomio de Taylor. Dada una funci´on f ( x ), derivable hasta el orden n , en el punto a , se define el Polinomio de Taylor de grado n , de f en un intervalo abierto de centro x = a y radio r , como:
Pn ( f )( x ) := f ( a ) +
f ′( a ) 1!
( x − a ) +
f ′′( a ) 2!
( x − a )^2 +
f ′′′( a ) 3!
( x − a )^3 + · · · +
f ( n )( a ) n!
( x − a ) n.
Se demuestra, gracias al teorema de Taylor, que la funci´on f ( x ), se aproxima al Polinomio Pn ( f )( x ), para todo punto x ∈ ( a − r , a + r ), es decir,
f ( x ) ≈ Pn ( f )( x ).
El grado de aproximaci´on es mayor, cuanto mayor sea el grado del polinomio. Ejemplo: Sea la funci´on f ( x ) = Lx ,
(i) Calcule una aproximaci´on lineal (polinomio de Taylor de grado uno) en un entorno del punto x = 1 , de dicha funci´on. Soluci´on Como f ( 1 ) = L ( 1 ) = 0 , f ′( x ) =
x
, f ′( 1 ) =
P 1 ( f )( x ) := f ( 1 ) +
f ′( 1 ) 1!
( x − 1 ) = x − 1.
Entonces f ( x ) ≈ P 1 ( f )( x ), es decir, en este caso, L ( x ) ≈ x − 1 , para todo x ∈ ( 1 − r , 1 + r ).
(ii) Calcule una aproximaci´on cuadr´atica (polinomio de Taylor de grado dos) en un entorno del punto x = 1 , de dicha funci´on. Soluci´on Como f ′′( x ) = −
x^2
, f ′′( 1 ) = −
P 2 ( f )( x ) := f ( 1 ) +
f ′( 1 ) 1!
( x − 1 ) +
f ′′( 1 ) 2!
( x − 1 )^2 = x − 1 −
( x − 1 )^2 = −
x^2 + 2 x −
Entonces L ( x ) ≈ x − 1 −
( x − 1 )^2 , es decir, L ( x ) ≈ −
x^2 + 2 x −
, para todo x ∈ ( 1 − r , 1 + r ).
(iii) Calcule el valor aproximado de L ( 1. 1 ), haciendo uso de los apartados (i) y (ii). Soluci´on
- Utilizando la aproximaci´on lineal, L ( 1. 1 ) ≈ 1. 1 − 1 , esto es, L ( 1. 1 ) ≈ 0. 1.
- Utilizando la aproximaci´on cuadr´atica, L ( 1. 1 ) ≈ 1. 1 − 1 −
( 1. 1 − 1 )^2 , esto es, L ( 1. 1 ) ≈
- 1 −
( 0. 1 )^2 = 0. 1 −
, esto es, L ( 1. 1 ) ≈
TASAS DE VARIACI ´ON
En Econom´ıa, se interpreta la derivada como tasa de variaci ´on. Supongamos una cantidad y que se relaciona con una cantidad x , de la forma y = f ( x ). Si x cambia de un valor a a un valor a + h , la funci´on f ( x ) cambia de un valor f ( a ) a un valor f ( a + h ).
- Se define la tasa media de variaci´on de una funci´on f en el intervalo [ a , a + h ], como el cociente: f ( a + h ) − f ( a ) h
- Se define la tasa instant´anea de variaci´on de una funci´on f en a , como el l´ımite cuando h → 0 de la tasa media de variaci´on de la funci´on f , es decir,
f ′( a ) = lim h → 0
f ( a + h ) − f ( a ) h
- Se define la tasa proporcional de variaci´on de una funci´on f en a como
f ′( a ) f ( a )
A veces, la tasa proporcional de variaci´on, se da de forma porcentual, es decir:
f ′( a ) 100 f ( a )
AN ´ALISIS MARGINAL
Consideramos una empresa que produce un determinado bien, en un periodo de tiempo dado. Deno- tamos: CT ( x ) = coste total de producci´on de x unidades. IT ( x ) = ingreso total, por la venta de x unidades. B ( x ) = beneficio total por la producci´on (y venta) de las x unidades. Recordemos algunos conceptos:
- Definimos Coste total medio , como lo que cuesta a la empresa una unidad de producto fabri- cado, es decir, CT Me =
CT ( x ) x
- Definimos Ingreso total medio , es el ingreso que obtiene la empresa, por unidad de producto fabricado (vendido), es decir, IT Me =
IT ( x ) x
- Bienes normales, si Er > 0.
- Bienes inferiores si Er < 0.
- Bienes de lujo, si Er > 1.
- Bienes necesarios, no de lujo, si 0 < Er < 1.
BIBLIOGRAFIA
- Sydsaeter, K. Matem´aticas para el An´alisis Econ´omico. Prentice Hall. 1996.
- Moch´on, F. Principios de Econom´ıa. Mc Graw Hill. 4 a^ ed. 2010.
