Apunts de C`alcul
Tema 5. Nombres complexos
Lali Barri`ere, Josep M. Olm
Departament de Matem`atica Aplicada 4 - UPC
Enginyeria de Sistemes de Telecomunicaci´o
Enginyeria Telem`atica
EETAC
C`alcul (EETAC-UPC) Tema 5. Nombres complexos 1 / 22
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Apunts sobre Cálculo de Nombres Complexos (Tema 5), Diapositivas de Cálculo para Ingenierios
Documento que presenta apuntes sobre el tema de cálculo de nombres complexos, específicamente sobre la parte relacionada con la representación binomia, forma exponencial, propiedades, operaciones y raíces n-ésimas de números complejos.
Tipo: Diapositivas
2018/2019
1 / 22
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Apunts de C`alcul
Tema 5. Nombres complexos
Lali Barriere, Josep M. Olm Departament de Matematica Aplicada 4 - UPC
Enginyeria de Sistemes de Telecomunicaci´o Enginyeria Telem`atica EETAC
Continguts
Continguts
5.1 La unitat imagin`aria
5.2 Forma binomica d’un complex Definici´o Operacions en forma binomica
5.3 El pla complex
5.4 Forma exponencial d’un complex Definici´o Operacions en forma exponencial F´ormules trigonom`etriques
5.5 Arrels n-`esimes d’un complex
5.1 La unitat imagin`aria
Arrels quadrades de nombres negatius: la unitat imagin`aria
I (^) Observem: (^) √ −2 =
i el mateix raonament serviria per a qualsevol altre nombre negatiu. I (^) Per tant, si coneixem (^) √ − 1 , podem calcular l’arrel quadrada de qualsevol nombre negatiu. I (^) Definici´o. Anomenem l’arrel quadrada de − 1 unitat imagin`aria. La representem amb la lletra j. Aix´ı:
j =
I (^) De la definici´o es dedueix que: j^2 = − 1 Utilitzant j, totes les equacions de segon grau tenen soluci´o.
5.1 La unitat imagin`aria
Solucions d’equacions de segon grau
Exemple I (^) Fins ara, l’equaci´o x^2 − 4 x + 13 = 0 no t´e solucions (reals). Les solucions haurien de ser
x =
que no existeixen perqu`e a R no existeix l’arrel d’un nombre negatiu. I (^) A partir d’ara, podem resoldre l’equaci´o (a C):
x^2 − 4 x + 13 = 0 ⇔ x =
2 = 2^ ±^3 ·
− 1 ⇒ x = 2 ± 3 · j
5.2 Forma bin`omica d’un complex Definici´o
5.2 Forma bin`omica d’un complex
Un nombre complex en forma bin`omica ´es un nombre de la forma
z = a + b · j, amb a, b ∈ R
I (^) a ´es la part real de z: Re(z) = a. I (^) b ´es la part imagin`aria de z: Im(z) = b. I (^) Si Re(z) = 0, aleshores z = b · j. Diem que z ´es imaginari pur. I (^) Si Im(z) = 0, aleshores z = a i z ´es real. I (^) Donat z = a + b · j, el conjugat de z ´es
¯z = a − b · j
Escrivim C per designar el conjunt dels nombres complexos Es compleix
R ⊂ C
5.2 Forma binomica d’un complex Operacions en forma binomica
Suma, producte i divisi´o
I (^) Donats z 1 = a + b · j i z 2 = c + d · j:
z 1 + z 2 = (a + c) + (b + d) · j z 1 · z 2 = (ac − bd) + (ad + bc) · j
I (^) Es compleix z = a + b · j ⇒ z · z¯ = (a + b · j) · (a − b · j) = a^2 + b^2. I (^) Donats z 1 = a + b · j i z 2 = c + d · j:
z 1 z 2
= z^1 z 2
· z¯^2 z ¯ 2
= · · · = ac^ +^ bd c^2 + d^2
- bc^ −^ ad c^2 + d^2
· j
Dividir dos nombres complexos ´es, en realitat, racionalitzar un trencat. Exercici 2. Donats z 1 = 2 − 3 j i z 2 = 5 + 4j, calcular z z^12.
5.3 El pla complex
5.3 El pla complex
Representaci´o gr`afica de nombres complexos I (^) Els nombres reals es representen a la recta real, R. I (^) Al nombre complex complex z = a + b · j li podem fer correspondre el punt del pla de coordenades cartesianes (a, b).
I (^) El conjunt de tots els complexos, representats com a punts del pla, rep el nom de pla complex, i s’identifica amb R^2. Exercici 4. Representar en el pla complex: 1 + j, 2 − 2 j, j, − 4 j, −1 +
3 j, − 3
5.3 El pla complex
M`odul i argument d’un complex z = a + b · j
I (^) |z| =
z · z¯ =
a^2 + b^2 ´es el m`odul de z. I (^) arg(z) = arctan (^ ba^ )^ (+π si a < 0) ´es l’argument de z.
I (^) L’argument d’un complex no ´es ´unic: arg(z) ≡ arg(z) + k · 2 π, k ∈ Z. I (^) L’argument principal de z ´es el que compleix 0 ≤ arg(z) < 2 π.
α−2π
α+2π
α
5.3 El pla complex
Exercicis
I (^) Exercici 5. Trobar el m`odul i l’argument de: 1 + j, 2 − 2 j, j, − 4 j, −1 +
3 j, − 3 I (^) Exercici 6. Expressar en forma binomica, representar graficament i trobar el m`odul i l’argument: 1 + j 1 − j ,^
2 − j
1 + j ,^
(1 + j)^2 1 − j ,^ (1^ −^ j)
4
5.4 Forma exponencial d’un complex Definici´o
F´ormula d’Euler i forma exponencial
I (^) F´ormula d’Euler. Nombre complex de m`odul 1 i argument α:
eαj^ = cos α + j · sin α I (^) Forma exponencial d’un nombre complex Si z = a + b · j, amb |z| = R i arg(z) = α: z = a + b · j = R · (cos α + j · sin α) = R · eαj
Forma bin`omica Forma exponencial
a + b · j → R =
a^2 + b^2 α = arctan b a
(+π, si a < 0 )
a = R · cos α ← R · eαj b = R · sin α
5.4 Forma exponencial d’un complex Operacions en forma exponencial
Exercicis
I (^) Exercici 7. Demostrar que ejπ^ + 1 = 0. I (^) Exercici 8. Representar graficament i trobar el modul i l’argument: ej^
π 2 , ej^
π 2 , −jej^
π 3 , − 2 ej^
π 3
I (^) Exercici 9. Donar el resultat en forma bin`omica i en forma exponencial: 5 j^23 + 2j^13 , (1 + j)^53 , 1 + 2j 2 − j
· e
π 3 j , 2 e
− π 3 j(1 − j) 2 (1 + j)e π^6 j
5.4 Forma exponencial d’un complex F´ormules trigonom`etriques
Forma exponencial i relacions trigonom`etriques
A partir de la forma exponencial del nombres complexos i de les propietats de les potencies, es poden deduir anal´ıticament diferents relacions trigonometriques I (^) e(α+β)j^ = eαj^ · eβj^ ⇒
cos(α + β) + j sin(α + β) = (cos α + j sin α) · (cos β + j sin β) =
= cos α cos β − sin α sin β + j(sin α cos β + cos α sin β) I (^) enαj^ = (eαj)n^ ⇒
cos nα + j sin nα = (cos α + j sin α)n
I (^) eαj^ = cos α + j sin α, e−αj^ = cos α − j sin α ⇒
cos α =
eαj^ + e−αj
, sin α =
2 j
eαj^ − e−αj
5.5 Arrels n-`esimes d’un complex
5.5 Arrels n-`esimes d’un complex
Si z = R · eαj, volem calcular n
z, amb n ∈ N, n 6 = 0. I (^) Volem trobar els nombres complexos w = S · eβj^ que compleixen w = n
z, ´es a dir, wn^ = z. I (^) Observem: w = n
z ⇐⇒ wn^ = z ⇐⇒ (S · eαj)n^ = R · eαj^ ⇐⇒ Sn^ · enβj^ = R · eαj I (^) A m´es: α = arg(z) ≡ arg(z) + k · 2 π = α + k · 2 π, k ∈ Z. I (^) Aix´ı, w = n
z ⇐⇒ Sn^ · enβk^ j^ = R · e(α+k·^2 π)j I (^) Per tant, les arrels buscades s´on els nombres complexos S · eβj^ tals que Sn^ = R ⇐⇒ S = n
R
nβk = α + k · 2 π ⇐⇒ βk = α^ +^ k^ ·^2 π n
, k ∈ Z
Hi ha un nombre infinit de possibles valors per a k!!!
5.5 Arrels n-`esimes d’un complex
Observaci´o
Fem variar k en Z per a trobar tots els possibles valors de βk. I (^) Per a k = 0,... , n − 1 , tots els βk donen valors de w diferents:
β 0 =
α n β 1 =
α + 2π n =^
α n +
2 π n
... βn− 1 = α^ + (n^ −^ 1)^ ·^2 π n
= α n
- (n^ −^ 1)^ ·^2 π n I (^) Altres valors de k donen βk diferents per`o no nous valors de w.
βn = α^ +^ n^ ·^2 π n
= α n
- 2π = β 0 + 2π
βn+1 =
α + (n + 1) · 2 π n =^
α n +
2 π n + 2π^ =^ β^1 + 2π
... Nom´es 0 ≤ k < n donen valors de l’arrel diferents!!!