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ESTADÕSTICA II
Control 1 (Octubre 2016) - DuraciÛn: 1 hora 45 minutos
APELLIDOS: ...................................................NOMBRE:.......................... GRUPO:............................
NOTA: Se adjunta una tabla con resultados obtenidos con Gretl que pueden serte ˙tiles. Si necesitas alg˙n resultado que no encuentras en dicha tabla, expresa la correspondiente soluciÛn en tÈrminos de probabilidades y/o puntos crÌticos de una variable aleatoria binomial, normal est·ndar, Chi cuadrado o t de Student.
Pregunta 1: Sea X 1 ; X 2 ; X 3 ; X 4 una muestra aleatoria simple (m.a.s.) de una variable aleato- ria (v.a.) X N (0; 1). Explica cÛmo a partir de X 1 ; X 2 ; X 3 ; X 4 se puede obtener: a) (0.75 puntos) Una v.a. Chi-cuadrado con 2 grados de libertad. b) (0.75 puntos) Una v.a. t de Student con 2 grados de libertad.
Pregunta 2: En una determinada ciudad la cuota por contribuyente del impuesto sobre bienes inmuebles, en euros, es una v.a. X que sigue una distribuciÛn normal de media 500 y desviaciÛn tÌpica 20. Se toma una m.a.s. de tamaÒo 9 de la v.a. X. a) (0.5 puntos) Calcula la probabilidad de que la media muestral sea mayor de 510 euros. b) (0.75 puntos) Calcula la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea mayor de 40 = 3 euros. c) (0.75 puntos) Explica cÛmo se calcula con ayuda de Gretl la probabilidad de que la varianza muestral sea menor de 136 : 63 euros cuadrados. d) (0.5 puntos) Determina la constante k de modo que se tenga una probabilidad de 0 : 10 de que la desviaciÛn tÌpica muestral sea mayor que k.
Pregunta 3: Sea X 1 ; X 2 una m.a.s. de una variable aleatoria X con media y varianza ^2. Para estimar se consideran los tres estimadores siguientes:
b 1 = X; b 2 = 0: 1 X 1 + 0: 9 X 2 ; b 3 = 0: 5 b 1 + 0: 5 b 2 ;
donde X denota la media muestral. a) (0.5 puntos) Estudia si los estimadores b 1 ; b 2 y b 3 son insesgados. b) (0.75 puntos) øCu·l de los tres estimadores es m·s eÖciente? øPor quÈ?
Pregunta 4: El n˙mero de artÌculos defectuosos de un lote es una v.a. X con funciÛn de probabilidad fX (0) = 0: 9 , fX (1) = 0: 06 , fX (2) = 0: 04 : Se extrae una m.a.s. de 100 lotes. a) (0.75 puntos) Calcula aproximadamente la probabilidad de que la media muestral de la v.a. X sea menor de 0 : 185 : b) Si un lote se considera excelente si tiene cero artÌculos defectuosos: b1) (0.1 puntos) øCu·l es la probabilidad de que un lote sea excelente? b2) (0.5 puntos) Calcula aproximadamente la probabilidad de que la proporciÛn mues- tral de lotes excelentes sea superior a 0 : 945. b3) (0.4 puntos) øEs adecuada la aproximaciÛn obtenida en b2)? øPor quÈ?
Pregunta 5: El ·rea de la base de los pinos de un bosque, medida en decÌmetros cuadrados, es una v.a. X que sigue una distibuciÛn normal. Se extrae una m.a.s. de tamaÒo n de la v.a. X. a) SupÛn que n = 10; que la media muestral es 15 y que la varianza muestral es 0 : 2 : a1) (0.5 puntos) Calcula un intervalo de conÖanza para el ·rea media de la base de los pinos con nivel de conÖanza del 90%. a2) (0.5 puntos) Calcula un intervalo de conÖanza para la varianza del ·rea de la base de los pinos con nivel de conÖanza del 90%. b) (1 punto) SupÛn ahora que la varianza poblacional del ·rea de la base de los pinos es 0 : 25 y que se puede elegir elegir el tamaÒo de la muestra n: øCÛmo debe ser n para que la amplitud del intervalo de conÖanza para la media con nivel de conÖanza del 95% sea inferior a 0 : 3?
Pregunta 6: øSon las siguientes aÖrmaciones verdaderas o falsas? JustiÖca tu respuesta. a) (0.5 puntos) Si, para una muestra dada, el intervalo de conÖanza para la varianza poblacional con nivel de conÖanza del 95% ha resultado ser (9; 16); entonces la probabilidad de que la varianza poblacional estÈ en el intervalo (9; 16) es 0 : 95 : b) (0.5 puntos) Si en una m.a.s. de 1000 conductores se encuentra que 60 dan positivo en el test de alcoholemia, entonces el intervalo de conÖanza aproximado al 95% para la proporciÛn poblacional de conductores que dan positivo en el test de alcoholemia es (0.0396,0.0804).
Anexo. Tabla de probabilidades y de puntos crÌticos.
k 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2. P (Z > k) 0.5 0.3085 0.1587 0.0668 0.0228 0.
^2 1; ^2 2; ^2 8; ^2 9; ^2 10; t4; t8; t9; t10; z 0.01 6.6349 9.2103 20.0902 21.6660 23.2093 3.7469 2.8965 2.8214 2.7638 2. 0.025 5.0239 7.3778 17.5345 19.0228 20.4832 2.7764 2.3060 2.2622 2.2281 1. 0.05 3.8415 5.9915 15.5073 16.9190 18.3070 2.1318 1.8595 1.8331 1.8125 1. 0.1 2.7055 4.6052 13.3616 14.6837 15.9872 1.5332 1.3968 1.3830 1.3722 1. 0.9 0.0158 0.2107 3.4895 4.1682 4. 0.95 0.0039 0.1026 2.7326 3.3251 3. 0.975 0.0010 0.0506 2.1797 2.7004 3. 0.99 0.0002 0.0201 1.6465 2.0879 2.
V ar(b 2 ) = 0: 12 V ar(X 1 ) + 0: 92 V ar(X 2 ) = 0: 01 ^2 + 0: 81 ^2 = 0: 82 ^2
Para calcular la varianza de b 3 , primero expresamos b 3 como combinaciÛn lineal de las v.a. X 1 y de X 2 que son independientes, obteniendo b 3 = 0: 3 X 1 + 0: 7 X 2 ; por lo que
V ar(b 3 ) = 0: 32 V ar(X 1 ) + 0: 72 V ar(X 2 ) = 0: 09 ^2 + 0: 49 ^2 = 0: 58 ^2 :
El estimador m·s eÖciente de los tres es b 1 ; ya que los tres son insegados, y V ar(b 1 ) < V ar(b 3 ) < V ar(b 2 ):
Pregunta 4: a) La esperanza de la v.a. X es E(X) = 0 0 :9 + 1 0 :06 + 2 0 :04 = 0: 14 ; y la varianza de la v.a. X es V ar(X) = E(X^2 ) E(X)^2 = 0^2 0 :9 + 1^2 0 :06 + 2^2 0 : 04 0 : 142 = 0: 2004 : Como n = 100 es un tamaÒo muestral grande, por el teorema central del lÌmite resulta que
X 0 : 14 p 0 : 2004 = 100
X 0 : 14
' N (0; 1):
En consecuencia,
P (X < 0 :185) = P (
X 0 : 14
) ' P (Z < 1 :005) ' P (Z < 1)
= 1 P (Z > 1) = 1 0 :1587 = 0: 8413 :
b1) La probabilidad de que un lote sea excelente es p=fX (0) = 0: 9 : b2) Si denotamos la proporciÛn muestral de lotes excelentes por bp; la esperanza de bp es E(pb) = p = 0: 9 y la varianza de pb es
V ar(pb) =
p(1 p) n
Como n = 100 es un tamaÒo muestral grande, por el teorema central del lÌmite resulta que
bp 0 : 9 0 : 03
' N (0; 1)
En consecuencia,
P (p >b 0 :945) = P (
pb 0 : 9 0 : 03
) ' P (Z > 1 :5) = 0: 0668 :
b3) La aproximaciÛn obtenida en b2) es adecuada ya que np(1 p) = 100 0 : 9 (1 0 :9) = 9 es mayor que 5.
Pregunta 5: a1) Como la poblaciÛn es normal y la varianza poblacional es desconocida, el intervalo de conÖanza para la media poblacional con nivel de conÖanza del 90% usa t9;0: 05 = 1: 8331 y es
(X 1 : 8331
p 0 : 2 p 10
; X + 1: 8331
p 0 : 2 p 10
a2) Para construir el intervalo de conÖanza con nivel de conÖanza del 90% para ^2 debemos utilizar ^29 ; 0 : 05 = 16: 9190 y tambiÈn ^2 9;0: 95 = 3: 3251 : Como la varianza muestral es S^2 = 0: 2 ; el intervalo de conÖanza para ^2 con nivel de conÖanza del 90% es:
9 16 : 919
S^2 ;
S^2
b) Suponiendo que la varianza poblacional es conocida e igual a 0.25, la amplitud del intervalo de conÖanza para con nivel de conÖanza del 95% construido con n observaciones es
Amplitud = 2 1 : 96
p 0 : 25 p n
La condiciÛn que queremos conseguir es Amplitud < 0 : 3 ; que equivale a:
p 0 : 25 p n
p n
p n =) 42 : 64 < n
Por tanto, el tamaÒo muestral n ha de ser igual o superior a 43.
Pregunta 6: a) La varianza poblacional es un n˙mero no aleatorio desconocido, y no podemos saber si dicho n˙mero no aleatorio est· o no dentro del intervalo no aleatorio (9,16), de manera que la probabilidad de que la varianza poblacional pertenezca al intervalo (9,16) ser· 0, si el intervalo no contiene la varianza poblacional, o 1, si el intervalo (9,16) contiene la varianza poblacional, pero en cualquier caso dicha probabilidad no es 0.95. Por tanto, la aÖrmaciÛn es FALSA. El que hayamos construido el intervalo de conÖanza con nivel de conÖanza del 95% indica que, si pudiÈramos obtener muchas muestras aleatorias simples, y con cada una de ellas obtuviÈramos el correspondiente intervalo de conÖanza, un 95% de los intervalos construidos de esta forma contendrÌa a la varianza poblacional y un 5% de los intervalos construidos no contendrÌan a la varianza poblacional. b) Como el tamaÒo muestral es grande, el intervalo de conÖanza aproximado basado en el teorema central del lÌmite para la proporciÛn poblacional p de conductores que dan positivo en el test de alcoholemia proporcionar· una aproximaciÛn adecuada. Para calcular el intervalo de conÖanza aproximado para p con nivel de conÖanza del 95% usamos z 0 : 025 = 1: 96 : La proporciÛn muestral de conductores que dan positivo en el test de alcoholemia es pb = 60=1000 = 0: 06. Por tanto, el intervalo de conÖanza para p con nivel de conÖanza aproximado del 95% es:
(pb 1 : 96
p 0 : 06 (1 0 :06) p 1000
; pb + 1: 96
p 0 : 06 (1 0 :06) p 1000
Este intervalo es distinto del intervalo (0.0396,0.0804), por lo que la aÖrmaciÛn es FALSA.
