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Tesadacion AAA 3 Hemos "Profes - Mowvtes y Medemoticas / Gnomos > E " Formolas . Tesgutas + E-croal - Calevlodora EJEMPLO 1.1 [Eapitalizag] mover Ún capitai hacía la_ ¡erecna EJEMPLOS 1.2, 1.3 ! p 1 l ' j i EJEMPLOS 1.4, 1.5 j il EJEMPLOS ¡ 16,1.7 l ! EJEMPLOS 1.3, 1.9 l TEMA 71: CONCEPTOS BÁSICOS. OPERACIONES FINANCIERAS SIMPLES | a Capital financiero (C,f): Cuantía positiva en uba disponibilidad o vacio t Operación financiera: intercambio de capitales financieros - — Prestación (P): lo que entrega el acreedor (o prestamista) + Contraprestación (CP): lo que devuctye el deudor (o prestatario) e A dl $ (0, 0) do, 5 £ va (ÓN a cambio de 2D Mos Operación financiera simple: P y CP únicos, como tin préstamo simple yA Ley financiera: acuerdo entre las partos (100 9) rv cdo, 2 Se basan cn cl comportamiento racional de los AS: > "S Le € e lua DS y (Ez, 0) — (Cy, 11): los dos capitales son financieramente equivalentes de acuerdo a la ley financicra [ E ds $ (100,0) L E) Íd = En — Cy: cantidad de interés de la operación 2= : rédito de capitalización «Ta 190-1007 $0 € pa TD. 2% = £: tanto o tipo de interés de capitalización o” o sí Ley financiera de e: italización simple: pue E: lanto de interés simple mass rre A 4 4 j : % Re ¿deben estar eu la misma unidad de tiempo 1 La gráfica de la cap. simple es una recta (los intercscs no se acumulan al capital para 1 producir más intereses = los intereses de cada periodo son iguales) 3, Aplicable en operaciones a corto plazo Año comercial (360 días) vs Año civil (365 días) s Ley fin, de cap ii a yo rada l: tanto (o tasa o tipo) de interés compuesto (o e cotivo) PEN Citas (o sebo La gráfica de la cap. compuesta es una exponencial (dos intercses de cada período se acumulan al capital para producir nuevos intereses ” los intereses de cada periodo van creciendo) Tantos equivalentes: aplicados sobre el mismo capital inicial durante el mismo tiempo producen el mismo capital final 31 = número de subperíodos = número de veces que los intereses se acumulan al capital para producir nuevos intereses dentro del año Interés simple (muy Ss 4 "4, donde i es el tanto anual e ¿¿ el tanto trimestral Interés compuesto| i MES 9 rrlóio: Cn Co aa, CA, Tanto nominal (7, ) vs Tanto efectivo (i) [ Í a mp oo nomad eo a jala, sm, » acwolronia mensual” n todas las Tormulas € leyes financieras compuestas | utilizaremos tantos efectivos (1), nunca nominales (3) 11 e Descontar| mover un capital hacia la “zquierda A Y s La misma fórmula que? cap. simple pero moviendo el capital hacia lá izquierda EJEMPLOS 1,101.11 EJEMPLO 112 EJEMPLO 1.13 (Problema nivel examen) Definición de logaritmo. Logaritmo y exponencial son operaciones inversas Necesaria para poder despejar “1” en cap. compuesta A a, $ Pasos de 10M Eq ene Eres Don = Cy — Eg : cantidad de descuento de la operación e E 200 € ho 222 > médito de descuento No dan qu El 90 € doy Do * D= [0000-2000 = 1000 ral = d: tanto o tipo de descuento - Do. 19001 qn AA Sa 109, ¿2.1 + Ley financiera de descuento simple com Dd) Gro A mí e: tanto de descuento simple comercial - env % y di deben estar en la misma unidad de tiempo Aplicable en operaciones a corto plazo. e Leyfinanciera de descuento si; En los problemas, es muy importante medir tanto la rentabilidad que obtiene el prestamista como el coste que supone para el prestatario —= tanto de interés anual efectivo £1) TT er NS Y ANEXO MATEMÁTICO: PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS —* / log,b=x <> ai =b A A log, (x- y)=1l08, x +log, y NN + log, (x2/y)=log, x—log, y / log, (4) =y-log, x 7) 10. Una empresa descuenta hoy una letra de 1900 £ con vencimiento a 2 años y un tanto de interés del 10% anual efectivo. ¿Qué importe recibe? , o 1000 Waters ARÍRS S can comnasTA Cas Co (140) 2 46 ENS , 11 Una letra 49] nominal 40% y vencimiento a 9 meses se descuenta en el banco, obicniendo 32 e 2 7 Habiendo aplicado descuento simple comercial, ¿cuál fuc el tanto de descuento? e DEC OÁE Geral Cy GTI den) a o E rta dee si ade ll Sá eg) Co 02% 22084 simple en d A Necesitamos descontar una letra de cambio de nominal 1000 € E y vencimiento dentro de 3 meses. ¿Es mejor aplicar un tanto de descuento efectivo anual del 29%, un tanto de interés efectivo anual del 25, un tanto de descuento simple E semestral del 10% o un tanto de interés nterés simple bimensual EN a EE a 076000) a Le tom oro A AY ga My a le O a sn. La a 2 AMOOAL to a 13. Se concierta un préstamo simple a dos años de importe 10.000 £ a un interés" anual del 10% con o 32 0: 125 » ds 00 Sade e (¿0005 smpe > NCS0É Re reconocimiento semestral de intereses: a) Calcule el capital a reembolsar b) Calcule la rentabilidad anual efectiva de la operación e) Supuesto que la operación lleva aparejados los siguientes gastos para el prestatario: - AL INICIO DE LA OPERACIÓN: Comisión de apertura del 2% del capital prestado (a favor del prestamista) + Gastos registrales de 150 euros - ALFIMAL DE LA OPERACIÓN: Gastos registrales de $0 euros Calcule la rentabilidad anual efectiva para el prestamista y el coste financiero para el prestatario y ama del OÍ 00 [economia Mo emestol de ms EN y CA, COM PLESTA ») >) Ceamobm 100 0 RAS $e - O PESIETARO 12900 MA RoO Lose Ea PG PUES L (1s1- ato» ? (Pati= OR 8. 9, Bis A Pres hood o O Un artículo costaba sin IVA 887 euros. Rebajan su precio un 20%. sabiendo que el IVA aplicable es del 18%? Tema 1. Ejercicios Un joven empresario pide un préstamo a sus padres por importe de 899,000 euros. Pasado un año les devuelve 932,407 euros, ¿Qué tasa de interés anual ha pagado? Calcular su precio f nal Ae) - Pero Prercal Un artículo rebajado cuesta 40 euros. Sabiendo que tenía una rebaja del 20%, ¿cuál era su precio n Plena Vacas” Una empresa de 538 empleados ha pagado un bono a 418 de ellos. ! e Alise Leño da lo asma CAP. SIMPLE oy 1 E 30 amas qu empleados ha recibido el bono? 50 COR COMPUESTA Un automóvil que inicialmente costaba 12.000 euros increraentó su precio en un 4397616%. Er OUPACI6 = 2000 LOReaSIG Gh QUAD > “0 00€ RENE chris ¿Qué porcentaje de ASUA de 08 ervieodos tor. SS do a boo Tste año pago por el alquiler 770 euros y sé que me Jo han bajado un 11%. ¿Cuánto pagaba el año pasado? 2 Mr « 4 bres? col 039 del + 20 En una farmacia venden cierto artículo por 60 euros. Sabiendo que el TVA aplicado al producto es del 4%, ¿cuál es el precio sin IVA del producio? don > da DO? qa = so 2 a de su precio total. Sabiendo que el IVA es del 8%, ¿cuánlo tendremos que pagar por él, si BOZ llevamos receta? 2) a Pen iva? Yoo ya POB Un establecimiento vendía un producto por 531 euros, En cnero lo rebajó un 15%, vo Y 0 don Un medicamento costaba, sin IVA, 88 euros. Con una receta médica sólo debemos pagar el 60% (59) coM eS 0% EN ; 250% , En Febrero lo rebajó nuevamente un 10% y en marzo lo volvió a rebajar un 10%. ¿Cuál es el precio fina] tras las tres rebajas sucesivas? - e De cowo “Ps mp LIE 3 acometen a la vez. La rentabilidad obtenida con A es beralar y ES-000- 190) po U ¿£0-035:0S ! rolas 351324 ¿Cuánto costará con IVA -030- touelss , oro: 10. Un inversor tiene C evros que destina a acometer dos inversiones (A y B). La inversión A la del 83% anual, Begando a un montante final de 127 euros. Calcular el montante final total sabiendo que la rentabilidad de B es del 9 1% anual año da lo mimo US DA e 4 Cp | > E A SY o Y e E 1083 IS an ¿A qué tipo de interés se prestaron 124.000 € si en 5: años produjeron 49.600 € de interés? IAS O HAEDO te 4 AR EoO Mi] Pp AN 1 OA = SII on efe vo TOS ore Ll. Un: Capital ha producido 13,800 € de interéses calculados por año comercial. ¿A cuánto hubiesen A 5 ascendido calculados por año civil? > Ca, SIMPLES 260, La [Emsa de la CAROSIMPIE 5 Car CHO >) ” Loa era PRE yr O CA soto pe alt Ge Cen) a Ty (e £ € 113. Determinar el tanto anual efectivo que logra doblar el coi En 2: ados, ¿tkarto cra fe ho CAYORESTA ROA) EN a Me E e = 005918 = : 14, Se tienen dos deudas, uná de 2000 € que debe liqguidarse dentro de 3 meses y otra de 6000 € que se debe hacer efectiva dentro de 7 meses. Al no poder cfoctuar el pago de la que primero vence, se propone hacer un pago único dentro de 5 meses. ¿A cuánto asciende este pago si el tipo de interés pactado es del 7% simple anual? Simple a CARE (7 CA) DE SAMPLE ROCIOR EL e + Los 2% E qe lo a al de A 5 x- yan 7 on) Tabla ra a | ES 3 3 15. Un inversor desea invertir 100,000 € diránte S 9 A 'SCR dirige a dos etitidades financieras, a primera le ofrece un montante de 108.625 €, la segunda le ofrece un interés simple del 0,75% mensual, con un solo pago al cabo de 9 meses. ¿Qué decisión tomará el inversor? CN CEE) > $ e EEN 16. Tenemos! un capital spodible de dentro de 4 meses y cuyo válor a los 6 meses con sus intereses acumulados al 10% simple anual es de 24.400 €. Determinar cuál será su valor dentro de 10 meses. ya Ñ Ñ “nes ae Y OOPS IMLE GA A AAY a DES Espoo ES LO pe ROS 29800 A . o EN ¿ Ro MO3O ha a x o Z - A Ñ x o” E) 5 Ho 10 E 17. Un capital de 500.000 € colocados durante 5 años, se convierten en 805,255 €, ¿a qué tanto por ciento se impuso? : 0 18. Un capital prestado al $ 20%. en 4 años ha producido 296. 47575 € de intereses. capital prestado? 1 7 - BE 19. Pactamos con un acreedor que abonándole hoy 5 50.000 € a cuenta de 200.000 € que habíamos de pagarle dentro de dos años, podremos hacerle efcelivos 160.000 € dentro de cuatro años. ¿A qué tipo de interés compuesto se evaluó la operación? A Ac pr AA e ROM psa eO] Coop (cunoy pin un ¡ento a un año, por la que hoy nos darismemta ¡ón y amortización de 5 € y 1 €, mteriores. Calcular la rentabilidad de la letra efectivo de 950 €. Existen umos gastos de adqui respectivamente, no incluidos en las cantidad 61 y ru0g y >h obu8o) = Yesos Lecho QS anu e] i 21. Un capital de 5.000 € colocados a interés constante en capitalización compuesta durante u años se convierte en 8.052'55 €. ¿Cuál será el montante obtenido al capitalizar 15.000 € al mismo tanto durante 21 años? 22. Se capitalizan 100 € durante 4 años a interés compuesto. Se aplica un 8% efectivo anual los dos primeros años y un 12% efeclivo anual los restantes. Calcular el interés compuesto constante i con el que se hubiera conseguido cl mismo montante final ON O ROS De O CY A 4 MU) pm o lo) 23. Tres personas depositan en un bañco a interés compuesto 10.000 € cada una, que retiran separadamenic y con un año de diferencia, por lo que la última cobra 2,430 € más que la segunda y ésta 2,250 € más que la primera. ¿Tipo de interés efectivo de la operación y número de años que tardaron cada uno on retirar sus fondos? CS Moo > PAN E A CAY A a o ES EL om Ín a a deregiea 15928 6000 dodo lareia 12. 4 Un empresario dispone de una lcira de cambio a su favor de nominal 4500 euros y vencimiento dentro de 120 días que puedo descontar en su banco a un tipo de descuento simple comercial del 8% (aña comercial). En estos momentos decide descontar la letra. Con el 80% del efectivo recibido adquiere un paquete de acciones y el resto lo ingresa en una cuenta al tipo de interés simple del 4% anual, Al cabo de 120 días vende las acciones obteniendo una rentabilidad del 9% en interés simple anual. Calcular: 2) El montante obtenido en la cuenta al cabo de 120 días b) ¿Lo habría interesado al empresario no descontar la letra? Javier dispone de $000 curos en una cuenta de ahorro. Con parte de este dinero compra 5 Letras del Tesoro de nominal 1000 curos y vencimiento a un año, que ofrecen una rentabilidad del 4% efectivo anual. Con el resto del dinero contrata un depósito bancario con vencimiento a un año, que ofrece un tipo de interés efectivo anual del 5% el primer semestre y del 6% el segundo semestre. Calcular: a) Montante total que obtendrá Javier al cabo de un año (letras del tesoro y depósito) b) Rentabilidad efectiva de la operación (letras del tesoro y depósito) Alicia y Conchi compran, a partes iguales, una letra del tesoro de nominal 1000 euros y vencimiento a 1 año, por la pagan 900 euros. Al cabo de 3 meses, Alicia decide vender su parte a Conchi, manteniendo ésta última la letra hasta su vencimiento. Si la rentabilidad de Conchi por el total de la operación fue del 9% anual (cap. simple), ¿cuál es la rentabilidad que obtuvo Alicia los 3 primeros meses? . Un empresario necesita disponer de 100.000 euros. Para ello tiene que descontar una letra de su cartera de clientes de nominal 100,000 euros, vencimiento a 90 días (año comercial) en un banco que aplica un descuento simple comercial del 7% anual y cobra una comisión del 1% sobre el nominal. Además, solicita un préstamo por el importe necesario para conseguir el total de los 100.000 curos a un tipo de interés simple del 11% anual, a devolver en un solo pago a los 90 días a) Efectivo pagado por la letra (teniendo en cuenta los gastos) b) Cantidad a reembolsar por el préstamo e) ¿Le interesaría a esa persona no descontar la letra y solicitar el préstamo por el total de los 100.000 euros que necesita El Sr. Marcos compra al Sr. Monrobel un ordenador, para lo cual le entrega 600 euros cn efectivo y firma 3 letras de igual nominal N,y vencimientos a los 4,7, 10 meses, valoradas a un interés simple del 6% anual. Un mes más tarde, el Sr. Monrobel presenta al descuento estas letras en un banco que aplica un 55% de descuento simple anual y cobra una comisión del 1% sobre el nominal de dicha lerra, obteniendo por el 2887*S euros a) Calcular el nominal de las tres letras y el precio al contado del ordenador b) Siuna vez que llega el vencimiento de la primera letra y una vez pagada Ésta, el Sr. Monrobel le propusiera al banco sustituir las letras que le restan por una sola de nominal 2250 (con un tanto de descuento simple del 575%), ¿cuál seria el vencimiento de esta nueva letra? (sólo dejar planteada la equivalencia financiera, no resolver) Uxyrbarso $ hacen Ho Ex E SA EH ES EN SS SS OS e Q MA le SU tos SN la rentabilidad vá lá LS Ss ¿0 oSin: es d.efeétivo aval, Valcyldy: ¿bei dedierés hobrecido mor el: ¡CETRIRRO, Ne Serós AOREDI se] INEFOSO Jiduardo compra 20 Letras del Tesoro cn el mercado primario con vencimiento 18 meses y nominal 1000 cada una. Transcurridos 6 meses Eduardo le vende $ de estas Letras a Rosa por un total de C euros, proporcionándole una rentabilidad a Rosa del $% anual efectivo al mantenerlas hasta su vencimiento. Suponiendo que Eduardo mantiene el resto de las Letras hasta su vencimiento y que la rentabilidad media obtenida por él es del 6% anual efectivo, calcular; a) Ta cuantía C pagada por Rosa b) Precio que pagó por cada lcira Eduardo en el mercado primario Lag EN del 16. 17 22, 23, . Un individuo nes . Una letra del tesoro a 18 meses la adquiere el señor A por 932 € y la vende a los $ meses al señor B. Ambos juverscres soportan comisiones de adquisición (1*3 €) y amortización (0*8 €). Determinar la rentabilidad del señor A, sabiendo que la del scñor B ha sido del 4'81% efectivo anual A Se concede un préstamo de 242.000 € a reembolsar mediante un solo pago dentro de un año y 9 meses, al 88% efectivo anual. Existen unos gastos del 12% del principal del préstamo a abonar al inicio de la operación y Unos gastos de amortización de 608 €, Calcular el coste financiero para el prestatario Un inversor adquiere un solar por el que satisface el procio de adquisición y unos gastos que suponen el 10% de dicho precio. Transcurridos 3 años y dos meses vende el solar por un precio de venta doble que el precio de adquisición. Adicionalmente satisface unos gastos de venta que suponen el 5% sobre el precio de venta. Calcule la rentabilidad obtenida por el inversor expresada en tanto efectivo anual ita on automóvil y está pensando en adquirirlo, pero sabe que dentro de 3 una reducción de aranceles y el auto que desea reducirá su precio desde los 26.000 € que cuesta ahora hasta los 24.000 €. Durante estos 3 meses podría alquilar un auto similar por lo que pagaría hoy 2.500 €. ¿Qué opción es preferible si el coste del dinero para el individuo está en cl 20% efectivo anuad? . Lína persona invierte sus ahorros en dos productos financieros Á y B. Ebproducto A es un fondo en el que invierte hoy 3000 € al 7% simple anual. El producto B es un paquete de acciones que le reportará al cabo de un año 6500 € al 8% simple anual. 2) Calcular la cantidad invertida cn el paquete de acciones b) Sila persona necesita liquidez a los 9 meses de comenzar la operación y decide retirar el dinero, suponiendo que no le penalizan, ¿qué montante obtendrá? . Un inversor dispone de un capital de C € que consigue doblar en 10 años, Una sexta parte del capital se destina a bolsa, obteniendo por esta vía una rentabilidad del 16% anual. El resto se invierte en renta fija y proporciona una rentabilidad constante r, expresada en tanto efectivo anual. Calcular r Un capital € se invierte a un plazo de 2*6 años experimentando un incremento del 42% en ese período. Al vencimiento se asumen unos gastos del 2'5% sobre el montante alcanzado, Sabiendo que esos gastos son de 1963 €, determinar la rentabilidad que percibe el inversor Un inversor adquiere un piso por $96.000 €, pagando al contado. Transcurridos 12 meses adquiere otro por importe de 351.000 €, Pasados.eíees 24 meses más vende los dos pisos por un total de 1,167,043 €. Calcular la rentabilidad de la operación ES su AA, M 0 o o doo 1 MN Cayo Me 9 5 — es 10% 0n9 desd Ñ ets sine Ze NS Sip apowbr ( . Somos añ | + oa an ia? ! DESUSO O DOOR edo dl 0 6 CUENTA Ps ¿= 45 ele ona (5.om. Car Guy A los 6 meses, Eendremos en la centa Cas C ÓN Con ese dinero podemos csmpra? e AY de ona lebra de 1D Ey vetcimente 0. Ya eñ0 250 154 ERA pr, cra Año o ¡ A pa Ls rg amd efedhivo y 2%. com%. Cai O Cy) os Ye N 250 , 3502 cotas A og am € tous? 108 Cónelo que 1090esS e pone del toda en la csenta) Vomos a ver asta ao CORO debe gabe qeestado ago e 25%. lente de lo ra 250 2, LETRA A Xx Ko 0 4 rn ml ¿= Bf enval eleduo y eo. Om (ys Qe qui a 2502 0108) 3 128098 £ PRESTÓMO A a NG fro 0 j i2105 omo ebro SD coP.com Ca” 00) Ca= Par Y r_ aa 43:1105 + 255'99 € debe deyaluer el el yrástamo En espana, esta puUsona Adra Al 0% y medio lo jelca mea (oo o | caenos el qéntomo qe debe deuduer (258 2 €) | a) Gana get gueto. on, ven devucito el áásbomo = 1000 - 255 has : ZA € ula 10) vs cos. comp. Car ES) 2 la (0) Juiz A e) A A) 1] ma A > ! aia > 6/33 >) fi as” . 6247 efe Ena o Sar eedvo mo | | A ¿s 6í onal efec) C0Y.coMD. Cat Ge CH) ¿vos a es 122 qua o E cuesta cada ler, 1000 = vos ranemos, 45006 E =) PAÍS Emporio 43 lehtos au 40 sy UA elvas o dea cos castas ABAD Yuna Bo €. Nos queda en lo cotat 45000 7 gua gg + 6602 € JENTA LETRD e en PERLEDO SUABIRIO y Ms 3 la O 0 AL enval efec 5 CAS. O. Co 00) ; a/n 1090, s0= 4 Vd 2 ABUSE ese precio de Wila de 1 a cada Reta 25052 a) TA CO7. COM, Ñ «E 6604) mes 9 O 15032 > 3 NO: ON “3 pa — A ye 3h se 40. i hi EN RETO af Cu)" ao 993 lo clean led, b) cuenTa si a ms 3 A Cas la CM) Pa TA ES SS ¡65 efe onval 7 May rta verla e los 3 meses £n dolo! demos 663/20 + 69 - 95052 = USsaam € A enla cla alos 3 meses cento. laicas e) la compra delas letras le va qropramado vea entabilidad del 308% ele ono) meras ars lo Mabiese dejado la cla hobise demdo un 57. Sea anual =) Mejor Vobeilo mantendo en la. webo, E) LETRA A <50 comerga] s ES Y” de 30 Da o no a de 87 sample) dCSmLe comer (3 Gar [iden L= 4500-(1-003- ct) = 4390 € es lo y vale hay ha leia El EOÍ lo dedicamos a compar afanes; O Ap. 4390 + 2504 € El 20%. lo mgrasamos: es cena, 00-330: $6 € ACCIONES yO —+ 3504 Dio 0 120 a (9, segle am) COLE pz Cin Ca= 350% Crtolor. 29 Y 3609112 yo otto 22) 362 € MENTA erre LS Da 0 120 ga ¿7 Uf smple anal 5) COP SIMPLE Car O: (Ha) $ . ly. 120 1 Cas 336: Cttalos 2) 197832 
