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Cinemática
La Mecánica es la rama de la Física cuyo objeto de estudio es el movimiento. A su vez, está formada por dos ciencias: Cinemática : es la parte de la Mecánica que se encarga de estudiar el movimiento pero sin considerar las causas que lo producen. Dinámica : es la parte de la Mecánica que se encarga de estudiar el movimiento desde el punto de vista de las causas que lo producen, que son las fuerzas.
1. Movimiento
El movimiento es el cambio de posición de un objeto o cuerpo respecto a un punto, otro cuerpo u objeto que sirve como referencia a medida que pasa el tiempo. Como no existe ningún punto fijo o en reposo absoluto el movimiento se considera relativo porque un cuerpo estará en movimiento, o no, dependiendo del punto escogido.
Antes de seguir al concepto de movimiento y de estudiar las magnitudes que lo describen, necesitamos definir algunos elementos: punto material, sistema de referencia y trayectoria.
1.1. Punto material
Consideraremos punto material a cualquier cuerpo que se mueva, de tal manera que sus dimensiones son muy pequeñas en comparación con la distancia que se desplaza. Lógicamente, la masa de dicho cuerpo estará entonces concentrada en un punto en el espacio (llamado centro de gravedad o centro de masa). Tal situación no es real, sino que consiste en un modelo empleado para simplificar el estudio del movimiento.
1.2. Sistema de referencia
El sistema de referencia de un movimiento es el lugar desde el cual se observa dicho movimiento. En Física, cuando un punto material se mueve en el espacio, se escoge como sistema de referencia un conjunto de 3 ejes coordenados o cartesianos, de tal manera que el lugar en que se encuentre el objeto en cada momento queda perfecta- mente definido por las 3 coordenadas de un punto. Los sistemas de referencia pueden ser de 2 tipos: Sistemas de referencia inerciales : son aquellos que permanecen en reposo o que se mueven con velocidad constante. Únicamente en ellos se cumplen las leyes de la Dinámica (como veremos en el tema siguiente). Sistemas de referencia no inerciales : son aquellos que se mueven con una cierta aceleración. En ellos no se cumplen las leyes de la Dinámica.
1.3. Trayectoria
La trayectoria de un punto material que se desplaza con respecto a un sistema de referencia es la línea imaginaria que describe dicho punto mientras se desplaza de un lugar a otro. También puede definirse como el lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va tomando un punto material que se mueve en el espacio. En función de la forma de la trayectoria los movimientos pueden ser rectilíneos, circulares, parabólicos, etc.
2. Magnitudes del movimiento
Cualquier movimiento puede ser descrito, además de por el tiempo, por 3 magnitudes físicas: posición, velocidad y aceleración.
2.1. Posición y desplazamiento
La posición de un objeto es el punto en el que se encuentra en un instante dado en un sistema de referencia. La posición se determina mediante su vector de posición (r) que se define como el vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en la posición del móvil:
r = x ·i + y ·j + z ·k Unidad SI: m
Si el objeto se mueve el vector de posición cambia con el tiempo y lógi- camente sus coordenadas (x,y,z) cambian con el tiempo. Matemáticamente, esta dependencia se indica mediante las llamadas ecuaciones paramétricas del movimiento:
x = x(t) y = y(t) z = z(t)
⇒ Ecuaciones paramétricas del movimiento.
La expresión del vector de posición en función del tiempo recibe el nombre de ecuación de movimiento:
r(t) = x(t) ·i + y(t) ·j + z(t) ·k
Consideremos un objeto que se desplaza de una posición a otra; entonces, el extremo de su vector de posición también se desplazará a lo largo de la trayectoria que dicho objeto describe. Al vector que une las posiciones inicial y final se le llama vector desplazamiento ( Δr ), y al módulo o valor de dicho vector (distancia en línea recta que une las posiciones inicial y final) se le llama desplazamiento del punto material. Si r 0 y r son los vectores de posición inicial y final, el vector desplazamiento se calculará mediante:
Δr =r −r 0
La distancia recorrida, Δs, por un punto material en su movimiento es la distancia (expresada en m en el S.I.) que éste ha avanzado a lo largo de su trayectoria. No debemos confundir los conceptos de desplazamiento y de distancia recorrida, en general Δr = Δs. Ambas magnitu- des coincidirán únicamente cuando la trayectoria del objeto sea rectilínea y no exista retroceso. De hecho, en algunas situaciones un objeto puede recorrer una cierta distancia a lo largo de una trayectoria y tener un desplazamiento nulo (como sucede si la trayectoria es cerrada).
Con todo lo dicho hasta ahora, podemos dar una definición precisa del concepto de movimiento:
Un punto material se encuentra en movimiento cuando su vector de posición cambia con respecto a un sistema de referencia durante un cierto tiempo, recorriendo una determinada distancia a lo largo de una trayectoria.
2.2. Velocidad
Todo movimiento supone un cambio en la posición del móvil. Pero este cambio puede ser más rápido o más lento. La velocidad mide la rapidez de ese cambio.
La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el desplazamiento de un punto material con el tiempo que tarda en efectuar dicho desplazamiento.
2.2.1. Velocidad media
La velocidad media (vm) es una magnitud vectorial que mide la relación entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo empleado en realizarlo, es decir, es el desplazamiento medio que se realiza en la unidad de tiempo.
vm =
Δr Δt
r −r 0 t − t 0
Unidad SI: m/s
Del mismo modo que el vector desplazamiento, la velocidad media sólo tiene en cuenta los instantes inicial y final, independientemente de cómo haya sido el movimiento entre ambos instantes. Sólo nos da información sobre el promedio de velocidad en el intervalo. NO nos dice cómo se mueve en un instante concreto.
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2.5. Aceleracion instantánea
La aceleración instantánea, a, mide la aceleración en un instante de tiempo o en un punto de la trayectoria, es decir, mide cómo cambia la velocidad de móvil en cada instante, ya sea porque cambia su módulo (rapidez) o su dirección
a = l´ım Δt→ 0 a (^) m = l´ım Δt→ 0
Δv Δt
dv dt
d^2 r dt^2 Unidad SI: m/s^2
y teniendo en cuenta que v = vxi + vyj + v (^) zk:
a =
dv dt
dv (^) x dt
i + dv^ y dt
j + dv^ z dt
k = a (^) xi + a (^) yj + a (^) zk ⇒
Módulo: a =
a^2 x + a^2 y + a^2 z Dirección: depende del movimiento Sentido: depende del movimiento
2.6. Componentes intrínsecas de la aceleración
Cuando en un movimiento cambia la velocidad, puede ser porque cam- bie su modulo, su dirección, o ambas cosas. Podemos estudiar es- tos cambios por separado, descomponiendo la aceleración como la su- ma de dos componentes perpendiculares denominadas componentes in- trínsecas: aceleración tangencial y aceleración centrípeta (normal o ra- dial).
Aceleración tangencial (at )
La aceleración tangencial mide cómo cambia el módulo de la velocidad en el tiempo:
Dirección: tangente a la trayectoria en cada puntos. Sentido a favor del movimiento si aumenta la velocidad y en contra si disminuye. Módulo: derivada del módulo de la velocidad respecto al tiempo.
at =
dv dt Aceleracion normal o centripeta (ac)
La aceleración centrípeta mide cómo cambia la dirección de la velocidad en el tiempo:
Dirección: Radial, en la dirección del radio de curvatura. (Perpendicular al vector velocidad). Modifica la direc- ción del movimiento, indicando hacia dónde se desvía. NO modifica el módulo de la velocidad. Sentido: apunta hacia el centro de la curva. Módulo: a (^) n =
v^2 R
R: radio de curvatura.
Podemos expresar el vector aceleración de la manera siguiente:
a = at +a (^) n =
d |v | dt
·ut +
v^2 R
·un y su módulo a =
a^2 t + a^2 n
donde ut y u (^) n son vectores unitarios tangentes y perpendiculares a la trayectoria.
3. Tipos de movimiento
Clasificaremos los movimientos atendiendo a dos criterios:
Valores de a y v ⇒
a = 0
v = 0 ⇒ Reposo v = 0 y constante ⇒ Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
a = 0 y constante ⇒ Movimiento acelearado
v 0 y a = dirección: rectilíneo(MRUA) v 0 y a = dirección: curvilíneo a = constante ⇒ Movimiento variado
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Valores de at y a (^) n ⇒
at = 0
Rapidez constante. Movimiento uniforme (no tiene por qué ser rectilíneo) | a (^) n |= constante: movimiento circular uniforme (MCU) an = 0. Trayectoria recta. Movimiento rectilíneo (no tiene por qué ser uniforme). at y av variables. Movimiento variado.
4. Movimientos en una dimensión
Para estos movimientos:
El sistema de referencia se toma de manera que un eje coincida con el la trayectoria, normalmente el eje x. El vector de posición sólo tiene una componente y se puede eliminar el carácter vectorial. Si no cambia el sentido del movimiento el módulo del vector desplazamiento coincide con el espacio recorrido.
4.1. Movimiento rectilíneo uniforme
Este tipo de movimiento se caracteriza por:
Trayectoria : es una línea recta. Módulo de la velocidad: es constante. La velocidad instantánea y media coinciden. Dirección y sentido de la velocidad : son constantes. Aceleración tangencial : es nula, pues el valor de la velocidad es constante. Aceleración normal : es nula, pues la dirección y el sentido de la velocidad no cambian.
La ecuación de movimiento:
v =
Δr Δt
r −r 0 t − t 0
⇒ r =r 0 +v · (t − t 0 )
Si elegimos el eje X como dirección del movimiento:
r =r 0 +v · (t − t 0 ) ⇒ xi = x 0 i + vi · (t − t 0 ) ⇒ x = x 0 + v · (t − t 0 )
Gráficas del MRU
Las gráficas del MRU representan la posición, la velocidad y la aceleración en función del tiempo. Teniendo en cuenta la ecuación antes escrita, tendremos:
^ A^ tener^ en^ cuenta: La pendiente de la gráfica x-t es la velocidad. El área bajo la curva v-t en un intervalo de tiempo es el desplazamiento en este intervalo de tiempo.
4.2. Movimiento rectilíneo uniformente acelerado
Este tipo de movimiento se caracteriza por:
Trayectoria: es una línea recta. Aceleración tangencial: es constante (si es positiva, el movimiento es acelerado; si es negativa, el movimiento es decelerado o retardado) ⇒ Módulo de la velocidad es variable (aumenta o disminuye) de manera uniforme (variaciones del módulo de la velocidad iguales en tiempos iguales). La aceleración media coincide con la aceleración instantánea.
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Posición: y = y 0 + v 0 · t + 12 · a · t^2 Velocidad: v = v 0 + a · t Aceleración: a = ±g = ± 9 , 8 m/s^2
Ejemplo:
5. Movimientos en dos dimensiones.
5.1. Principio de superposición y de independencia
Existen muchas situaciones en que un objeto está sometido simultáneamente a 2 o más movimientos simultáneos. En tales casos, para estudiar el movimiento hay que aplicar el principio de superposición y de independencia:
Principio de independencia: en los movimientos compuestos por dos simples, la posición es independiente de cómo actúen los movimientos simples, simultáneamente o sucesivamente.
Principio superposición: si una partícula está sometida simultáneamente a varios movimientos elementales independientes, el movimiento resultante se obtiene sumando vectorialmente dichos movimientos parciales.
Por tanto: r =r 1 +r 2 + ... v =v 1 +v 2 + ...
5.2. Dos movimientos rectilíneos uniformes perpendiculares
Imaginemos una barca con la que el remero pretende cruzar el río perpendicularmente a las orillas. La barca es desviada por la corriente del río de manera que su trayectoria es una recta que forma un ángulo α con la orilla. El movimiento real de la barca está compuesto por:
Un MRU perpendicular a las orillas del río, debido al esfuerzo del remero. Un MRU paralelo a las orillas, debido a la corriente del río.
El movimiento resultante es otro movimiento rectilíneo y uniforme. Si colocamos el sistema de referencia con origen en el punto en el que se encuentra el móvil en el instante t=0, y el eje X coincidiendo con el río:
Velocidad: suma vectorial velocidades de los movimientos simples:
v = vx ·i + v (^) y ·j
v (^) x es la velocidad debida al río vy es la velocidad debida a los remeros ⇒ v =
v^2 x + v^2 y
Posición: suma de los vectores de posición de cada movimiento simple:
r =r (^) x +r (^) y = x ·i + y ·j
x = x 0 + v (^) x · t y = y 0 + vy · t ⇒ r =
x^2 + y^2
El módulo del vector de posición coincide con la distancia recorrida por el móvil. Trayectoria. Eliminando el tiempo de las ecuaciones de las posiciones X e Y obtenemos la ecuación de la tra- yectoria:
y =
vy vx
x
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5.3. Movimiento parabólico
El movimiento parabólico o tiro oblicuo tie- ne lugar cuando un objeto se lanza con una velocidad inicial v 0 que forma un cierto án- gulo α con la horizontal. Es un movimien- to en dos dimensiones de trayectoria pa- rabólica debido a la composición de dos movimientos rectilíneos, uno uniforme y el otro uniformemente variado.
Tomando el eje X para el MRU y el eje Y para el MRUA tendremos para este movimiento:
Aceleración, velocidad y posición.
a = a (^) y ·j = −g ·j, (El signo depende del sistema de referencia)
v = v (^) x ·i + v (^) y ·j
Eje X: MRU ⇒ v (^) x = v 0 x = v 0 · cosα
Eje Y: MRUA ⇒
v (^) y = v 0 y + a (^) y · t v 0 y = v 0 · senα
r = x ·i + y ·j
Eje X: MRU ⇒ x = x 0 + vx · t = x 0 + v 0 · cosα · t
Eje Y: MRUA ⇒ y^ =^ y^0 +^ v^0 y^ ·^ t^ +^
· ay · t^2
y = y 0 + v 0 · sen α · t +
· ay · t^2
Trayectoria. Es una parábola que se obtiene al eliminar el tiempo en las ecuaciones de las posiciones “x” e “y”:
y = x · tgα −
g 2 · v^20 · cos^2 α
· x^2
El tiempo de vuelo es el tiempo que el proyectil permanece en el aire. Para calcularlo, debemos de tener en cuenta que cuando el proyectil vuelve al suelo: y = 0. (Si cae a cierta altura pondremos esa altura).
El alcance máximo (xm ax´) es la distancia horizontal que el proyectil recorre en el tiempo de vuelo. Sustituimos el tiempo de vuelo en la ecuación de la componente horizontal “x”.
La altura máxima (ym ax´) se calcula teniendo en cuenta que, en dicho punto, la componente vertical de la ve- locidad es nula (vy = 0). Finalmente, sustituimos el valor calculado del tiempo en la ecuación de la posición vertical “y”.
Observar que la velocidad del objeto es siempre tangente a la trayectoria; mientras asciende, la componente vertical de la velocidad (vy) está dirigida hacia arriba y disminuye su valor; conforme desciende, aumenta su valor y se dirige hacia abajo. La componente horizontal (vx) permanece inalterable.
6. Movimiento circular
El movimiento circular se caracteriza porque su trayectoria es una circunferencia.
Tomando el centro de la circunferencia como punto de referencia, el vector de posición de la partícula gira cambiando cada instante de dirección y para facilitar el estudio del movimiento definimos las siguientes magnitudes:
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T =
2 π ω
Unidad: s
La frecuencia, f, es el número de vueltas (revoluciones) que el cuerpo da en la unidad de tiempo (1 segundo). Se mide en ciclos/s o Hertzios (Hz). Se relaciona con el periodo mediante la expresión:
f =
T
Unidad: s−^1 = Hz
6.2. Movimiento circular uniformemente variado (MCUV)
Sus características son las siguientes:
Trayectoria circular: circunferencia de radio R y aceleración angular constante (módulo de la velocidad varía uniformemente Velocidad angular: es variable (aumenta o disminuye). Aceleración tangencial: es constante (si es positiva, el movimiento es acelerado; si es negativa, el movimiento es decelerado o retardado). Aceleración normal: no es constante, pues el valor de la velocidad es variable.
Las ecuaciones de movimiento:
Velocidad angular: ω = ω 0 + α · t Posición angular:
ϕ = ϕ 0 + ω 0 · t +
α · t^2. Se puede obtener una tercera ecuación a partir de las dos anteriores: ω^2 = ω^20 + 2 · α · (ϕ − ϕ 0 )
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