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Apuntes Cinemática

Tecnologia Electroquímica (Universitat de Barcelona)

CINEMÁTICA

Cinemática es la parte de la física que se ocupa del estudio de las leyes que describen el movimiento de los cuerpos independientemente de las causas que los producen. Es decir, que la cinemática se ocupa de la descripción geométrica del movimiento sin preocuparse de las fuerzas que pueden provocarlo o modificarlo.

Conceptos básicos

Para poder entender y describir el movimiento de los cuerpos es importante definir los siguientes conceptos que se emplean en la cinemática.

Movimiento

Se dice que un cuerpo esta en movimiento cuando su posición con respecto a otro cuerpo tomado como referencia, cambia al transcurrir el tiempo.

Sistema de referencia

El reposo y el movimiento son conceptos relativos; esto es, dependen del cuerpo que se empleen como referencia. Por ejemplo, el chofer del taxi en movimiento, esta en reposo con respecto a uno de sus pasajeros, si la distancia entre ellos no cambia, pero esta en movimiento con respecto al poste, pues la distancia entre el poste y el chofer cambia (aumenta) al transcurrir el tiempo.

Para describir el movimiento de un cuerpo es necesario seleccionar un sistema de referencia. Es recomendable elegir aquel sistema de referencia que nos facilite la descripción del movimiento.

Partícula

Si observas atentamente el movimiento de cuerpo, como el de una pelota de futbol americano veras que esta gira sobre su propio eje mientras se desplaza.

La descripción de este tipo de movimiento es muy complicado. Las complicaciones pueden evitarse considerando a los cuerpos como partículas. Una partícula es un cuerpo de dimensiones muy pequeñas que tienen masa.

Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)

Existen varios tipos especiales de movimiento fáciles de describir. En primer lugar, aquél en el que la velocidad es constante. En el caso más sencillo, la velocidad podría ser nula, y la posición no cambiaría en el intervalo de tiempo considerado. Si la velocidad es constante, la velocidad media (o promedio) es igual a la velocidad en cualquier instante determinado. Si el tiempo t se mide con un reloj que se pone en marcha con t = 0, la distancia e recorrida a velocidad constante v será igual al producto de la velocidad por el tiempo. En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante y la aceleración es nula.

v = e/t

v = cte.

a = 0

Movimiento uniformemente variado (M.U.V.)

Otro tipo especial de movimiento es aquél en el que se mantiene constante la aceleración. Como la velocidad varía, hay que definir la velocidad instantánea , que es la velocidad en un instante determinado. En el caso de una aceleración a constante, considerando una velocidad inicial nula ( v = 0 en t = 0), la velocidad instantánea transcurrido el tiempo t será:

v = a.t

La distancia recorrida durante ese tiempo será

e = ½.a.t^2

Esta ecuación muestra una característica importante: la distancia depende del cuadrado del tiempo (t^2 ). En el movimiento uniformemente variado la velocidad varia y la aceleración es distinta de cero y constante.

CAIDA LIBRE

Se le llama caída libre al movimiento que se debe únicamente a la influencia de la gravedad.

 Todos los cuerpos con este tipo de movimiento tienen una aceleración dirigida hacia abajo cuyo valor depende del lugar en el que se encuentren. En la Tierra este valor es de aproximadamente 9,8 m/ s², es decir que los cuerpos dejados en caída libre aumentan su velocidad (hacia abajo) en 9, m/s cada segundo.

 En la caída libre no se tiene en cuenta la resistencia del aire.

ECUACIONES PARA LA CAIDA LIBRE

Recuerda las ecuaciones generales del movimiento:

e = vo·t + ½·a·t² vf = vo + a·t

Podemos adaptar estas ecuaciones para el movimiento de caída libre. Si suponemos que dejamos caer un cuerpo (en lugar de lanzarlo), entonces su velocidad inicial será cero y por tanto el primer sumando de cada una de las ecuaciones anteriores también será cero, y podemos eliminarlos:

e = ½·a·t² vf = a·t

Por otro lado, en una caída libre la posición que ocupa el cuerpo en un instante es precisamente su altura h en ese momento.

Como hemos quedado en llamar g a la aceleración que experimenta un cuerpo en caída libre, podemos expresar las ecuaciones así:

h = ½·g·t² vf = g·t

Un ladrillo se deja caer desde un punto a 80m sobre el nivel del agua. a) Cuanto tiempo permanece el ladrillo en el aire? b) ¿con que velocidad golpea el ladrillo el agua?

b) Vf= 2 gh 2 ( 9. 8 m / s )( 80 ) 40m/s

a) t= m s

m s

9. 8 /

= 4.08 s

TIRO HORIZONTAL

El tiro horizontal es un caso de composición de dos movimientos perpendiculares, uno con movimiento rectilíneo y uniforme(MRU) sobre el eje X y otro movimiento rectilíneo uniformemente acelerado(MRUA) sobre el eje Y.

A partir de las ecuaciones de posición, velocidad y de la ecuación de la trayectoria(parábola) se resuelven todas las situaciones posibles(prescindiendo del rozamiento con el aire).

Ecuaciones de posición.

MRU: x = Vo*t (1)

MRUA: y = H - (1/2)gt^2 (2)

Ecuaciones de velocidad(componentes).

MRU: Vx = Vo (3)

MRUA: Vy = g*t (4)

Vector velocidad: v' = Vxi' + Vyj'

Módulo de la velocidad: v=((Vx)^2 + (Vy)^2)^(1/2)

Ángulo: Tangente(alfa)= Vy/Vx; alfa = atan(Vy/Vx)

Ecuación de la trayectoria.

Sustituyendo en la ecuación(2) el valor del tiempo dado por la ecuación(1):

y = H - (1/2)g(x^2)/(Vo)^2; (5)

Ejemplo nº1. Halla el alcance, el tiempo en caer, la velocidad final y el ángulo de impacto de un cuerpo lanzado horizontalmente con una velocidad de 10 m/s desde una altura de H=100m. Calcula el vector velocidad al cabo de 2 segundos.

Las ecuaciones son:

x = Vo*t (1)

y = H - (1/2)gt^2 (2)

Vx = Vo (3)

Vy = g*t (4)

y = H - (1/2)g(x^2)/(Vo)^2; (5)

Módulo de la velocidad: v=((Vx)^2 + (Vy)^2)^(1/2)

Ángulo: Tangente(alfa)= Vy/Vx; alfa = atan(Vy/Vx)

a) El tiempo en caer se halla a partir de (2):

y = H - (1/2)gt^2 (2)

0 = 100 - (1/2)9,8t^2 (2)

t=(100/4,9)^(1/2);

t= 4,51 segundos.

b) El alcance se halla a partir de (1)

x = Vot x = 104,5 = 45 m

c) La velocidad se calcula a partir de las componentes Vx y Vy.

Vx = Vo

Vy = g*t

Vx = 10 m/s

Vy = 9,8*4,5= 44,1 m/s

v=((Vx)^2 + (Vy)^2)^(1/2) v=((10)^2 + (44,1)^2)^(1/2) v= 45,2 m/s

tang(alfa)= Vy/Vx=45,2/10 = 4,52; alfa= atan(4,52)= 77,5º.

El vector velocidad al cabo de 2 segundos será:

Vx = Vo

Vy = g*t

TIRO PARABOLICO

Cuando lanzamos un cuerpo con una velocidad que forma un ángulo con la horizontal, éste describe una trayectoria parabólica. En su obra Dialogo sobre los Sistemas del Mundo (1633), Galileo Galilei expone que el movimiento de un proyectil puede considerarse el resultado de componer dos movimientos simultáneos e independientes entre sí: uno, horizontal y uniforme; otro, vertical y uniformemente acelerado.

En nuestra simulación hemos seleccionado el punto de salida como origen de coordenadas. Si la velocidad de salida es v 0 y el ángulo es α , tendremos que las componentes de la velocidad inicial son:

v0x = v 0 · sen α v0y = v 0 · cos α

Y las propiedades cinemáticas del cuerpo en cualquier instante (t) de su movimiento son:

Magnitud Componente x Componente y aceleración ax = 0 ay = - g velocidad vx = v0x vy = v0y - gt posición x = v0xt y = v0yt-(1/2)gt^2

Observa que la aceleración no depende del tiempo (es constante), pero la velocidad y la posición del móvil sí que dependen del tiempo. En el tiro parabólico son de interés la altura máxima y el alcance (o desplazamiento horizontal) conseguido.

La altura máxima se alcanza cuando la componente vertical vy de la velocidad se hace cero. Como vy = v0y - gt , se alcanzará la altura máxima cuando t = v0y/g. Utilizando estos datos llegarás fácilmente a la conclusión de que el valor de la altura máxima es:

ymax= v0y^2 /2g = (v 02 /2g) sen^2 α

El móvil estará avanzando horizontalmente a la velocidad constante v0x durante el tiempo de vuelo , que será 2t (siendo t el tiempo en alcanzar la altura máxima) ya que el móvil tarda lo mismo en subir que en bajar, por lo tanto el alcance es:

xmax = v0x2t

es decir

alcance = xmax = (v 02 /g) sen 2α

Si la velocidad de salida es v 0 , tendremos que las componentes de la velocidad inicial son:

v0x = v 0 v0y = 0

Como ocurría en el caso del tiro parabólico, este movimiento puede considerarse el resultado de componer dos movimientos simultáneos e independientes entre sí: uno, horizontal y uniforme; otro, vertical y uniformemente acelerado. Las propiedades cinemáticas del cuerpo en cualquier instante (t) de su movimiento son:

Magnitud Componente x Componente y aceleración ax = 0 ay = - g velocidad vx = v 0 vy = - gt posición x = v 0 t y = h - (1/2)gt^2

Combinando las ecuaciones podemos llegar a la conclusión de que el tiempo de vuelo es:

t = ( 2h/g)½

y por lo tanto el desplazamiento horizontal alcanzado es:

xmax = v 0 ( 2h/g)½

Observa que el tiempo de vuelo no depende de la velocidad, sino de la altura y del valor de la gravedad.

TIRO OBLICUO

El tiro oblicuo(parabólico) es un caso de composición de dos movimientos perpendiculares, uno con movimiento rectilíneo y uniforme(MRU) sobre el eje X y otro movimiento rectilíneo uniformemente acelerado(MRUA) sobre el eje Y.

A partir de las ecuaciones de posición, velocidad y de la ecuación de la trayectoria(parábola) se resuelven todas las situaciones posibles(prescindiendo del rozamiento con el aire).

La velocidad inicial forma un ángulo (a) con la horizontal y por tanto posee dos componentes, Vox y Voy, que expresadas en función del ángulo de lanzamiento serán: Vox=Vocos(a) Voy=Vosen(a)

t= 2Vosen(a)/g (tiempo total en el aire)

Sustituyendo en la ecuación de posición: x = Vocos(a)t

x = Vocos(a)2Vosen(a)/g

y teniendo en cuenta que: sen(2a)= 2sen(a)*cos(a)

x = (Vo^2)sen(2a)/g (alcance máximo)

Problema nº1. Se lanza un cuerpo con una velocidad inicial Vo= 100 m/s formando ángulo de 45º con la horizontal. Halla: a. El vector de posición y el vector velocidad al cabo de 2 segundos. b. La altura máxima. c. El alcance.

Solución.: a.

x = Vocos(a)t

x = 100cos(45)2= 141,4 m

y = Vosen(a)t - (1/2)gt^2 (2)

y = 100sen(45)2 - (1/2)9,82^2= 121,8 m (2)

r' = 141,4i' + 121,8j' (vector de posición)

Vx = Vo*cos(a)

Vx = 100*cos(45)= 70,7 m/s

Vy = Vosen(a) -gt

Vy = 100sen(45) -9,82 = 51,1 m/s

v' = 70,7i' + 51,1j' (vector velocidad)

b. Altura máxima.

y(max) = (Vo^2)(sen(a))^2/(2g)

y(max) = (100^2)(sen(45))^2/(29,8) = 255,1 m

c. Alcance.

x = (Vo^2)sen(2a)/g

x = (100^2)sen(245)/9,8 = 1020,4 m

la mesa. Para que haya equilibrio también es necesario que la suma de los momentos en torno a cualquier eje sea cero. Los momentos dextrógiros (a derechas) en torno a todo eje deben cancelarse con los momentos levógiros (a izquierdas) en torno a ese eje. Puede demostrarse que si los momentos se cancelan para un eje determinado, se cancelan para todos los ejes. Para calcular la fuerza total, hay que sumar las fuerzas como vectores.

a) Condición de equilibrio en el plano: la sumatoria de todas las fuerzas aplicadas y no aplicadas debe ser nula y, la sumatoria de los momentos de todas las fuerzas con respecto a cualquier punto debe ser nula.

Fx = 0

Fy = 0

MF = 0

b) Condición de equilibrio en el espacio: la sumatoria de todas las fuerzas aplicadas y no aplicadas debe ser nula y, la sumatoria de los momentos de todas las fuerzas con respecto a los tres ejes de referencia debe ser nula.

Equilibrio de fuerzas

Fx = 0

Fy = 0 Fz = 0

Equilibrio de momentos

My = 0 Mx = 0 Mz = 0

Segunda ley de Newton (masa)

Para entender cómo y por qué se aceleran los objetos, hay que definir la fuerza y la masa. Una fuerza neta ejercida sobre un objeto lo acelerará , es decir, cambiará su velocidad. La aceleración será proporcional a la magnitud de la fuerza total y tendrá la misma dirección y sentido que ésta. La constante de proporcionalidad es la masa m del objeto. La masa es la medida de la cantidad de sustancia de un cuerpo y es universal.

Cuando a un cuerpo de masa m se le aplica una fuerza F se produce una aceleración a.

F = m.a [ N ] [ Kgr ]

Unidades: En el Sistema Internacional de unidades (SI), la aceleración a se mide en metros por segundo cuadrado, la masa m se mide en kilogramos, y la fuerza F en newtons.

Se define por el efecto que produce la aceleración en la fuerza a la cual se aplica. Un newton se define como la fuerza necesaria para suministrar a una masa de 1 kg una aceleración de 1 metro por segundo cada segundo.

Un objeto con más masa requerirá una fuerza mayor para una aceleración dada que uno con menos masa. Lo asombroso es que la masa, que mide la inercia de un objeto (su resistencia a cambiar la velocidad), también mide la atracción gravitacional que ejerce sobre otros objetos. Resulta sorprendente, y tiene consecuencias profundas, que la propiedad inercial y la propiedad gravitacional estén determinadas por una misma cosa. Este fenómeno supone que es imposible distinguir si un punto determinado está en un campo gravitatorio o en un sistema de referencia acelerado. Einstein hizo de esto una de las piedras angulares de su teoría general de la relatividad, que es la teoría de la gravitación actualmente aceptada.

Se deduce que:

1 kgr = 9,81 N

En particular para la fuerza peso:

P = m.g

Cuánto pesa 1 Kg.?

Utilicemos el principio de masa con el valor de la aceleración de la gravedad 10 m/seg.^2

P = m. g = 1 Kg. 10 m/seg 2 = 10 Kg. m. seg.- 1^  N (Newton) (es como se llama a esta unidad de fuerza.)

El sistema de medición que utiliza al Newton como unidad de fuerza se denomina M.K.S. (metros, kilogramos, segundos)

De esa manera queda establecido que 1Kgr. = 10 N

Tercera ley de Newton (acción y reacción)

Cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza (acción o reacción), este devuelve una fuerza de igual magnitud, igual dirección y de sentido contrario (reacción o acción).

Por ejemplo, en una pista de patinaje sobre hielo, si un adulto empuja suavemente a un niño, no sólo existe la fuerza que el adulto ejerce sobre el niño, sino que el niño ejerce una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el adulto. Sin embargo, como la masa del adulto es mayor, su aceleración será menor.

La tercera ley de Newton también implica la conservación del momento lineal, el producto de la masa por la velocidad. En un sistema aislado, sobre el que no actúan fuerzas externas, el momento debe ser constante. En el ejemplo del adulto y el niño en la pista de patinaje, sus velocidades iniciales son cero, por lo que el momento inicial del sistema es cero. Durante la interacción operan fuerzas internas entre el adulto y el niño, pero la suma de las fuerzas externas es cero. Por tanto, el momento del sistema tiene que seguir siendo nulo. Después de que el adulto empuje al niño, el producto de la masa grande y la velocidad pequeña del adulto debe ser igual al de la masa pequeña y la velocidad grande del niño. Los momentos respectivos son iguales en magnitud pero de sentido opuesto, por lo que su suma es cero.

Otra magnitud que se conserva es el momento angular o cinético. El momento angular de un objeto en rotación depende de su velocidad angular, su masa y su distancia al eje. Cuando un patinador da vueltas cada vez más rápido sobre el hielo, prácticamente sin rozamiento, el momento angular se conserva a pesar de que la velocidad aumenta. Al principio del giro, el patinador tiene los brazos extendidos. Parte de la masa del patinador tiene por tanto un radio de giro grande. Cuando el patinador baja los brazos, reduciendo su distancia del eje de rotación, la velocidad angular debe aumentar para mantener constante el momento angular.

Un libro colocado sobre una mesa es atraído hacia abajo por la atracción gravitacional de la Tierra y es empujado hacia arriba por la repulsión molecular de la mesa. Como se ve se cumplen todas las leyes de Newton.

Cuarta ley de Newton (gravitación)

Fg = G.m 1 .m 2 / r^2

La fuerza entre dos partículas de masas m 1 y m 2 y, que están separadas por una distancia r , es una atracción que actúa a lo largo de la línea que une las partículas, en donde G es la constante universal que tiene el mismo valor para todos los pares de partículas.

Fuerza elástica:

Una fuerza puede deformar un resorte, como alargarlo o acortarlo. Cuanto mayor

dentro de un rango de fuerzas limitado, es proporcional a la fuerza:

Fe = -k. x

k: Constante que depende del material y dimensiones del resorte.

x: Variación del resorte con respecto a su longitud normal.

Fuerza normal:

Fuerza normal al plano e igual pero de sentido contrario a la componente normal al plano, de la fuerza peso.

N = cos  .m.g

Fuerza de rozamiento:

Fuerza aplicada y contraria al movimiento y que depende de la calidad de la superficie del cuerpo y de la superficie sobre la cual se desliza.

Fr =  .N

:Coeficiente de rozamiento.

Fuerza de rozamiento estática: fuerza mínima a vencer para poner en movimiento un cuerpo.

Fuerza de rozamiento cinética: fuerza retardadora que comienza junto con el movimiento de un cuerpo.

En el caso de deslizamiento en seco, cuando no existe lubricación, la fuerza de rozamiento es casi independiente de la velocidad. La fuerza de rozamiento tampoco depende del área aparente de contacto entre un objeto y la superficie sobre la cual se desliza. El área real de contacto (la superficie en la que las rugosidades microscópicas del objeto y de la superficie de deslizamiento se tocan realmente) es relativamente pequeña. Cuando un objeto se mueve por encima de