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Conjunto numérico. Funciones lineales, cuadraticas, constantes, exponenciales, logaritmicas, racionales. Valor absoluto.
Tipo: Apuntes
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1.2 Orden en Números Reales
Trabajaremos en el conjunto de Números Reales. Debemos tener en cuenta que se trata de un conjunto con infinitos elementos, ya que entre dos números reales existen infinitos números reales
Recordar la forma de expresar conjuntos: comprensión, extensión, diagramas. En particular los conjuntos numéricos los expresaremos mediante intervalos, desigualdades y graficando en la recta numérica.
Dados dos números reales a y b, se tiene la validez de una y solo una de las siguientes afirmaciones: a = b o bien a < b o bien a > b
Ejemplo: 1 < 5, -2 < -1, 1 = (5+1-23) 0 , - 7 > -7.
La relación de orden en R permite representar a los números reales como puntos de una recta llamada recta numérica o recta real.
Ejemplo: Representar en la recta numérica:-3, 3/4, 5/2,
Ejemplo: Sean los conjuntos contenidos en R:
A = [-3;6] ; B = (-3;3) ; C =(-1;4] ;D =(-4;-3), determinar si es V o F que:
a) -3 ∈ A V b) 9/2 ∈ A V c) √3 ∉ B F d) 3/4 ∉ C F e) -2 ∈ D F f) 0 pertenece a todos ellos F
Ejemplo: representar todos los números reales que superen a 2:
x>2 ó { x R / x>2} ó (2, +)
A continuación se verá esta última notación llamada Intervalo
1.2.1 Desigualdades - Intervalos
Dados a y b pertenecientes al conjunto R, con a≤ b, se definen los siguientes subconjuntos de R:
Regla de la suma: Si sumamos (o restamos) un mismo número real c a los dos miembros de una desigualdad, obtenemos otra desigualdad equivalente del mismo sentido. O sea, a<b a+c<b+c
Ej.: Si sumamos 2 unidades a los dos miembros de la desigualdad anterior, tendremos que 7+2<10+2, ó sea, 9<12. Restando 3 unidades (por ejemplo) a los dos miembros, tendremos 7-3<10-3, ó sea, 4<7.
Regla del producto: Si multiplicamos (o dividimos) los dos miembros de una desigualdad por un mismo número real c (distinto de cero), obtenemos otra desigualdad equivalente, del mismo sentido si c>0 y de sentido contrario si c<0. O sea, a<b (a·c<b·c si c es un nº positivo ó a·c>b·c si c es un nº negativo).
Ej.: Si en la desigualdad 7<10 multiplicamos los dos miembros por 2, tendremos que 7·2<10·2, ó sea, 14<20. Si lo hacemos por (-2), tendremos 7·(-2)>10·(-2), ó sea, -14>-20. (Observa que lo que antes era "<" se ha convertido ahora en ">"; la desigualdad ha cambiado de sentido).
Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. A las letras de
Ejercicio 1.5 Encontrar el conjunto numérico que satisface:
a) 2(x+1) -3 (x-2) < x+
Ó x ϵ (1, ∞)
b) 4 ≤ 3x-2 <
Solución: Si 4 ≤ 3x-2 <13, sumando 2 en ambos lados de la desigualdad se tiene: 4+2 ≤ 3x-2+2<13+ 6 ≤ 3x <15, multiplicando ambos lados de la desigualdad por 1/3 >0, se tiene
c) 40x - 8x +20 ≤60x- 14 - 15x- 5 Solución: (^) 32x+20 ≤ 60x- 14 - 15x- 5
32x+20 ≤ 45x- 19
1.3 Valor Absoluto – Modulo
Dado un número real x, se define el valor absoluto o módulo de x como la distancia entre x y 0. Notación: |x|= distancia (x,0)
Ejemplos: |0|=0, |3.2|= 3.2, |– 2|= 2,
La distancia entre a y b es la longitud del segmento de extremos a y b. Por tanto, la distancia entre dos números siempre es positiva.
Se cumplen además: |x| − |y| ≤ |x − y| ||x| − |y|| ≤ |x − y| ||x| − |y|| ≤ |x + y|
Demostraciones:
|x.y|= |x|.|y| Se tienen cuatro casos: (a) x ≥ 0, y ≥ 0. Entonces xy ≥ 0 y |xy| = xy = |x||y|. (b) x ≥ 0, y < 0. Entonces xy ≤ 0 y |xy| = −xy = x(−y) = |x||y| (c) x < 0, y ≥ 0. Entonces xy ≤ 0 y |xy| = −xy = (−x)y = |x||y| (d) x < 0, y < 0. Entonces xy > 0 y |xy| = xy = (−x)(−y) = |x||y|.
Ejercicio 2: Escribir la expresión dada sin usar barras de valor absoluto.
a) |-x+1|, si x < 1
Solución: por definición de valor absoluto |-x+1|= -x+1, si –x+1≥0 o sea si x≤ |-x+1|= -(-x+1), si – x+1<0 o sea si x> Dada la consigna:” si x < 1“, la respuesta será: |-x+1|= -x+
b) ) |x-6|, si x ≤ 3 Solución: Razonando de modo análogo a a): |x-6|= -x+
Ejercicio 3: Hallar los números reales que satisfacen las siguientes expresiones.
a) 4 x+2 = 3
Solución: por definición de valor absoluto |4x+2|= 4x+2, si 4x+2≥0 o sea si x ≥-1/2 (1) |4x+2|= -4x-2, si 4x+2<0 o sea si x <-1/2 (2) Por (1) |4x+2|= 4x+2 =3, con lo que x= 1/ Por (2) |4x+2|= -4x-2 =3, con lo que x= -5/4, ambos valores son válidos Prueba: 4.1/ 4 +2 = 3 y 4.(-5/4)+2 = 3
Solución: por definición de valor absoluto |x-1|= x-1, si x-1 ≥0 o sea si x ≥ 1 (1) |x-1|= -x+1, si x-1 <0 o sea si x <1 (2)
Por (2) |x-1|= -x+1 < 2 (es decir x>-1) y además x <1, con lo que x (-1, 1) En la unión de ambos conjuntos x [1, 3) U (-1, 1)= (-1, 3)
Otro camino es utilizar: |x − y| < a ⇔ y − a < x < y + a
c) 3 x- 2 > 1
Solución: por definición de valor absoluto |3x-2|= 3x-2, si 3x-2 ≥0 o sea si x ≥2/3 (1) |3x-2|= -3x+2, si 3x-2 <0 o sea si x <2/3 (2)
Por (2) |3x-2|= -3x+2 >1 (es decir x<1/3) y además x<2/3, con lo que x (-, 1/3) En la unión de ambos conjuntos x (-+, 1/3) U (1,+)
d) 1 ≤ x- 2 < 14
Solución: 1 ≤ x- 2 ⇔ x- 2 ≥ 1 ó x- 2 ≤- 1 ⇔ x ≥3 U x ≤ 1 x (-, 1]U [3, +) (1)
Como deben cumplirse (1) y (2): x (-,1]U [3, +) (-2, 16) , el conjunto solución es: (- 2 , 1 ]U [3,16)
ordenado (a;b) es distinto que el par ordenado (b;a)
Definición : Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B al conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y la segunda
Definición : Se llama relación del conjunto A en el conjunto B a todo subconjunto del producto cartesiano AxB. En símbolos, R es una relación de A en B Rc AxB.
Observación: Para indicar que un par ordenado (x;y) pertenece a la relación R se suele escribir xRy, que equivale a (x;y) R.
A menudo utilizamos la palabra “función” para expresar la dependencia de una cantidad con otra: “el éxito está en función del trabajo”, “el precio de un envío postal es función de su peso”, ya en el ámbito de la matemática: “el área del círculo es función de su radio”, etc.
Dados dos conjuntos no vacíos A y B se llama función a toda ley de correspondencia que, a cada elemento de A, hace corresponder uno y sólo un elemento de B.
Definición : Se dice que f es una función de A en B si y sólo si f es una relación de A en B en la que a todo elemento x de A se corresponde uno y solo un elemento de B. Por ello satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad:
Observaciones: Usualmente, se designan a las funciones con las letras f, g, h, etc.
Observaciones: usaremos la notación y = f ( x ) que representa a la imagen (o rango) del elemento x a través de la función f. También llamada imagen de x por f. tanto al elemento anterior como al conjunto de todas las imágenes f(x) se lo denomina con la palabra i magen.
Notar que Imf B
Definición :
ordenados de f. Este conjunto contiene pares ordenados de la forma (x; f (x)).
PRUEBA de la RECTA VERTICAL: una curva en el plano xy es gráfica de una función si y solo si ninguna recta vertical corta la curva más de una vez
En los gráficos, solo el tercero corresponde a una función.
Como a x le asignamos valores arbitrarios, la llamaremos variable independiente. En cuanto a y , sus valores dependen de los de x ; por eso y se llama variable dependiente. La palabra función se utiliza tanto para designar a la variable dependiente como a la relación entre ambas. Se debe distinguir entre el nombre de la función, por ejemplo f, y el valor de f en x, es decir de f(x); sin embargo el abuso de lenguaje hace que se abrevie una expresión como “la
Para definir una función, además de su expresión analítica o fórmula (ejemplo, y= 2. x ), se requiere indicar su dominio y codominio f : AB / y = f ( x ) = 2 .x
¿qué significa f (2)= 4? 4 es la imagen de 2 a través de f Si 0 fuera un elemento del conjunto A, qué representa y cuál es el valor de f (0)? f (0)= 0 Representa su gráfica en un diagrama cartesiano.
Llamaremos dominio natural de la función al subconjunto de los números reales para los cuales tiene sentido la fórmula. Ejemplos:
f (x) = 1/x- 1
Domf= R - { 1 } Imf= R - {0}
g (x) =
Domf= {x R / x≥2 } Imf= [0, +)
h (x) = (x^2 -1)0.
Domf= {x R / (-∞,-1] U [1,+∞) x≥2 } Imf= [0, +)
Recordar que una función se define indicando su dominio, su codominio y su expresión analítica.
que corresponda a una función par con
Definición : Una funciónf : A se dice que es una función impar si f (-x) = -f (x),
Se dice que la imagen del opuesto es igual al opuesto de la imagen
Observaciones: Son válidas las mismas observaciones que se presentaron luego de la definición de función par.
Desde la gráfica de una función, diremos que una función f es par si es simétrica respecto del O= (0,0).
o Ejemplos: La función f(x)= 1/x es una función impar pues: f(-x)=1/-x que coincide con
o y=f(x) = x^3 es impar pues: f(-x) = (-x)^3 = - x^3 , que coincide con
o La función valor absoluto no es función impar. Tampoco las funciones exponenciales Ejemplos de otras funciones impares: f(x)= - x^3 ; g(x)= x; h(x)= 1/x
o Completar la gráfica que sigue, para que corresponda a una función impar
Ejemplos: f(x) = ax^ es creciente en todo su dominio
si a>
g(x)= cosx en (0, ) es decreciente
Al trazar las tangentes observamos que: Si f(x) es creciente en I su pendiente es positiva ya que f´(x)> 0 Si f(x) es decreciente en I su pendiente es negativa ya que f´(x)< 0
f: R R /f(x)=2x^2 -3x+2 no es inyectiva pues: x 1 =0 y x 2 = 3/2 tienen por imagen y=
Observaciones:
Es decir x ≠ -x y sin embargo f(x) = f(-x)
Es decir x ≠ - x entonces f(x) ≠ f(-x) ya que f(x)= -f(-x) De la observación de la función inyectiva vemos que toda recta horizontal trazada sobre la gráfica corta A LO SUMO en un punto a la misma
Consideremos la función f :[-3;3]/ f ( x )= x^2. Notamos que en el Codom f existen valores que no resultan ser imágenes de ninguno de los elementos del dominio. Sabemos que Im f Codom f. Si en cambio consideramos la función g: [-3;3] [0;9]/ g ( x ) = x^2 , obtenemos la misma gráfica, pero se trata de una función distinta pues Im f = Codom f. Diremos que la función g es una función suryectiva, en tanto que la función f no lo es.
Formalizamos.
Definición : Una función f : AB es s uryectiva si y sólo si y B, x A: y = f ( x )
Observaciones: Si una función f es suryectiva, entonces Im f= Codom f****. Para probar que la función f del Ejemplo 4 no es suryectiva, a partir de la negación de la definición, basta con encontrar un elemento de su codominio y comprobar que no tiene preimagen. Alguno de esos elementos son: y 1 =-2, y 2 =-24.
Desde la gráfica de una función, diremos que una función f es suryectiva si cualquier
Definición : Una función f : AB es biyectiva si y sólo si es inyectiva y suryectiva simultáneamente.
Desde la gráfica de una función, diremos que una función f : AB es biyectiva si cualquier
