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CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

> CÁLCULO DEL MONTANTE

2

C 2 =C 1 +C 1 i=C 1 ( 1 +i)=C 0 ( 1 +i)

n

Cn = Cn− 1 +Cn− 1 i=Cn− 1 ( 1 +i)=C 0 ( 1 +i)

Luego el valor del montante a lo largo de n años es:

n Cn =C 0 ( 1 +i)

Los intereses obtenidos son I^ C C C [(^1 i)^1 ]

n = n − 0 = 0 ⋅ + −

> LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

• Nº determinado de años:

t

L (t)= ( 1 +i) siendo i =cte

• Fechas: y − x= duración de la operación ( y> x)

y x

L (x;y) ( 1 i)

−

> CASO i VARIABLE

C 1 =C 0 +C 0 i 1 =C 0 ⋅( 1 +i 1 )

C 2 =C 0 ⋅( 1 +i 1 )⋅( 1 +i 2 )

C n = C 0 ⋅( 1 +i 1 )⋅( 1 +i 2 )...( 1 +in )  El montante obtenido es C C (^1 i)

n

j 1

n 0 ∏ j

Los intereses obtenidos son I^ =Cn −C 0

0 1 2 n

C 0

i = cte

0 1 2 n

C 0 Cn

i 1 i 2 in

C 1 =C 0 +C 0 i=C 0 ⋅( 1 +i )

EJEMPLO RESUELTO 4

Hace 3 años se ha invertido un capital de 500.000 u.m. durante 5 años según la ley financiera de

capitalización

t

L( t)=( 1 + 0 , 13 )

Debido a la coyuntura económica actual, el deudor quiere devolver el dinero y para ello nos sugiere que le

señalemos las condiciones en las cuales estaríamos de acuerdo en la devolución. Se trata, pues, de calcular

lo que le exigiríamos en concepto de deuda y en concepto de indemnización por la cancelación anticipada,

sabiendo que el dinero que nos abona sólo se puede invertir ahora al 10%.

H

C 500. 000 ( 1 0 , 13 ) 721. 448 , 5

3 3 = ⋅ + =

El deudor tiene que entregar una cantidad complementaria H que cumpla:

5

2 (H +C 3 )⋅( 1 + 0 , 10 ) =C

(H 721. 448 , 5 ) 1 , 10 921. 217 , 6

2

• ⋅ =

H = 39. 888 , 36 u.m.

EJEMPLO RESUELTO 5

Una persona desea cubrir las necesidades futuras de sus hijos y para ello al nacimiento de su primer hijo

deposita 120.000 u.m., en una cartilla de ahorro que le proporciona un 9% anual de interés compuesto.

Al cabo de 5 años, esta persona tiene otro hijo y por tal motivo, divide el montante obtenido en la cartilla, de la

siguiente manera: los 3/5 para el hijo nacido en primer lugar y la parte restante para el segundo hijo.

Averiguar el montante que obtendrá cada hermano al cumplir los 21 años, suponiendo que invierten sus

capitales al tipo de interés del 9%.

Capitalización compuesta, luego

n

Cn =C 0 ( 1 +i)

C C ( 1 i) 120. 000 ( 1 0 , 09 ) 184. 634 , 67

5 5

Para el

er

1 hijo C C ( 1 i) 110. 780 , 9 ( 1 0 , 09 ) 439. 834 , 1 u.m.

' 215 16 5

' 21 =^ ⋅ + = ⋅ + =

−

Para el 2º hijo C C ( 1 i) 73. 853 , 9 ( 1 0 , 09 ) 451. 159 , 3 u.m.

'' 21 21 5

'' 21 = ⋅ + = ⋅ + =

para el

er

1 hijo:

'

C 5 110. 780 , 9 C 5

para el 2º hijo:

''

C 5 73. 853 , 9 C 5

0 i = 0,13 3 5

C 0 = 500.000 C 5 = C 0 (1+0,13)^5 = 500.000 (1,13) 5 = 921.217,

EJEMPLO RESUELTO 6

Una operación financiera esta definida por una prestación de capitales (50.000; x + 1), (60.000; x + 3),

(80.000; x + 6) y por una contraprestación (C; x + 2), (70.000; x + 7) .Sabiendo que i=12% y que la ley

financiera de capitalización es:

y x L( x,y) ( 1 i) −

= +. Averiguar la cuantía del capital C planteando una

equivalencia financiera en y = x+9.

Representamos los capitales en una línea temporal:

Prestación de capitales: ( 50. 000 ;x+ 1 ) ( 60. 000 ;x+ 3 ) ( 80. 000 ;x+ 6 )

Contraprestación: (C ;X+ 2 ) ( 70. 000 ;X+ 7 )

Equivalencia financiera en y = x+ 9 : Igualamos la prestación y la contraprestación

valoradas en el mismo momento de tiempo según la ley financiera de capitalización

compuesta

yx L( x;y) ( 1 i)

−

8 6 3 7 2

1. 000 ( 1 + 0 , 12 ) + 60. 000 ( 1 + 0 , 12 ) + 80. 000 ( 1 + 0 , 12 ) =C( 1 + 0 , 12 ) + 70. 000 ( 1 + 0 , 12 )

 C = 120. 692 , 9962

x+1 x+2 x+3 x+6 x+7 y = x+

50.000 C 60.000 80.000 90.000 i = 0,

EJEMPLO RESUELTO 7

Hace 4 años una persona prestó a su amigo 120.000 u.m. al 8% de interés simple anual.

Averiguar el capital que deberá devolver el amigo en el momento presente.

C (^) n =C 0 ( 1 +n·i )

C 4 = 120. 000 ( 1 + 4 ⋅ 0 , 08 )= 158. 400 u.m.

EJEMPLO RESUELTO 8

Se ha invertido un capital de 260.000 u.m. al 9% de interés simple anual durante 3 años.

Calcular el interés producido al final de la operación

I =C 3 −C 0 =C 0 ( 1 + 3 i)−C 0 =C 0 ⋅ 3 i= 26. 000 ⋅ 3 ⋅ 0 , 09 = 70. 200 u.m.

EJEMPLO RESUELTO 9

Calcular el capital invertido hace 3 años al 9% de interés simple anual si en el momento actual representa un

montante de 127.000 u.m.

C n = C 0 ( 1 +ni )  C 3 =C 0 ( 1 + 3 ⋅i)

127. 000 = C 0 ( 1 + 3 ⋅ 0. 09 )  C 0 = 100. 000 u.m.

0 4

C 0 = 12.

i = 0,

0 3

C 0 = 260.

i = 0,

0 3

C 0 =?

i = 0,

C 3 = 127.

C 4

EJEMPLO RESUELTO 10

El banco X concede un préstamo de 240.000 u.m. al 9,5% de interés simple anual. El capital a devolver por

parte del prestatario es de 354.000 u.m..

SE PIDE:

Averiguar durante cuánto tiempo permaneció prestado dicho capital.

C (^) n =C 0 ( 1 +ni )

C (^) n = C 0 +C 0 ni C (^) n −C 0 =C 0 ni

Luego, 5

Ci

C C

n 0

n 0

⋅

= años

EJEMPLO RESUELTO 11

Una persona invierte dos capitales en dos negocios distintos. El primer capital lo invierte al 8% de interés

simple anual y el segundo al 7%. El primer capital es inferior al segundo en 140.000 u.m. y sin embargo, sus

intereses suman 20.000 u.m. más que los del segundo. Sabiendo que esta inversión está referida a un año

averiguar la cuantía de ambos capitales.

C 2 = C 1 + 140. 000 (1)

I 1 = I 2 + 20. 000  C 1 ⋅ 0 , 08 =C 2 ⋅ 0 , 07 + 20. 000 (2)

Resolviendo el sistema: C 1 = 2. 980. 000 u.m. C 2 = 3. 120. 000 u.m.

(^0) n =?

C 0 = 240.

i = 0,

C n = 354.

C 1

i = 0,

C n

C 2

i = 0,

C n

>ACTUALIZACIÓN SIMPLE O DESCUENTO RACIONAL SIMPLE = Drs (i)

• Valor Descontado =

1 ni

C

C

n 0

= Factor de Actualización =

1

( 1 ni)

1 ni

• Descuento 1 ni

Cni

1 ni

C

D C C C

n n rs n 0 n

• Ley financiera

1

A( t) ( 1 ti)

−

= + o bien [ ]

1

A( x;y) 1 (y x) i

−

>DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE = Dcs (d)

• Valor Descontado = C^0 =^ Cn(^1 −nd)  Factor de Actualización: 1 −nd
• Descuento =D (^) cs =Cn−C 0 =Cn−Cn( 1 −nd)=Cn·n·d
• Ley financiera A (t)= 1 −t⋅do bien A( x;y)= 1 −(y−x)⋅d

RELACIÓN ENTRE i Y d PARA QUE EXISTA EQUIVALENCIA ENTRE D cs Y EL Dcs

Drs = D cs  C·n·d

1 ni

C ·n·i n

n



1 dn

d i

1 n·i

i d

(^0) n

C 0 C^ n

EJEMPLO RESUELTO 12

Calcular el valor efectivo que se obtiene de descontar una letra cuyo nominal es de 350.000 u.m. al 11% de

descuento compuesto anual durante un año. Averiguar también el descuento comercial compuesto.

C C ( 1 d) 350. 000 ( 1 0 , 11 ) 311. 500 u.m. n 1 0 = n − = − =

D C [ 1 ( 1 d) ] 350. 000 [ 1 ( 1 0 , 11 )] 38. 500

n 1 cc = n − − = − − =

EJEMPLO RESUELTO 13

Hallar el valor actual de un capital sabiendo que colocado al 10% de interés simple anual durante 2 años

alcanzó un montante de 720.000 u.m. Averiguar también el descuento racional simple.

1. 000 u.m. 1 20 , 10

1 2 i

C

1 ni

C

C

n 2 0 =

• ⋅

1. 000 u. m 1 2 0 , 10

1 ni

Cni D n rs =

• ⋅

EJEMPLO RESUELTO 14

Una entidad bancaria concede a un cliente un crédito de 900.000 u.m. mediante letra a 90 días, descontada

aI 12% anual, con una comisión de 0,25 por ciento y unos timbres de 1.050 u.m..

SE PIDE:

Averiguar el líquido de esta letra.

C 0 =C( 1 −nd)−COMISIÓN− TIMBRES

C 1050

C 0 =C( 1 −nd)− −

Si sustituimos: y d 0 , 12

C = 900. 000 n= = C 0 = 869. 700 u.m.es el valor líquido.

C 0 =? 350.

d = 0 , 11

C 0 =?

i = 0 , 10

C 2 = 720. 000

360

90

C 0 900. 000

d = 0 , 12

EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

> TANTO EFECTIVO ANUAL (i) Y EL TANTO EFECTIVO FRACCIONADO (iK)

CASO CAPITALIZACIÓN COMPUESTA:

Tipos de interés equivalentes:

Aplicados al mismo capital inicial, durante el mismo periodo de tiempo, producen igual montante.

RELACIONES ENTRE TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

• TANTO ANUAL ←⎯ →TANTO FRACCIONADO

i ( 1 i) 1

i ( 1 i ) 1

( 1 i) ( 1 i)

k

1 k

k k k

k NO SON PROPORCIONALES

• TANTO FRACCIONADO ik ←⎯ →TANTO FRACCIONADO ih

h h

k

( 1 + ik ) =( 1 +i) NO SON PROPORCIONALES

C 0 = 11 +i

0 n

C 0 = (^1) ( 1 +i)k·n

k ( 1 +ik )

i k

El periodo dividido en k

partes iguales

El periodo dividido en h

partes iguales

0 n

C 0 = (^1) ( 1 +i)h·n

h ( 1 +ih )

i h

RELACIONES ENTRE TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE

• TANTO ANUAL ←⎯ →TANTO FRACCIONADO

1 + n⋅i= 1 +k·n·i k  i^ =^ k·ik SON PROPORCIONALES

• TANTO FRACCIONADO ik ←⎯ →TANTO FRACCIONADO ih

1 + k·ik = 1 +h·i h  k ·ik = h·ih SON PROPORCIONALES

>TANTO NOMINAL ANUAL = jk

Se define el tanto nominal anual capitalizable k-esimalmente como un tipo de interés anual proporcional al

fraccionado. jk^ =k⋅ik

RELACIONES ENTRE TANTOS NOMINALES Y EFECTIVOS EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

j = k⋅i =k( 1 +i)k− 1

1 k k

> TANTO ANUAL PREPAGABLE (i*)

Sea un capital C 0 que se presta en el momento inicial, a un tanto anual prepagable i* (los intereses se abonan

al principio del periodo).

Duración de la operación: 1 periodo

Los intereses que se abonan al principio son: C 0 ⋅i * , luego el capital neto prestado al principio es:

C 0 − C 0 ⋅i*=C 0 ( 1 −i *), y el capital a devolver por el deudor al final del periodo es C 0.

Se tendrá que verificar que C 0 ( 1 − i*)⋅( 1 +i)=C 0 

1 i

1 i*

C 0 ( 1 − i *) C 0

EJEMPLO RESUELTO 21

Una persona desea invertir un capital de 2 millones de u.m. y puede elegir entre las siguientes posibilidades:

a) Colocar el capital al 12% nominal anual capitalizable por semestres.

b) Colocar el capital al 12% nominal anual acumulable por trimestres.

c) Colocar al 12% de interés efectivo anual compuesto.

d) Colocar al 12% de interés efectivo anual simple.

Calcular el montante obtenido en cada una de las posibilidades anteriores al cabo de 2 años.

a)

j 2 = 0 , 12  0 , 06

j i ( 2 ) 2 = = = C C( 1 i ) 2. 524. 954 u.m. ( 2 ) 4 2 = 0 + =

b)

j 4 = 0 , 12  0 , 03

j

i

( 4 ) 4

= = = C C ( 1 i ) 2. 533. 540 , 2 u.m.

( 4 ) 8

c)

i = 0 , 12  C C ( 1 i) 2. 508. 800 u.m.

2

d)

i = 0 , 12  C 2 =C 0 ⋅( 1 + 2 ⋅i)= 2. 480. 000 u.m.

C 0 = 21

C 0 = 21

C 0 = 21

C 0 = 21

CRITERIO LINEAL – CRITERIO EXPONENCIAL

CONVENIOS utilizados en la práctica para obtener un capital final cuando la duración de la operación no es

un número entero de periodos.

>CRITERIO EXPONENCIAL

x

C X = C 0 ( 1 +i) donde

k

h

x = t+ (t = nº entero de periodos)

Luego,

+θ = +

t CX C 0 ( 1 i)

El criterio exponencial consiste en capitalizar C 0 usando capitalización compuesta durante el número entero

de periodos y capitalizar el resultado obtenido en capitalización compuesta por la fracción de periodo restante.

>CRITERIO LINEAL

Este criterio consiste en capitalizar C 0 a un interés compuesto el número entero de periodos y después,

capitalizar este resultado a un interés simple por la fracción de periodo que restante.

C C ( 1 i) ( 1 i ) t X = 0 ⋅ + ⋅ +θ

El montante obtenido según el criterio lineal será mayor que el obtenido según el criterio exponencial.

0 x

C 0

t

c.c

c.c

CX

0 x

C 0

t

c.c

c.s

CX