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El tema 2 de estadística aplicada, dedicado a la introducción al cálculo de probabilidades. Comienza explicando la necesidad del uso de la teoría de la probabilidad en situaciones de incertidumbre y define conceptos básicos como experimentos aleatorios, sucesos y espacio muestral. También introduce la noción de probabilidad y sus diferentes definiciones, así como las propiedades y la probabilidad condicionada.
Tipo: Apuntes
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La descripci´on de los resultados de un experimento puede no ser sufi- ciente si el objetivo es extraer conclusiones para todos los individuos.
Bajo condiciones de incertidumbre es imprescindible el uso de la Teor´ıa de la Probabilidad.
Usando modelos probabil´ısticos apropiados y las reglas del c´alculo de probabilidades, la Inferencia Estad´ıstica permitir´a el mejor conocimien- to de los fen´omenos aleatorios.
Fen´omeno determin´ıstico vs aleatorio Cualquier fen´omeno observable da lugar a un resultado. Bajo id´enticas condiciones de aplicaci´on el resultado puede:
no cambiar y decimos que el experimento es determin´ıstico,
ser impredecible y depender del azar, entonces el experimento es alea- torio.
Suceso y Espacio muetral Suceso elemental: resultado indivisible de un experimento aleatorio. Espacio muestral, E: conjunto de todos los sucesos elementales de un experimento.
Discreto si est´a formado por un conjunto finito o infinito numerable de sucesos elementales.
Continuo si tiene un conjunto no numerable de sucesos elementales.
X Lanzamientos de un dado.
E = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
A ∩ B, es la intersecci´on de los sucesos A y B.
A − B = A ∩ B
A y B se dicen mutuamente excluyentes, incompatibles o disjuntos si no pueden ocurrir simult´aneamente. A ∩ B = ∅.
Partici´on Un conjunto de sucesos A 1 , A 2 , · · · , An se dice que constituye una partici´on de un espacio muestral E, si verifica:
⋃^ n i=
Ai = E
Son 2 a 2 incompatibles, es decir,
Ai ∩ Aj = ∅ ∀i, j con i 6 = j
Dados tres sucesos A, B y C
Asociativa.
Conmutativa
Elemento neutro A ∪ ∅ = A, A ∩ E = A
Distributiva
Leyes de Morgan
Ejemplo 1. Consideremos el experimento aleatorio del lanzamiento de un dado. Determinar los sucesos:
A = {salir cifra par}
B = {salir cifra impar menor de 5}
C = {salir 2 o 4}
Calcular A ∪ B, A ∪ C, A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C, B¯, A − C, ¿implica C a A?
La incertidumbre existente sobre los resultados de un experimento alea- torio se puede medir, evaluar la posibilidad de que ocurra un suceso al realizar un experimento es calcular su probabilidad de ocurrencia.
Definici´on cl´asica
Definici´on frecuentista
Definici´on subjetiva
Definici´on axiom´atica
Definici´on cl´asica de probabilidad Dado un espacio muestral finito, de sucesos elementales equiprobables, la Re- gla de Laplace define la probabilidad de ocurrencia de un suceso A como:
P (A) =
No^ casos favorables a que ocurra A No^ casos posibles
Esta regla no es aplicable a espacios no finitos y a sucesos elementales con probabilidades distintas.
X Si A y B son sucesos disjuntos entonces:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
De ellas se obtienen las siguientes:
X P (∅) = 0
X Dado un suceso cualquiera A, P (A) = 1 − P (A).
X Para dos sucesos cualesquiera A y B se tiene
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
X Si A ⊆ B entonces P (A) ≤ P (B).
de sucesos
Probabilidad condicionada
Supongamos que lanzamos un dado y nos dicen que ha salido n´umero par, la probabilidad del suceso A=“Salir un 4” es distinta si la calcu- lamos teniendo en cuenta esta informaci´on que sin conocerla.
El grado de creencia en la ocurrencia de un suceso se puede modifi- car si tenemos informaci´on adicional sobre el experimento que pueda modificar esta convicci´on.
La valoraci´on de la ocurrencia del suceso A est´a condicionada a la ocurrencia de otro suceso B.
Definici´on 1. Dado un suceso B con P (B) 6 = 0, la probabilidad de A condicionado a B, P (A/B), se define como:
P (A/B) =
O bien, siempre que P (A) 6 = 0
De ambas se deduce:
P (A ∩ B) = P (A/B)P (B) = P (B/A)P (A)
Nota sobre la probabilidad condicionada La probabilidad condicionada es una funci´on de probabilidad y por tanto cumple todas las propiedades de estas funciones.
si A 1 ⊂ A 2 ⇒ P (A 1 /B) ≤ P (A 2 /B)
P (B/A) = 1 − P (B/A)
P (A 1 ∪ A 2 /B) = P (A 1 /B) + P (A 2 /B) − P (A 1 ∩ A 2 /B)
P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B/A)P (C/A ∩ B)
Teorema de la probabilidad compuesta o del producto:
P (A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An) = P (A 1 )P (A 2 /A 1 )... P (An/A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An− 1 )
Ejemplo 2. En un instituto el 25 % de los alumnos de un curso suspendi´o Ma- tem´aticas, el 15 % Qu´ımica y el 10 % suspendi´o las dos asignaturas. Se elige un alumno al azar.
Si el alumno suspendi´o Qu´ımica, ¿cu´al es la probabilidad de que sus- pendiera tambi´en Matem´aticas?
Si suspendi´o Matem´aticas, ¿cu´al es la probabilidad de que suspendiera Qu´ımica?
¿Cu´al es la probabilidad de que el alumno suspendiera alguna de las asignaturas?
Teorema de la probabilidad total
Sean los sucesos A 1 , A 2 , · · · , An tales que
Y son conocidas sus probabilidades:
P (Ai), i = 1, 2 ,... , n
Sea B otro suceso del espacio muestral del que se conocen
P (B/Ai), i = 1, 2 ,... , n
Entonces:
P (B) =
∑^ n
i=
P (B/Ai)P (Ai)
Ejemplo 6. El 13 % de los aut´onomos que cancelan anticipadamente abando- na la actividad para la que hab´ıa solicitado la ayuda, el porcentaje es del 45 % para los que agotan el plazo. ¿Qu´e probabilidad hay de que un aut´onomo que solicita un cr´edito abandone la actividad para la que lo solicit´o? (Utilizar la informaci´on del Ejemplo 3 que sea necesaria).
Teorema de Bayes En las condiciones del teorema anterior, el Teorema de Bayes permite cal- cular la probabilidad de que ocurra uno de los sucesos de la partici´on, Ai, condicionado a que ha ocurrido el suceso B, es decir:
P (Ai/B) =
P (B/Ai)P (Ai) P (B)
P (B/Ai)P (Ai) ∑^ n i=
P (B/Ai)P (Ai)
Ejemplo 7. Llega a solicitar informaci´on a un centro de Iniciativa Empre- sarial un aut´onomo solicitante de cr´edito que ha dejado la actividad inicial, ¿qu´e probabilidad hay de que sea un individuo que agotar´a el plazo estipulado para saldar la deuda?
