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1.- TIPOS DE MATRICES.
1.1.- Definición de matriz. Terminología. Tipos de matrices. Una matriz es una tabla de números distribuidos en filas y columnas. Se dice que es de dimensión x , es decir, tiene filas y columnas. Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y los elementos que ocupan el mismo lugar son iguales. Tipos de matrices según su forma Ejemplo Matriz fila: es una matriz que sólo tiene una fila. Matriz columna: es una matriz que sólo tiene una columna. Matriz cuadrada: es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas, x ; se dice que es de orden. Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada a los elementos. Va de izquierda a derecha y de arriba abajo. (o sólo ) Matriz simétrica: es una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son iguales, es decir,. Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son opuestos, es decir,
. Los elementos de la diagonal principal deben ser ceros. Tipos de matrices según sus elementos Ejemplo Matriz nula: es una matriz en la que todos sus elementos son cero. Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la diagonal principal son nulos. Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1. Se representa por. Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están debajo de la diagonal principal son nulos.
Matriz triangular inferior: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que están encima de la diagonal principal son nulos. 1.2.- Matriz traspuesta de una matriz. La matriz traspuesta de una matriz es la matriz que se obtiene al cambiar las filas por las columnas. Se representa por. Ejemplo: Propiedades de la traspuesta a) b) c) d) 2.- OPERACIONES CON MATRICES. 2.1.- Suma/Resta de matrices. Para sumar/restar dos matrices, éstas han de tener las mismas dimensiones, y se suman/restan elemento a elemento. Ejemplo: Propiedades de la suma de matrices a) Asociativa: b) Conmutativa: c) Matriz nula ( ): d) Matriz opuesta: es la matriz que se obtiene al cambiar todos los elementos de signo. Verifica: 2.2.- Producto de un número por una matriz. Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica el número por cada elemento de la matriz. Ejemplo: 2.3.- Producto de matrices. Producto de una matriz fila por una matriz columna. Para multiplicar una matriz fila por una matriz columna ( han de tener el mismo número de elementos ), se multiplican elemento a elemento y se suman los productos obtenidos. Se obtiene un número. Ejemplo: Producto de dos matrices. Para multiplicar dos matrices ( tiene que coincidir el número de columnas de la 1ª con el número de filas de la 2ª ), se multiplica cada fila de la 1ª matriz por cada columna de la 2ª. El resultado es una matriz que tiene tantas filas como la 1ª y tantas columnas como la 2ª. Ejemplo: Propiedades del producto de matrices a) Asociativa: b) En general, el producto de matrices no es conmutativo: Ejemplo: Por ello, tampoco serán ciertos los productos notables: no tiene por qué ser no tiene por qué ser no tiene por qué ser c) Matriz unidad ( ): d) Dada una matriz cuadrada, no siempre existe otra matriz cuadrada tal que al multiplicarla nos da la matriz unidad. (Si existe, se trata de la matriz inversa de la matriz original )
8 Una fábrica distribuye sus productos alimenticios A, B y C a cuatro países P, Q, R y S, según se describe en la matriz
M (cantidades de toneladas). Esta fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas E y F para el transporte de los productos a los países de destino, como indica la matriz N (en euros por tonelada). A B C M =
P
Q
R
S
y
P Q R S
N =
E
F
Efectúa el producto de las matrices y responde a las cuestiones: a) ¿Qué representa el elemento de la matriz producto? b) ¿Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto C con la empresa F? c) Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decidir cuál es la empresa que más barato transporta el producto B a todos los países.
9 En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas, en
rollos y aceros especiales. Estos productos requieren, por cada unidad de producto fabricado, chatarra, carbón y aleaciones en las cantidades en kilogramos que se indican en la tabla de la derecha: Láminas Rollos Especiales Chatarra 8 6 6 Carbón 6 6 4 Aleaciones 2 1 3 a) Si durante el próximo mes se desea fabricar 6 unidades de acero en láminas, 4 unidades de acero en rollo y 3 unidades de aceros especiales, obtén la matriz que indica las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones que serán necesarias. b) Si se dispone de 34 kg de chatarra, 28 kg de carbón y 8 kg de aleaciones, ¿Cuántas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos materiales?
10 Comprueba que siendo
11 Resuelve
12 Sean tres matrices tales que el producto es una matriz y el producto es una
matriz cuadrada. Calcula, razonando la respuesta, las dimensiones de.
13 Dada la matriz calcula.
14 Sean las matrices. Estudia si existe algún valor de para el cual
se satisfaga.
15 Dada la matriz calcula.
16 Resuelve el siguiente sistema matricial:
