Matrices y Determinantes: Propiedades y Aplicaciones - Prof. 19935, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Matrices y Determinantes: Propiedades y Aplicaciones - Prof. 19935 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica.

Luis J. Al´

ıas Linares Curso 2013/ Departamento de Matem´

aticas

Luis J. Al´

ıas Linares

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica

Matrices^ Una matriz

A^ de orden

m^ ×

n^ es una colecci´

on de

m^ ·^ n

n´umeros reales

ordenado en

m^ filas y

n^ columnas , de la siguiente forma:^ A^ =

⎛^ a^11 ⎜⎜⎜⎝

a 12

a^1 n a^21

a^22

...^

a^2 n

...^

...^

am^1

am^2

...^

⎞ ⎟⎟⎟⎠ amn

aes el elemento que se encuentra en la filaij^

i, columna

j.

Una matriz fila es la que tiene una sola fila:

( a^11

a^12

· · ·^

) a 1 n

y una matriz columna , la que tiene una sola columna:

⎛^ a^11 ⎜^ a^21 ⎜⎜^ ..⎝.^ am^1

Luis J. Al´

ıas Linares

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica

Matrices^ Una matriz

n^ ×^ n

(que tiene el mismo n´

umero de filas que de columnas),

se llama matriz cuadrada. En este caso:Se llama diagonal principal a los elementos (

a,^ a^11

a).nn

Una matriz es diagonal si tiene todos sus elementos nulos, exceptolos de la diagonal principal:

⎛^ −^3 ⎜⎜⎝

−^1

⎞ ⎟⎟.⎠^1

Una matriz es triangular si tiene nulos todos los elementos pordebajo de la diagonal principal. Por ejemplo:

⎛^1 ⎝

−^2

⎞ ⎠^. 1

Una matriz es sim´

etrica si

a=ij^

apara todoji^

i,^ j^ = 1

,^2 ,... ,

n.

Luis J. Al´

ıas Linares

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica

Matrices^ Ejemplo de matriz sim´

etrica:

⎛^3 ⎜⎜⎝

Luis J. Al´

ıas Linares

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica

Producto por escalares^ Dadas una matriz

m^ ×

n,^ A^

= (aij

) y un n´

umero real

λ, se define la

matriz producto de

λ^ por

A^ como la matriz

λA, definida como

λA^ =

⎛^ λa^11 ⎜⎜⎜⎝

λa

λa

1 n

λa^21

λa^22

...^

λa^2 n

...^

...^

λam^1

λam^2

...^

λamn

⎞ ⎟⎟.⎟⎠^

Propiedades:

Si^ A

y^ B^

son dos matrices del mismo orden y

λ, μ^

∈^ R, se

cumplen:^1 λ

(A^ +^

B) =

λA^ +

λB.

2 (λ^

+^ μ)A

=^ λA

+^ μA

3 λ(μ

A) = (

λμ)A

4 1 A

=^ A.

Luis J. Al´

ıas Linares

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica

Producto de Matrices^ Dadas dos matrices

A^ = (

a) de ordenij^

m^ ×^

n^ y^ B

= (b

), de ordenij

n^ ×^ k

se define la matriz producto de ambas

AB, como la matriz

C^ = (

c) deij^

orden

m^ ×

k, tal que cada elemento

cse obtiene del siguiente modo:ij^

c=^ ij^

abi^11 j

+^ a i^2

b+^2 j^

· · ·^ +

abinnj

es como si hici´

esemos el producto escalar de la fila

i-´esima por la

columna

j-´esima.

Luis J. Al´

ıas Linares

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica

Determinante de una matriz cuadrada

1 Llamamos permutaci´

on a cada reordenaci´

on de los n´

umeros del 1 al

n. 2 Dada una permutaci´

on, decimos que entre dos elementos se presenta

una inversi´

on si su orden en la permutaci´

on es opuesto al orden

cardinal 3 Por ejemplo, en la permutaci´

on (1 2 4 3) se presenta una inversi´

on

entre 4 y 3Dada una matriz cuadrada de orden

n, definimos el determinante como

det^ A

=^ |A

∑| = σ∈P

s (−1) (σ)a^1 σ

a(1)^2 σ

anσ(n

)

donde

σ^ es una permutaci´

on de 1

,... ,^

n^ y^ s

(σ) es el n´

umero de

inversiones de la permutaci´

on^ σ Luis J. Al´ıas Linares

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica

Determinante de una matriz cuadrada^ Es muy f´

acil ver que:

∣ ∣a^11 ∣ ∣^

a^12 a^21

∣ ∣ ∣ ∣a 22 =^ a^11

a−^22

aa^1221

y con un poco m´

as de trabajo podemos calcular el de orden 3: ∣ ∣^ a^11 ∣ ∣ ∣ ∣

a^12

a^13 a^21

a^22

a^23 a^31

a^32

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣a 33

=^

aa^1122

a+^33

aa^1223

a+^31

aa^1321

a^32

−aa^13

a 2231 −^ a^12

aa^2133

−^ a 11

aa^2332

que puede ser obtenida f´

acilmente a partir de la regla de Sarrus: Luis J. Al´ıas Linares

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica

Desarrollo por una l´

ınea

Usando el desarrollo por la primera fila:^ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

−^1

∣ ∣ ∣ ∣= (−∣ ∣^

2 1)·^1

∣ ∣^3 ∣ ∣^

∣ ∣−∣ 2 ∣^

4 1)·^4

∣ ∣−^1 ∣ ∣^

= 1^ ·^

−2)^ ·

·^ (−7) =

−^23

Desarrollo por la tercera columna:^ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

−^1

∣ ∣ ∣ ∣= (−∣ ∣^

4 1)·^4

∣ ∣−^1 ∣ ∣^

∣ ∣ 5 ∣· 0 ∣^

6 1)·^1

∣ ∣^1 ∣ ∣^

−^1

= 4^ ·^

·^ (−3) + 1

·^ 5 =

−^23

Luis J. Al´

ıas Linares

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica

Desarrollo por una l´

ınea

Calculemos ahora un determinante de orden 4. Desarrollo por la segundafila porque tiene dos ceros:^ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

−^1

−^1

∣ ∣ ∣ ∣ ∣^ = (−∣ ∣ ∣

−^1

∣ ∣^1 ∣ ∣ ∣ ∣

= [(0 + 8

−^ 3)^

−^ (0 + 0 + 4)] + [1 + 0 + 6)

−^ (−

1 + 2 + 0)] = 1 + 6 = 7

y los determinantes de orden 3 los hemos calculado con la regla de Sarrus.

Luis J. Al´

ıas Linares

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica

Determinante de una matriz cuadrada

4 Si todos los elementos de una l´

ınea son nulos, el determinante es

cero:^

∣ ∣^1 ∣ ∣ ∣ ∣

−^2

∣ ∣ ∣ ∣= 0∣ ∣^

5 Si dos l´

ıneas paralelas son proporcionales, el determinante es cero:

∣ ∣^1 ∣ ∣ ∣ ∣

−^2

∣ ∣ ∣ ∣= 0∣ ∣^3

6 Si una l´

ınea es combinaci´

on lineal de otras paralelas, el determinante

es cero:

∣ ∣^1 ∣ ∣ ∣ ∣

−^2

−^1

∣ ∣ ∣ ∣= 0∣ ∣^1

Luis J. Al´

ıas Linares

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica

Determinante de una matriz cuadrada

8 Si a una l´

ınea se le suma una combinaci´

on lineal de otras l´

ıneas

paralelas, el determinante no var´

ıa:

∣ ∣^1 ∣ ∣ ∣ ∣

−^2

−^1

∣ ∣ ∣ ∣=∣ ∣^1

∣ ∣^1 ∣ ∣ ∣ ∣

−^2

−^2

9 Si dos determinantes tienen iguales, respectivamente, todas sus filas(o columnas) salvo una de ellas, su suma es otro determinante quetiene las mismas filas (o columnas) iguales, con excepci´

on de la fila

(o columna) desigual, que tiene por elementos la suma de loselementos de las filas ( o columnas) desiguales:

∣ ∣^1 ∣ ∣ ∣ ∣

−^2

−^1

∣ ∣ ∣ ∣+∣ ∣^1

∣ ∣^2 ∣ ∣ ∣ ∣

−^2

−^1

∣ ∣ ∣ ∣=∣ ∣^1

∣ ∣^3 ∣ ∣ ∣ ∣

−^2

−^1

Luis J. Al´

ıas Linares

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica

Rango de una matriz^ Dada una matriz

A^ de orden

m^ ×

n, se llama menor de orden

k^ de la

matriz

A, a cualquier determinante formado por los elementos correspondientes a la intersecci´

on de

k^ filas y

k^ columnas de

A.

El rango de la matriz

A^ es el orden del mayor menor distinto de cero.

Ejemplo:

⎛^1 ⎝^

−^1

El rango de esta matriz es 2:^1 s´

olo hay un menor de orden 3 que vale 0 2 hay varios menores de orden 2 distintos de 0

Luis J. Al´

ıas Linares

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica

Rango e independencia lineal^ Decimos que un sistema de

m^ vectores

{v,... ,^1

v}^ m

nde R es linealmente

independiente si la ´

unica combinaci´

on lineal igual a cero es la trivial, esto

es, si para ciertos

α, α^1

,... , α 2

∈^ Rm , se tiene que

α·^ v^1

+^ α 1

·^ v 2 2

+^ · · ·

+^ αm

·^ v m^

entonces

α=^1

α=^2

...^ =

α= 0.m^

1 El rango de una matriz es igual al n´

umero m´

aximo de filas (o

columnas) independientes. 2 Este hecho puede comprobarse f´

acilmente a partir de las propiedades

de los determinantes y la definici´

on de independencia lineal. Luis J. Al´

ıas Linares

Geometr´

ıa y Estad´

ıstica