TEM A: determinant es
CUR SO: matemática
CIC LO: I
DOC ENTE: Alex Robert o chuñe Ignacio
ALU MNO : vierhitg ace vedo Lavall e
Faculta de ciencias
agrarias
Medicina veterinaria y
zootecnia
Universidad nacional
de tumbes
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Determinantes: Obtención y Propiedades, Apuntes de Matemáticas
Cómo obtener determinantes de matrices, su definición y propiedades importantes. Se incluyen ejemplos de determinantes 2x2, 3x3 y matrices mayores, además de las reglas de Sarrus y Cramer. Se abordan propiedades como la relación con la matriz traspuesta, filas o columnas llenas de ceros, combinación de filas, multiplicación de líneas y determinantes de matrices triangulares y diagonal. Se aplican determinantes al cálculo del rango de una matriz, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y la obtención de la matriz inversa.
Tipo: Apuntes
2021/2022
1 / 10
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TEMA: determinantes
CURSO: matemática
CICLO: I
DOCENTE: Alex Roberto chuñe Ignacio
ALUMNO: vierhitg acevedo Lavalle
Faculta de ciencias
agrarias
Medicina veterinaria y
zootecnia
Universidad nacional
de tumbes
Determinantes
Los determinantes los obtenemos de las matrices mediante simples
operaciones aritméticas.
Llamamos dimensión de una matriz al numero de filas y columnas que tiene (m
x n) y si la matriz es cuadrada tendrá el mismo numero de filas que de
columnas y la representamos por (n x n)
Determinante 2x2: el determinante de una matriz 2x2 se obtiene dibujando
una x sobre sus elementos. Primero dibujamos la diagonal que empieza por
arriba en lado izquierdo de la x (diagonal principal). Después dibujamos la
diagonal que empieza por arriba en el lado derecho de la x (diagonal
secundaria). Multiplicamos en diagonal y lo restamos. Ejemplo:
|
|
Determinante 3x3: para resolver un determinante de 3x3 usamos el método de
sarrus que nos ayudara a calcular rápidamente, la regla de sarrus consiste en
dibujar dos conjuntos de dos triángulos opuestos mediante los elementos de la
matriz. El primer conjunto serán 2 triángulos que cruzaran la diagonal principal
y el segundo conjunto serán 2 triángulos que cruzaran la diagonal secundaria.
Ejemplo:
|
|
Determinantes nxn: una matriz cuadrada como aquella que tiene igual numero
de filas que columnas.
En una matriz cuadrada nxn se llama diagonal principal a la línea formada por
los elementos cuyos subíndices de fila i columna coinciden.
Se llama triangulo superior al formado por los elementos situados por encima
de la diagonal principal.
Se llama triangulo inferior al formado por los elementos situados por debajo de
la diagonal principal. Ejemplo:
Propiedad 1: Determinante de la matriz traspuesta: el determinante de una
matriz es equivalente al determinante de su matriz traspuesta.
Trasponemos la matriz y resolvemos el determinante. Debe salir el mismo
resultado que el anterior. Ejemplo:
A
| A
t
|
[ A ]=
|
|
[ A
t
]=
|
|
[ A ]=
|
|
[ A
t
]
|
|
Propiedad 2: Determinante con una fila o columna llena de ceros: si un
determinante tiene una fila o una columna llena de ceros, el determinante da 0.
|
a
11
0 a
13
a
21
0 a
23
a
31
0 a
33
|
|
|
|
|
Propiedad 3: Determinante con dos filas o columnas iguales: si un
determinante tiene dos filas o dos columnas iguales o múltiples, el
determinante es igual a cero.
Por lo que, si existe alguna combinación lineal entre filas o columnas, es decir
son linealmente dependientes, el determinante da cero.
|
|
|
|
Propiedad 4: Cambiar filas o columnas de un determinante: si se cambian
dos filas o dos columnas entre sí, el determinante da el mismo resultado, pero
cambiado de signo.
|
a b c
d e f
g h i
|
|
a c b
d f e
g i h
|
|
|
|
|
|
|
1 + 1
[
]
|
|
2 + 1
|
|
Propiedad 5: Multiplicar una línea de una determinante por un escalar:
multiplicar todos los elementos de toda una fila o de toda una columna por un
numero real, es igual a multiplicar el resultado del determinante por dicho
número.
A =
A =
B =
B =
Propiedad 8: Sustituir la fila de un determinante: se puede sustituir la fila de
un determinante por la suma o resta. de la misma fila más o menos otra fila
multiplicada por un numero
Propiedad 9: determinante de una matriz triangular: el determinante de una
matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal.
|
|
Propiedad 10: determinante de una matriz diagonal: el determinante de una
matriz diagonal es igual a la multiplicación de los elementos de su diagonal
principal.
|
|
|
|
Aplicaciones de los determinantes
Calculo del rango de una matriz: el rango de una matriz es el numero de filas
o columnas linealmente independientes. Utilizando esta definición se puede
calcular usando el método de gauss.
También podemos decir que el rango de una matriz es el orden de la mayor
submatriz cuadrada no luna. Utilizando esta definición se puede calcular el
rango usando determinantes.
Calculo de la matriz inversa: el producto de una matriz por su inversa es igual
a la matriz identidad.
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: sistema de ecuaciones
lineales es un sistema de ecuaciones en que cada ecuación es li-neal. La
solución de un sistema es una asignación de valores para las incógnitas que
hace verdadera cada una de las ecuaciones.
5 x + 3 y = 15
4 x + 7 y = 30
∆ y =
|
|
∆ z =
|
|
x =
y =
z =