Matrius i Vectors Apunts, Apuntes de Administración de Empresas

¡Descarga Matrius i Vectors Apunts y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!

Matrius i Vectors. 1r semestre. Apunts (2014-2015)

Eric Guisado Bandr´es

19 de desembre de 2014

• 1 Espai vectorial
  • 1.1 Noci´o d’espai vectorial
  • 1.2 Dependencia i independencia lineal
    • 1.2.1 Combinaci´o lineal
    • 1.2.2 Depend`encia lineal
    • 1.2.3 Independ`encia lineal
  • 1.3 Subespais vectorials
    • 1.3.1 Definici´o de subespai
    • 1.3.2 M`etode de reducci´o
  • 1.4 Base d’un espai. Dimensi´o
    • 1.4.1 Base d’un espai
    • 1.4.2 Dimensi´o d’un espai vectorial
    • 1.4.3 Inclusi´o i dimensi´o de subespais
    • 1.4.4 Representaci´o per components
    • 1.4.5 Rang
  • 1.5 Teoremes de representaci´o de subespais per equacions
  • 1.6 Suma i intersecci´o de subespais
    • 1.6.1 Intersecci´o de subespais
    • 1.6.2 Suma de subespais
    • 1.6.3 Base de la suma i la intersecci´o
    • 1.6.4 F´ormula de Grassmann
    • 1.6.5 C`alcul de la suma de subespais
    • 1.6.6 Reconeixement d’inclusions
• 2 Matrius
  • 2.1 Definici´o, tipus i propietats fonamentals
    • 2.1.1 Producte de matrius
    • 2.1.2 Rang d’una matriu
  • 2.2 Matriu inversa. Matrius regulars
    • 2.2.1 Canvi de base en espai matricial
  • 2.3 Matrius elementals
    • 2.3.1 Reducci´o llarga
  • 2.4 Determinants
    • 2.4.1 Permutacions
    • 2.4.2 Determinants
    • 2.4.3 Aplicacions dels determinants
    • 2.4.4 Aplicaci´o a la resoluci´o de sistemes d’equacions lineals
• 3 Aplicacions lineals ´INDEX
  • 3.1 Matriu d’una aplicaci´o lineal
  • 3.2 Imatge d’una aplicaci´o lineal
  • 3.3 Nucli d’una aplicaci´o lineal

Cap´ıtol 1

Espai vectorial

1.1 Noci´o d’espai vectorial

Definici´o 1.1. Un espai vectorial ´es un conjunt d’elements amb dues operacions:

(i) interna (suma de vectors) E × E −→ E, (u, v) 7 −→ u + v, de car`acter additiu;

(ii) externa (producte per escalar ) R × E −→ E, (a, v) 7 −→ av,

que satisf`a les seg¨uents propietats:

1. Per a tots v, w, u ∈ E es verifica (v + w) + u = v + (w + u);
2. Existeix 0 ∈ E de forma que v + 0 = v per a tot v ∈ E;
3. Per a tot v ∈ E es t´e (−1)v + v = 0;
4. Per a tots v, w ∈ E, v + w = w + v.
5. Per a tot a escalar i per a tot v, w ∈ E, es compleix a(v + w) = av + aw;
6. Per a tots a, b escalars i per a tot vector v ∈ E es verifica (a + b)v = av + bv;
7. Per a tots a, b ∈ R i per a tot v ∈ E, (ab)v = a(bv);

Propietats de c`alcul: Per a tots u, v, w ∈ E i per a tot a ∈ R:

1. Si v + u = w llavors u = w − v;
2. Si v + u = v + w aleshores u = w;
3. Per a a 6 = 0, av = au aleshores v = u;
4. Si a = 0 aleshores av = 0;
5. Si v = 0 aleshores av = 0;
6. Si av = 0 aleshores a = 0 o v = 0;
7. Si au = v aleshores u = a−^1 v.

1.2 Dependencia i independencia lineal

1.2.1 Combinaci´o lineal

Definici´o 1.2. Sigui E un espai vectorial, i siguin v 1 ,... , vm ∈ E elements del mateix. Una combinaci´o lineal de v 1 ,... , vm ´es qualsevol vector de la forma a 1 v 1 +... + amvm amb a 1 ,... , am ∈ R.

Proposici´o 1.1. Siguin e 1 ,... , em equacions de n inc`ognites. Si α 1 ,... , αn ´es una soluci´o de e 1 ,... , em aleshores tamb´e ´es soluci´o de qualsevol combinaci´o lineal de e 1 ,... , em.

1.3. SUBESPAIS VECTORIALS

1.2.3 Independ`encia lineal

Definici´o 1.4. Sigui E un espai vectorial. Es diu que els vectors v 1 ,... , vm ∈ E s´on linealment independents si, i sols si, per a tot a 1 ,... , am ∈ R, donada una combinaci´o lineal a 1 v 1 +... + amvm = 0 es t´e ai = 0 per a i = 1,... , m.

En altres paraules, els vectors v 1 ,... , vm s´on linealment independents si i nom´es si qualsevol combinaci´o lineal dels mateixos ´es necess`ariament la trivial, ´es a dir, la que t´e per zeros tots els seis coeficients.

Proposici´o 1.3. Si v 1 ,... , vm s´on linealment dependents, aleshores per a vm+1,... , vr ∈ E es t´e v 1 ,... , vr linealment dependents.

Demostraci´o. Com que els vectors v 1 ,... , vm s´on linealment dependents, existeix una com- binaci´o lineal nul·la i no trivial a 1 v 1 +... + amvm = 0, on aj 6 = 0 per algun j ∈ { 1 ,... , m}. Si en la combinaci´o lineal a 1 v 1 +... + amvm + am+1vm+1 +... + arvr = 0 posem am+1 = · · · = ar = 0, obtenim a 1 v 1 +... + amvm = 0, on aj 6 = 0. aleshores els vectors s´on line- alment dependents, ja que hem trobat una combinaci´o lineal nul·la on com a m´ınim un coeficient aj no ´es zero. 

Proposici´o 1.4. Si v 1 ,... , vm s´on vectors linealment independents aleshores v 1 ,... , vr amb r 6 m s´on independents.

Demostraci´o. Suposeu que a 1 v 1 +... + arvr = 0. Prenem la combinaci´o lineal a 1 v 1 +... + arvr + 0vr+1 +... + 0vm = 0. Com que v 1 ,... , vm s´on vectors linealment independents, tots els coeficients s´on zero, aix´ı que a 1 = · · · = ar = 0. Una prova alternativa: per ambtrarec´ıproc. Suposem que v 1 ,... , vr s´on linealment dependents. Per tant, els vectors v 1 ,... , vr, vr+1,... , vm s´on linealment dependents. 

1.3 Subespais vectorials

1.3.1 Definici´o de subespai

Definici´o 1.5. Sigui F un subconjunt no buit d’un espai vectorial E. Es diu que F ´es un subespai vectorial o subespai de E si i nom´es si per a tots v, w ∈ F es satisf`a v + w ∈ F , i si per a tot λ ∈ R λv ∈ F si v ∈ F.

Observaci´o 1.1. En particular es t´e que E ´es un subespai de ell mateix. Noteu que el conjunt { 0 } ´es un subespai de qualsevol espai vectorial E, on 0 ´es l’element neutre respecte la suma.

El subespai generat per totes les combinacions lineals d’uns vectors v 1 ,... , vm ∈ E es denota 〈v 1 ,... , vm〉. Per tant,

〈v 1 ,... , vm〉 = {v ∈ E : v = a 1 v 1 +... + amvm, ai ∈ R, i = 1,... , m}.

La definici´o de subespai es d´ona de vegades en els seg¨uents termes: donat F subconjunt d’un espai vectorial E, F es diu subespai si i nom´es si per a tots v 1 ,... , vm ∈ F es t´e a 1 v 1 +... + amvm ∈ F per a tot ai ∈ R, on i = 1,... , m. No obstant, aquesta definici´o no ´es tan ´util com la primera.

Definici´o 1.6. Si u 1 ,... , us ∈ E, es diu que u 1 ,... , us generen l’espai vectorial E si, i nom´es si, per a tot v ∈ E es satisf`a v = a 1 u 1 +... + asus per a certs aj ∈ R, on j = 1,... , s.

1.4. BASE D’UN ESPAI. DIMENSI O´

Per exemple, l’espai dels polinomis de grau menor o igual que d. Aquest espai t´e com a generadors a 1, x,... , xd, perqu`e tot polinomi P (x) de grau menor o igual a d s’escriu de forma ´unica com P (x) = a 0 1 + a 1 x +... + adxd.

Proposici´o 1.5. Si un subespai F cont´e a v 1 ,... , vm ∈ E, aleshores 〈v 1 ,... , vm〉 ⊂ F.

Demostraci´o. La demostraci´o ´es una conseq¨u`encia immediata de la definici´o de subes- pai. Donat que F ´es un subespai i cont´e als vectors v 1 ,... , vm, tamb´e cont´e qualsevol combinaci´o dels mateixos, per la qual cosa a 1 v 1 +... + amvm ∈ F per a tot ai ∈ R, i = 1,... , m. 

1.3.2 M`etode de reducci´o

Donats els vectors v 1 ,... , vm ∈ E, on E ´es un espai vectorial. Realitzem el seg¨uent proc´es, amb a^11 6 = 0 (llevat reordenaci´o):

v 1 = a^11... an 1 v 2 = a^12... an 2 .. . vm = a^1 m · · · anm

v′ 1 = v 1 = a^11... an 1 v′ 2 = v 2 − a

(^12) a^11 v^1 =^0...^ a

n 2 −^

a^12 a^11 a

n 1 .. . v′ m = vm − a

(^1) m a^11 v^1 =^0 · · ·^ a

nm − a^12 a^11 a

n 1

Es realitza el mateix proc´es amb els vectors v 2 ′,... , v′ m, i despr´es amb els vectors v 3 ′′ ,... , v m′′, i aix´ı succesivament. Al final s’obtenen els vectors u 1 ,... , um, que formen un triangle de zeros sota la diagonal, pero de manera que poden apareixer files senceres de zeros. En funci´o de si m > n o m < n tenim el seg¨uent:

u 1 = b^11 · · · · · · b^1 m · · · bn 1 u 2 = 0

um = 0 · · · 0 bmm · · · bnm

u 1 = b^11 · · · · · · bn 1 u 2 = 0

un = 0 · · · 0 bnn un+1 = 0 · · · · · · 0 .. .

um = 0 · · · · · · 0

els vectors vi els ui dels quals no s´on files de zeros s´on, presos en la totalitat del conjunt o en un subconjunt d’ells, vectors linealment independents. Per tant, els vectors u 1 ,... , um s´on linealment independents si i nom´es si no s’obt´e cap fila de zeros despr´es de reduir, o sigui, ui 6 = 0 per a i = 1,... , m. Si m > n aleshores sempre s’obt´e m − n vectors nuls. Per tant, podem escrivir-los com a combinaci´o lineal nul·la dels altres, sense que els coeficients de la mateixa siguin tot zeros, ´es a dir, sense que sigui la trivial. D’aquesta manera, doncs, veiem que amb m > n els vectors u 1 ,... , um s´on sempre linealment dependents.

1.4 Base d’un espai. Dimensi´o

1.4.1 Base d’un espai

Sigui E un espai vectorial i siguin e 1 ,... , en elements de E.

Definici´o 1.7. Els vectors e 1 ,... , en s´on una base de E si i nom´es si: (1) s´on linealment independents; (2) Generen tot l’espai.

1.4. BASE D’UN ESPAI. DIMENSI O´

1.4.2 Dimensi´o d’un espai vectorial

Definici´o 1.8. La dimensi´o d’un espai vectorial E (que denotem amb dim E), ´es el n´umero d’elements d’una base de l’espai.

Corol·lari 1.1. Si un espai vectorial E t´e dimensi´o n, qualssevol vectors w 1 ,... , wr amb r > n s´on linealment dependents.

Corol·lari 1.2. Sigui E un espai vectorial (amb base finita). Si v 1 ,... , vr s´on linealment independents, aleshores existeixen vr+1,... , vn tals que v 1 ,... , vr, vr+1,... , vn s´on base de E.

Demostraci´o. Donats v 1 ,... , vr linealment independents, podem considerar dues possibi- litats: (a) Si generen tot l’espai, i en aquest cas s´on base. (b) Si no el generen, prenem vr+1 ∈ E \ 〈v 1 ,... , vr〉. Prenem tamb´e la combinaci´o lineal nul·la

∑^ r

i=

aivi + ar+1vr+1 = 0.

donat que vr+1 no ´es combinaci´o lineal de la resta, ar+1 es obligatoriamente 0. S’obt´e aix´ı que a 1 v 1 +... + arvr = 0, aix´ı que a 1 = · · · = ar = 0. Per tant, v 1 ,... , vr+1 s´on linealment independents. Amb els nous vectors v 1 ,... , vr, vr+1 tornem a distingir els casos (a) i (b). El corol·lari 4.1 ens garanteix que arribar`a un moment en el que r + k > dim E, i aleshores els vectors seran linealment dependents i, per tant, tindrem per la for¸ca l’opci´o (a). 

Corol·lari 1.3. Siguin v 1 ,... , vm vectors d’un espai vectorial E. Si s´on linealment inde- pendents, aleshores m 6 dim E.

Corol·lari 1.4. Siguin v 1 ,... , vm vectors linealment independents de E i sigui m = dim E. Aleshores, v 1 ,... , vm formen una base de E.

S’obt´e del corol·lari 4.2: donat que m = dim E no es pot ampliar a un conjunt de vectors independents i, per tant, formen una base.

Corol·lari 1.5. Qualsevol sistema de generadors d’un espai vectorial E cont´e una base del mateix.

Demostraci´o. Considerem el sistema de generadors v 1 ,... , vm. Eliminant els zeros seguim generant el mateix espai. Suposeu, doncs, que vi 6 = 0, per a tot i amb 1 6 i 6 m. Si v 1 ,... , vm s´on independents aleshores formen una base. Si s´on dependents, aleshores hi ha, com a m´ınim, un que s’escriu com combinaci´o lineal dels altres. Suposeu llevat reordenaci´o que

vm =

m∑− 1

i=

aivi,

per alguns ai, i = 1,... , m − 1. Es evident que´ 〈v 1 ,... , vm− 1 〉 ⊂ 〈v 1 ,... , vm〉. Per altra banda, si u =

∑m i=1 bivi, aleshores

u =

m∑− 1

i=

bivi + bm

m∑− 1

i=

aivi =

m∑− 1

i=

(bi + bmai)vi.

1.4. BASE D’UN ESPAI. DIMENSI O´

Per tant, 〈v 1 ,... , vm〉 ⊂ 〈v 1 ,... , vm− 1 〉. Les dues inclusions impliquen 〈v 1 ,... , vm〉 = 〈v 1 ,... , vm− 1 〉. Si v 1 ,... , vm− 1 s´on independents, aleshores formen una base. Si no ho s´on, el proc´es es torna a repetir, fins obtenir vectors linealment independents. El proc´es s’ha d’acabar en algun moment perqu`e un ´unic vector sempre ´es linealment independent. 

Corol·lari 1.6. Sigui v 1 ,... , vm un sistema de generadors de E, aleshores m > dim E.

Corol·lari 1.7. Sigui v 1 ,... , vm un sistema de generadors d’un espai vectorial E i m = dim E, aleshores s´on base de E.

Demostraci´o. El corol·lari 4.5 ens diu que com que v 1 ,... , vm s´on un sistema de generadors de E, aquests contenen una base. Com que el n´umero d’elements d’una base ´es m = dim E i tenim m elements, aleshores s´on necess`ariament una base de E. 

Lema 1.2. Siguin v, v 1 ,... , vm vectors linealment dependents i siguin v 1 ,... vm linealment independents. Aleshores v ´es combinaci´o lineal de v 1 ,... , vm.

Demostraci´o. Ho demostrem per absurd: suposeu que v, v 1 ,... , vm s´on vectors linealment dependents i v 1 ,... , vm linealment independents. Suposem que v no ´es combinaci´o lineal de v 1 ,... , vm. Tenim la combinaci´o lineal seg¨uent:

av + a 1 v 1 +... + amvm = 0.

Donat que v no es combinaci´o lineal de v 1 ,... , vm, tenim a = 0, aix´ı que a 1 v 1 +.. .+amvm =

1. Per tant, existeix aj 6 = 0, amb 1 6 j 6 m. No obstant, si aixo es aix´ı aleshores v 1 ,... , vm s´on linealment dependents, i aixo contradiu la nostra hip`otesi. 

1.4.3 Inclusi´o i dimensi´o de subespais

Como hem definit, la dimensi´o d’un espai ´es el nombre d’elements de la base (finita). Per conveni, l’espai vectorial l’´unic element del qual ´es 0, o sigui, { 0 }, i nom´es aquest, es diu que t´e dimensi´o 0. Per tant, dim E = 0 si i solament si E = { 0 }.

Proposici´o 1.6. Siguin F 1 , F 2 subespais d’un espai vectorial E. (a) Si F 1 ⊂ F 2 , aleshores dim F 1 6 dim F 2. (b) Si F 1 ⊂ F 2 i dim F 1 = dim F 2 aleshores F 1 = F 2.

Demostraci´o. (a) Suposeu que F 1 ⊂ F 2 i que e 1 ,... , ek ´es una base de F 1. aleshores, e 1 ,... , ek s´on vectors linealment independents en F 2 , aix´ı que k 6 dim F 2. (b) Al que hem obtingut afegim el fet que dim F 1 = dim F 2. Llavors, k = dim F 2 i, per tant, com que e 1 ,... , ek s´on vectors de F 2 linealment independents i en n´umero igual a la dimensi´o de F 2 , s´on base de F 2. Donat que els dos subespais tenen la mateixa base, F 1 = F 2. 

1.4.4 Representaci´o per components

Reformulem la definici´o de base.

Definici´o 1.9. Una base d’un espai vectorial E ´es un conjunt ordenat de vectors e 1 ,... , en independents i generadors de E.

Definici´o 1.10. Sigui v ∈ E i sigui e 1 ,... , en una base de E (l’ordre dels vectors ´es vital). Les components a 1 ,... , an en la base e 1 ,... , en s´on aquelles que verifiquen a 1 e 1 +... + anen = v.

1.5. TEOREMES DE REPRESENTACI O DE SUBESPAIS PER EQUACIONS´

1.5 Teoremes de representaci´o de subespais per equacions

Fixada una base e 1 ,... , en d’un espai vectorial E, un vector

v = a 1 e 1 +... + anen ←→ (a 1 ,... , an),

que recordem es representa biun´ıvocament per les seves components a 1 ,... , an, pertany al subespai de solucions d’un sistema d’equacions si i nom´es si les seves components s´on soluci´o del sistema.

Teorema 3. Si S ´es un sistema homogeni de rang r, les solucions de S en un espai vectorial E de dimensi´o n formen un subespai de dimensi´o n − r.

Corol·lari 1.8. Una base del subespai resulta de donar succesivament valor 1 a una variable lliure i zeros a la resta, i repetir el proc´es per a cadascuna de les variables lliures.

Teorema 4. Donat F ⊂ E subespai de dimensi´o d, existeix un sistema de n − d equacions independents lineals homog`enies les solucions del qual s´on els vectors de F.

Demostraci´o. Suposeu que tenim una base de F obtinguda per mitj`a de reducci´o:

v 1 = (a^11 , a^12 ,... , a^1 d, a^1 d+1,... , a^1 n) v 2 = (0, a^22 ,... , a^1 d, a^1 d+1,... , a^1 n) .. . vd = (0,... , 0 , add, a^1 d+1,... , a^1 n)

de forma que aii 6 = 0 per a i = 1,... , d, i amb els elements per sota de la diagonal nuls. Donat el vector (x 1 ,... , xd, xd+1,... , xn) = v, aleshores v ∈ F si i nom´es si v 1 ,... , vd, v s´on linealment dependents, o sigui, si la reducci´o de v 1 ,... , vd, v d´ona una fila de zeros. La ´ultima fila es redueix a

0 = v − x 1 a^11

v 1 −... − xd add

vd =

0 ,... , 0 , xd+1 −

∑ (^) xi aii

aid+1,... , xn −

∑ (^) xi aii

ain

d’on obtenim xd+1 =

i

xi aii

aid+1,... , xn =

i

xi aii

ain,

´es a dir, obtenim n − d equacions, independents perque cada una d’elles t´e una incognita que les altres no tenen. 

Teorema 5. El conjunt de solucions (α 1 ,... , αn) d’un sistema de n equacions no homogeni, donada una soluci´o (β 1 ,... , βn) del mateix, es el conjunt format pels vectors (β 1 ,... , βn)+ (γ 1 ,... , γn), on cada (γ 1 ,... , γn) ´es una soluci´o del sistema homogeni associat.

1.6 Suma i intersecci´o de subespais

1.6.1 Intersecci´o de subespais

Com hem vist amb anterioritat, donat un espai vectorial E de dimensi´o n, les inclusiones F 1 ⊂ F 2 entre subespais de E verifiquen dim F 1 6 dim F 2 , i tamb´e que la igualtat F 1 = F 2 es d´ona si dim F 1 = dim F 2 , ´es a dir,

F 1 ⊂ F 2 , dim F 1 = dim F 2 =⇒ F 1 = F 2.

Tamb´e sabem que la intersecci´o F 1 ∩ F 2 ´es subespai si F 1 i F 2 s´on subespais, i que F 1 ∩ F 2 ´es el major subespai contingut per F 1 i F 2.

1.6. SUMA I INTERSECCI O DE SUBESPAIS´

1.6.2 Suma de subespais

Sorgeix la necessitat de definir el menor subespai que cont´e a F 1 i F 2.

Definici´o 1.12. La suma de dos subespais F 1 + F 2 ´es el conjunt de vectors que s’obt´e de sumar un vector de F 1 i un vector de F 2 , o sigui,

F 1 + F 2 = {v = v 1 + v 2 | vi ∈ Fi i = 1, 2 }.

Proposici´o 1.8. Siguin F 1 , F 2 dos subespais. Aleshores F 1 + F 2 ´es subespai.

Demostraci´o. La demostraci´o ´es una conseq¨u`encia immediata de l’asociaci´on de la suma i la distribuci´o del producto per escalar respecte a la suma. Evidentment F 1 + F 2 6 = ∅. Llavors, donat v ∈ F 1 + F 2 , w ∈ F 1 + F 2 , amb v = v 1 + v 2 , w = w 1 + w 2 , on vi, wi ∈ Fi per a i = 1, 2, el vector v + w = (v 1 + w 1 ) + (v 2 + w 2 ) ∈ F 1 + F 2 ; i λv = λv 1 + λv 2 ∈ F 1 + F 2 per a λ ∈ R. 

Proposici´o 1.9. Si F 1 , F 2 s´on subespais, llavors F 1 ⊂ F 1 + F 2 i F 2 ⊂ F 1 + F 2.

Demostraci´o. Prenem v 1 ∈ F 1 arbitrari, i com que 0 ∈ F 2 , tenim v 1 = v 1 + 0 ∈ F 1 + F 2. Rec´ıprocament obtenim v 2 ∈ F 1 + F 2 , per a v 2 ∈ F 2. 

1.6.3 Base de la suma i la intersecci´o

Les operacions de suma e intersecci´o de subespais verifiquen les propiedades associativa i commutativa, de forma que si F, G, H s´on subespais aleshores, per a la suma: F +(G+H) = (F +G)+H, i F +G = G+F ; i per a la intersecci´o: F ∩G = G∩F i F ∩(G∩H) = (F ∩G)∩H.

Observaci´o 1.4. L’espai generat per v 1 ,... , vm equival a la suma dels espais que genera cada vi, per a i = 1,... , m, o sigui,

〈v 1 ,... , vm〉 = 〈v 1 〉 +... + 〈vm〉.

1.6.4 F´ormula de Grassmann

Siguin F i G dos subespais de dimensi´o r i s respectivament. Sigui e 1 ,... , ed una ba- se de F ∩ G. Els vectors e 1 ,... , ed ∈ F independents els ampliem a una base de F , e 1 ,... , ed, vd+1,... , vr, i els ampliem tamb´e a una base de G, e 1 ,... , ed, wd+1,... , ws.

Proposici´o 1.10. Els vectors e 1 ,... , ed, vd+1,... , vr, wd+1,... , ws s´on base de F + G.

Demostraci´o. Sigui v ∈ F + G un vector de la forma v = v 1 + v 2 , on v 1 ∈ F i v 2 ∈ G. Tenim

v 1 = a 1 e 1 +... + aded + ad+1vd+1 +... + arvr, v 2 = b 1 e 1 +... + bded + bd+1vd+1 +... + brvr.

Per tant, v 1 +v 2 =

∑d 1 (ai+bi)ei+

∑r d+1 aivi+

∑s d+1 biwi, aix´ı que^ e^1 ,... , ed, vd+1,... , vr, wd+1,... , ws generen F 1 + F 2. ara cal provar que s´on independents. Suposeu que tenim una combinaci´o lineal nul·la ∑d

1

λiei +

∑^ r

d+

μivi +

∑^ s

d+

αiwi = 0.

1.6. SUMA I INTERSECCI O DE SUBESPAIS´

(i) Tenim equacions de F i equacions de G. Sabem que la intersecci´o s’obt´e de reduir les equacions de F i G. Formem un sistema d’equacions amb les equacions de F i les de G, i redu¨ım. Si el rang no varia aleshores no canvien les dimensions, o sigui, dim F ∩G = dim F. (ii) Si v 1 ,... , vj s´on base F i w 1 ,... , ws s´on base G, aleshores el rang de {w 1 ,... , ws} ´es igual al rang de {v 1 ,... , vj , w 1 ,... , ws} si i nom´es si dim G = dim F + G.

Definici´o 1.13. Donats F i G subespais, es diu que la suma dels dos ´es una suma directa si i nom´es si F ∩ G = { 0 }. Si ´es directa aleshores es denota F + G = F ⊕ G.

Proposici´o 1.11. Perqu`e la suma dels subespais F i G sigui directa ´es necessari i suficient que per a tot v ∈ F + G l’expressi´o v = v 1 + v 2 , amb v 1 ∈ F i v 2 ∈ G sigui ´unica.

Demostraci´o. La necessitat: suposem que l’expressi´o ´es ´unica, aleshores per a tot v ∈ F ∩G tenim v = 0 + v = v + 0. Donat que les dues expressions han de ser la mateixa, v = 0. Per tant, F ∩ G = { 0 }. La sufici`encia: suposeu que F i G ´es una suma directa i que v ∈ F + G tal que v = v 1 +v 2 = w 1 +w 2 , on v 1 , w 1 ∈ F i v 2 , w 2 ∈ G. Aleshores denotant u = v 1 −w 1 = w 2 −v 2 veiem que u ∈ F i u ∈ G, aix´ı que u ∈ F ∩ G = { 0 }. Aix´ı doncs, v 1 − w 1 = w 2 − v 2 = 0 d’on v 1 = w 1 i v 2 = w 2. 

Proposici´o 1.12. Siguin F, G ⊂ H subespais. Dues qualssevol de les condicions seg¨uents impliquen la restant: 1) H = F + G;

2. F ∩ G = { 0 };
3. dim H = dim F + dim G.

Demostraci´o. En primer lloc, 1 i 2 impliquen 3. En efecte: per la f´ormula de Grassmann tenim dim H = dim F + G = dim F + dim G − dim F ∩ G. Com que dim F ∩ G = 0 obtenim dim H = dim F + dim G. En segon lloc, 1 i 3 impliquem 2. En efecte: per la f´ormula de Grassmann tenim dim H = dim F + dim G − dim F ∩ G = dim F + dim G. D’aqu´ı obtenim dim F ∩ G = 0, i aix`o succeeix si i nom´es si F ∩ G = { 0 }. 

Cap´ıtol 2

Matrius

2.1 Definici´o, tipus i propietats fonamentals

Definici´o 2.1. Definim una matriu M de dimensions n × m com un objecte matem`atic format per un conjunt d’elements disposats en n files i m columnes de la seg¨uent manera:

M =

a^11 · · · a^1 m .. .

an 1 · · · am 1

 (^) = (aij ) (^) i=1,...,n j=1,...,m

Quan se sobreentenguin les dimensions escriurem simplement M = (aij ).

Tipus de matrius

Es d’especial import`^ ´ ancia definir dos matrius: la matriu nul·la o matriu 0, definida de la seg¨uent manera: 0 = (aij ) si i nom´es si aij = 0 per a i = 1,... , n, j = 1,... , m; la matriu identitat (tamb´e anomenada matriu unitat), que ´es una matriu quadrada definida per: I = (aij ) si i nom´es si aij =

0 si i 6 = j 1 si i = j Quan n = m, ´es a dir, quan el nombre de files coincideix amb el nombre de columnes, parlem d’una matriu quadrada. Distingim els seg¨uents tipus:

(a) Matriu diagonal. A = (aij ) ´es una matriu diagonal si i nom´es si aij = 0 per a tot i 6 = j i, j = 1,... , n.

(b) Matriu triangular superior (inferior). A = (aij ) ´es una matriu triangular superior (inferior) si i nom´es si aij = 0 si i > j (respectivament, i < j).

(c) Matriu simetrica. A = (aij ) ´es una matriu simetrica si i nom´es si aij = aji per a i, j = 1,... , n.

(d) Matriu antisimetrica. A = (aij ) ´es una matriu antisimetrica si i nom´es si aij = −aji per a i, j = 1,... , n.

Noteu que en una matriu antisim`etrica aii = 0, per a i = 1,... , n, ja que aii = −aii i, doncs, 2 aii = 0.

2.1. DEFINICI O, TIPUS I PROPIETATS FONAMENTALS´

D’altra banda, tenim que l’element fila r columna k del producte (AB)C ´es

[(AB)C]rk =

i

(AB)rj cjk =

j

i

ari bij

cjk =

i,j

ari bij cjk.

Les dues expressions coincideixen, com vol´ıem veure.

(2) Distributiva: A(B + C) = AB + AC.

Prenem l’element fila i columna j de la matriu A(B + C), o sigui

[A(B + C)]ij =

k

aik(bkj + ckj ) =

k

aikbkj +

k

aikckj = [AB] + [AC]ij = [AB + AC]ij.

Per tant, A(B + C) = AB + AC com vol´ıem demostrar.

(3) Unitat: IA = A i AI = A.

Denotem I = (δji ). Prenem l’element fila i columna j de la matriu InA. Aquest ´es ∑

k

δikakj = δii aij = aij ,

perque si k 6 = i aleshores δik = 0. La demostraci´o per a la multiplicaci´o per la dreta ´es analoga.

(4) Distributiva per un factor. (λA)B = λ(AB), per a λ ∈ R.

L’element fila i columna j de (λA)B ´es ∑

k

(λaik)bkj = λ

k

aikbkj ,

que ´es λ per l’element fila i columa j de AB, com vol´ıem veure.

(5) element nul : 0A = 0 i A0 = 0.

L’element fila i columna j de 0A ´es ∑

k

(0)ikakj =

k

0 · akj = 0.

(6) Matriu transposada: (AB)T^ = BT^ AT^. Calculem en primer lloc, l’element fila i co- lumna j de la matriu (AB)T^. Tenim

[AB]ji =

k

ajkbki , d’on [(AB)T^ ]ij =

k

ajkbki.

En segon lloc, l’element fila i columna j de BT^ AT^. Tenim BT^ = (b i j ) on^ b

i j =^ b

j i , i AT^ = aij on aij = aji. Per tant,

[BT^ AT^ ]ij =

k

bikakj =

k

bki ajk =

k

ajkbki ,

que coincideix amb l’element fila i columna j de (AB)T^ , com vol´ıem veure.

2.2. MATRIU INVERSA. MATRIUS REGULARS

2.1.2 Rang d’una matriu

Anteriorment vam definir el rang per files d’una matriu com la dimensi´o de l’espai generat per les files de la matriu. Definim el rang per columnes d’una matriu com la dimensi´o de l’espai generat per les columnes de la matriu. El rang d’una matriu, que denotem rang A o rg A, ´es el rang per les files de la mateixa.

Teorema 7. Sigui A una matriu. El rang per files de A ´es el rang per columnes de A.

Observeu que el rang per columnes d’una matriu A ´es el rang per files de la seva matriu transposada AT^. Aix´ı doncs, hem de provar que rang A = rang AT^.

Demostraci´o. Suposem que A t´e n files i m columnes. Si expressem A com A = (A 1... Am), on

Ai =

a^1 i .. . ani

per a i = 1,... , m, aleshores

AX = A

(x 1 .. . xm

= A 1 x 1 +... + Amxm.

Sigui r el rang per files de A. Es compleix AX = 0 si i nom´es si   

a^11 x 1 +... + a^1 mxm = 0 .. . an 1 x 1 +... + anmxm = 0

Aquest ´es un sistema homogeni de rang r i m inc`ognites, aix´ı que t´e m−r variables lliures. Si ara redu¨ım el sistema d’equacions, obtindrem les seg¨uents solucions independents

(α^11... α^1 r 1 0 · · · 0) (α^21... α^2 r 0 1 · · · 0) .. . (αm 1 −r... αmr −r 0 0 · · · 1)

Obtenim aleshores que Ar+1 ´es combinaci´o lineal de A 1 ,... , Ar, Ar+2 ´es combinaci´o li- neal de A 1 ,... , Ar... i Am ´es combinaci´o lineal de A 1 ,... , Ar. Com que A 1 ,... , Ar s´on independents, Ai ∈ 〈A 1 ,... , Ar〉, i = r + 1,... , m. D’aqu´ı s’obt´e que tota matriu A verifica que el rang per columnes de A ´es m´es petit o igual que el rang per files de A, i que el rang per columnes de AT^ ´es m´es petit o igual que el rang per files de AT^. Com que el rang per files de A ´es el rang per columnes de AT^ , i el rang per columnes de A ´es el rang per files de AT^ , obtenim que el rang per files de A ´es igual al rang per columnes de A. 

2.2 Matriu inversa. Matrius regulars

Matriu inversa

Definici´o 2.4. Sigui A una matriu. Diem que una matriu B ´es matriu inversa de A si i nom´es si BA = AB = I.

Noteu que perque una matriu tingui inversa ´es necessari que sigui quadrada, pero no ´es suficient.