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Apuntes de L´ogica Matem´atica

1. L´ogica de Proposiciones

Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

C´adiz, Abril de 2005

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

ii

Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

La estrecha relaci´on existente entre la matem´atica moderna y la l´ogica formal es una de sus caracter´ısticas fundamentales. La l´ogica aristot´elica era insuficiente para la creaci´on matem´atica ya que la mayor parte de los argumentos utilizados en ´esta contienen enunciados del tipo “si, entonces”, absolutamente extra˜nos en aquella.

En esta primera lecci´on de l´ogica estudiaremos uno de los dos niveles en los que se desenvuelve la moderna l´ogica formal: la l´ogica de enunciados o de proposiciones.

1.1 Proposiciones y Tablas de Verdad

En el desarrollo de cualquier teor´ıa matem´atica se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.

1.1.1 Proposici´on

Llamaremos de esta forma a cualquier afirmaci´on que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.

Ejemplo 1.1 Las siguientes afirmaciones son proposiciones.

(a) Gabriel Garc´ıa M´arquez escribi´o Cien a˜nos de soledad.

(b) 6 es un n´umero primo.

(c) 3+2=

(d) 1 es un n´umero entero, pero 2 no lo es. 

Nota 1.1 Las proposiciones se notan con letras min´usculas, p, q, r...... La notaci´on p :Tres m´as cuatro es igual a siete se utiliza para definir que p es la proposici´on “tres m´as cuatro es igual a siete”.

Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no pueden descomponerse en otras.

Ejemplo 1.2 Las siguientes no son proposiciones.

(a) x + y > 5

(b) ¿Te vas?

(c) Compra cinco azules y cuatro rojas.

(d) x = 2

Soluci´on

En efecto, (a) es una afirmaci´on pero no es una proposici´on ya que ser´a verdadera o falsa dependiendo de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmaci´on (d). Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones. 

Desde el punto de vista l´ogico carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados, solamente interesa su valor de verdad.

L´ogica Matem´atica Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

1.1.2 Valor de Verdad

Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposici´on a su veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposici´on verdadera es verdad y el de una proposici´on falsa es falso.

Ejemplo 1.3 D´ıgase cu´ales de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de verdad de aquellas que lo sean.

(a) p: Existe Premio Nobel de inform´atica.

(b) q: La tierra es el ´unico planeta del Universo que tiene vida.

(c) r: Teclee Escape para salir de la aplicaci´on.

(d) s: Cinco m´as siete es grande.

Soluci´on

(a) p es una proposici´on falsa, es decir su valor de verdad es Falso.

(b) No sabemos si q es una proposici´on ya que desconocemos si esta afirmaci´on es verdadera o falsa.

(c) r no es una proposici´on ya que no es verdadera ni es falsa. Es un mandato.

(d) s no es una proposici´on ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo. En efecto, cinco ni˜nas m´as siete ni˜nos es un n´umero grande de hijos en una familia, sin embargo cinco monedas de cinco cinco c´entimos m´as siete monedas de un c´entimo no constituyen una cantidad de dinero grande. 

1.1.3 Proposici´on Compuesta

Si las proposiciones simples p 1 , p 2 ,... , pn se combinan para formar la proposici´on P , diremos que P la es una proposici´on compuesta de p 1 , p 2 ,... , pn.

Ejemplo 1.4 “La Matem´atica Discreta es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor” es una proposici´on compuesta por las proposiciones “La Matem´atica Discreta es mi asignatura preferida” y “Mozart fue un gran compositor”.

“El es inteligente o estudia todos los d´ıas” es una proposici´on compuesta por dos proposiciones: “El es inteligente” y “El estudia todos los d´ıas”. 

Nota 1.2 La propiedad fundamental de una proposici´on compuesta es que su valor de verdad est´a completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen junto con la forma en que est´an conectadas.

1.1.4 Variables de Enunciado

Es una proposici´on arbitraria con un valor de verdad no especificado, es decir, puede ser verdad o falsa.

En el c´alculo l´ogico, prescindiremos de los contenidos de los enunciados y los sustituiremos por variables de enunciado. Toda variable de enunciado p, puede ser sustituida por cualquier enunciado siendo sus posibles estados, verdadero o falso. El conjunto de los posibles valores de una proposici´on p, los representaremos en las llamadas tablas de verdad, ideadas por L.Wittgenstein^1.

(^1) Ludwig Wittgenstein (Viena 1889-Cambridge 1951), nacionalizado brit´anico en 1938. Estudi´o Ingenier´ıa Mec´anica en

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1.2.2 Disyunci´on

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunci´on de ambas a la proposici´on com- puesta “p ´o q” y la notaremos p ∨ q. Esta proposici´on ser´a verdadera si al menos una de las dos p ´o q lo es.

De acuerdo con la definici´on dada se sigue que si una de las dos, p ´o q, es verdad entonces p ∨ q es verdad y que p ∨ q ser´a falsa, ´unicamente si ambas lo son. Su tabla de verdad ser´a, por tanto,

p q V V V F F V F F

p ∨ q V V V F

Al igual que en la conjunci´on, podemos razonar en sentido inverso. En efecto, si p ∨ q es verdad, entonces una de las dos, al menos, ha de ser verdad y si p ∨ q es falsa, entonces ambas han de ser falsas. 

La palabra “o” se usa en el lenguaje ordinario de dos formas distintas. A veces se utiliza en el sentido de “p ´o q, ´o ambos”, es decir, al menos una de las dos alternativas ocurre y, a veces es usada en el sentido de “p ´o q, pero no ambos” es decir, ocurre exactamente una de de las dos alternativas.

Por ejemplo, la proposici´on “El ir´a a Madrid o a Bilbao” usa “o” con el ´ultimo sentido. A este tipo de disyunci´on la llamaremos disyunci´on exclusiva.

1.2.3 Disyunci´on Exclusiva

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunci´on exclusiva de ambas a la proposici´on compuesta “p ´o q pero no ambos” y la notaremos p Y q. Esta proposici´on ser´a verdadera si una u otra, pero no ambas son verdaderas.

Seg´un esta definici´on una disyunci´on exclusiva de dos proposiciones p y q ser´a verdadera cuando tengan distintos valores de verdad y falsa cuando sus valores de verdad sean iguales. Su tabla de verdad es, por tanto,

p q V V V F F V F F

p Y q F V V F

Haciendo el razonamiento contrario si p Y q es verdad, ´unicamente podemos asegurar que una de las dos es verdad y si p Y q es falsa, s´olo podemos deducir que ambas tienen el mismo valor de verdad. 

Nota 1.3 Salvo que especifiquemos lo contrario, “o” ser´a usado en el primero de los sentidos. Esta discusi´on pone de manifiesto la precisi´on que ganamos con el lenguaje simb´olico: p ∨ q est´a definida por su tabla de verdad y siempre significa p y/´o q.

1.2.4 Negaci´on

Dada una proposici´on cualquiera, p, llamaremos “negaci´on de p” a la proposici´on “no p” y la notare- mos ¬p. Ser´a verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.

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La tabla de verdad de esta nueva proposici´on, ¬p, es:

p V F

¬p F V

De esta forma, el valor verdadero de la negaci´on de cualquier proposici´on es siempre opuesto al valor verdadero de la afirmaci´on original. 

Ejemplo 1.6 Estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

p 1 : El Pentium es un microprocesador.

p 2 : Es falso que el Pentium sea un microprocesador.

p 3 : El Pentium no es un microprocesador.

p 4 : 2 + 2 = 5

p 5 : Es falso que 2 + 2 = 5

p 6 : 2 + 2 = 4

Soluci´on

X p 2 y p 3 son, cada una, la negaci´on de p 1.

X p 5 y p 6 son, cada una, la negaci´on de p 4.

Pues bien, de acuerdo con la tabla de verdad para la negaci´on, tendremos:

X p 1 es verdad, luego p 2 y p 3 son falsas.

X p 4 es falsa, luego p 5 y p 6 son verdad.

Ejemplo 1.7 Construir la tabla de verdad de la proposici´on ¬(p ∧ ¬q).

Soluci´on

p q ¬q p ∧ ¬q V V F F V F V V F V F F F F V F

¬ (p ∧ ¬q) V F V V

Existen proposiciones que son verdaderas (falsas) simplemente por su forma l´ogica y no por su contenido.

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“p s´olo si q”.

“q si p”.

“p es una condici´on suficiente para q”.

“q es una condici´on necesaria para p”.

“q se sigue de p”.

“q a condici´on de p”.

“q es una consecuencia l´ogica de p”.

“q cuando p”.

Analizaremos con detalle cada uno de los cuatro casos que se presentan en la tabla de verdad.

1. Antecedente y consecuente verdaderos. En este caso parece evidente que el condicional “si p, entonces q” se eval´ue como verdadero. Por ejemplo,

“Si como mucho, entonces engordo”

es una sentencia que se eval´ua como verdadera en el caso de que tanto el antecedente como el consecuente sean verdaderos. Ahora bien, obs´ervese que ha de evaluarse tambi´en como verdadero un condicional en el que no exista una relaci´on de causa entre el antecedente y el consecuente. Por ejemplo, el condicional

“Si Garc´ıa Lorca fue un poeta, entonces Gauss fue un matem´atico”

ha de evaluarse como verdadero y no existe relaci´on causal entre el antecedente y el consecuente. Es por esta raz´on que no hay que confundir el condicional con la implicaci´on l´ogica.

“Garc´ıa Lorca fue un poeta implica que Gauss fue un matem´atico”

Es una implicaci´on falsa desde el punto de vista l´ogico. M´as adelante estudiaremos la implicaci´on l´ogica.

2. Antecedente verdadero y consecuente falso. En este caso parece natural decir que el condicional se eval´ua como falso. Por ejemplo, supongamos que un pol´ıtico aspirante a Presidente del Gobierno promete:

“Si gano las elecciones, entonces bajar´e los impuestos”

Este condicional ser´a falso s´olo si ganando las elecciones, el pol´ıtico no baja los impuestos. A nadie se le ocurrir´ıa reprochar al pol´ıtico que no ha bajado los impuestos si no ha ganado las elecciones. Obs´ervese que el hecho de que p sea verdadero y, sin embargo, q sea falso viene, en realidad, a refutar la sentencia p −→ q, es decir la hace falsa.

3. Antecedente falso y consecuente verdadero. Nuestro sentido com´un nos indica que el condicional p −→ q no es, en este caso, ni verdadero ni falso. Parece il´ogico preguntarse por la veracidad o falsedad de un condicional cuando la condici´on expresada por el antecedente no se cumple. Sin embargo, esta respuesta del sentido com´un no nos sirve, estamos en l´ogica binaria y todo ha de evaluarse bien como verdadero, bien como falso, es decir, si una sentencia no es verdadera, entonces es falsa y viceversa. Veamos que en el caso que nos ocupa, podemos asegurar que el condicional no es falso. En efecto, como dijimos anteriormente, p −→ q es lo mismo que afirmar que

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“p es una condici´on suficiente para q”

es decir, p no es la ´unica condici´on posible, por lo cual puede darse el caso de que q sea verdadero siendo p falso. O sea, la falsedad del antecedente no hace falso al condicional y si no lo hace falso, entonces lo hace verdadero. Por ejemplo,

“Si estudio mucho, entonces me canso”

¿Qu´e ocurrir´ıa si no estudio y, sin embargo, me cansara? Pues que la sentencia no ser´ıa inv´alida, ya que no se dice que no pueda haber otros motivos que me puedan producir cansancio.

4. Antecedente y consecuente falsos. La situaci´on es parecida a la anterior. La condici´on p no se verifica, es decir, es falsa, por lo que el consecuente q puede ser tanto verdadero como falso y el condicional, al no ser falso, ser´a verdadero. Obs´ervese, anecd´oticamente, que es muy frecuente el uso de este condicional en el lenguaje coloquial, cuando se quiere se˜nalar que, ante un dislate, cualquier otro est´a justificado.

“Si t´u eres programador, entonces yo soy el due˜no de Microsoft”

Ejemplo 1.9 Sean p, q y r las proposiciones “El n´umero N es par”, “La salida va a la pantalla” y “Los resultados se dirigen a la impresora”, respectivamente. Enunciar las formulaciones equivalentes de las siguientes proposiciones.

(a) q −→ p.

(b) ¬q −→ r.

(c) r −→ (p ∨ q).

Soluci´on

(a) q −→ p.

− Si la salida va a la pantalla, entonces el n´umero N es par. − La salida ir´a a la pantalla, s´olo si el n´umero N es par. − El n´umero N es par si la salida va a la pantalla. − Una condici´on suficiente para que el n´umero N sea par es que la salida vaya a la pantalla. − Una condici´on necesaria para que la salida vaya a la pantalla es que el n´umero N sea par.

(b) ¬q −→ r.

− Si la salida no va a la pantalla, entonces los resultados se dirigen a la impresora. − La salida no va a la pantalla s´olo si los resultados se dirigen a la impresora. − Los resultados se dirigen a la impresora si la salida no va a la pantalla. − Una condici´on suficiente para que los resultados se dirijan a la impresora es que la salida no vaya a la pantalla. − Una condici´on necesaria para que la salida no vaya a la pantalla es que los resultados se dirijan a la impresora.

(c) r −→ (p ∨ q).

− Si los resultados se dirigen a la impresora, entonces el n´umero N es par o la salida va a la pantalla. − Los resultados se dirigen a la impresora s´olo si el n´umero N es par o la salida vaya a la pantalla.

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1.2.8 Proposici´on Contrarrec´ıproca

Dada la proposici´on condicional p −→ q, su contrarrec´ıproca es la proposici´on, tambi´en condicional, ¬q −→ ¬p.

Por ejemplo, la contrarrec´ıproca de la proposici´on “Si Mar´ıa estudia mucho, entonces es buena estudi- ante” es “Si Mar´ıa no es buena estudiante, entonces no estudia mucho”.

Ejemplo 1.11 Escribir la rec´ıproca y la contrarrec´ıproca de cada una de las afirmaciones siguientes:

(a) Si llueve, no voy. (b) Me quedar´e, s´olo si t´u te vas.

(c) Si tienes cien pesetas, entonces puedes comprar un helado. (d) No puedo completar la respuesta si no me ayudas.

Soluci´on

Escribiremos la rec´ıproca y la contrarrec´ıproca de varias formas.

(a) Si llueve, no voy.

Rec´ıproca. − Si no voy, entonces llueve. − Llueve si no voy. − Una condici´on necesaria para no ir es que llueva. − Una condici´on suficiente para que llueva es no ir. Contrarrec´ıproca. − Si voy, entonces no llueve. − Voy s´olo si no llueve. − Es necesario que no llueva, para que vaya. − Es suficiente que vaya para que no llueva. (b) Me quedar´e s´olo si te vas. Rec´ıproca. − Si te vas, entonces me quedar´e. − Me quedar´e, si te vas. − Una condici´on necesaria para que te vayas, es quedarme. − Una condici´on suficiente para quedarme es que te vayas. Contrarrec´ıproca. − Si no te vas, entonces no me quedar´e. − No me quedar´e si no te vas. − Es suficiente que no te vayas, para no quedarme. (c) No puedo completar la respuesta si no me ayudas. Rec´ıproca. − Si no puedo completar la respuesta, entonces no me ayudas. Contrarrec´ıproca. − Si puedo completar la respuesta, entonces me ayudas. − Puedo completar la respuesta s´olo si me ayudas. − Es necesario que ayudes para poder completar la respuesta.

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1.2.9 Proposici´on bicondicional

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposici´on compuesta

“p si y s´olo si q”

se le llama “proposici´on bicondicional” y se nota por

p ←→ q

La interpretaci´on del enunciado es:

p s´olo si q y p si q

o lo que es igual

si p, entonces q y si q, entonces p

es decir, (p −→ q) ∧ (q −→ p)

Por tanto, su tabla de verdad es:

p q p −→ q q −→ p V V V V V F F V F V V F F F V V

p ←→ q V F F V

Luego la proposici´on bicondicional p ←→ q es verdadera ´unicamente en caso de que ambas proposiciones, p y q, tengan los mismos valores de verdad. 

Nota 1.4 Obs´ervese que la proposici´on condicional p −→ q, se enunciaba

Si p, entonces q

siendo una formulaci´on equivalente,

Una condici´on necesaria para p es q

y la proposici´on condicional q −→ p, se enunciaba

Si q, entonces p

siendo una formulaci´on equivalente,

Una condici´on suficiente para p es q

Por tanto, una formulaci´on equivalente de la proposici´on bicondicional en estos t´erminos, ser´ıa:

Una condici´on necesaria y suficiente para p es q

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Ejemplo 1.14 Establecer si las siguientes proposiciones son tautolog´ıas, contingencias o contradic- ciones.

(a) (p −→ q) ∧ (q −→ p)

(b) [p ∧ (q ∨ r)] −→ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]

(c) (p ∨ ¬q) −→ q

(d) p −→ (p ∨ q)

(e) (p ∧ q) −→ p

(f) [(p ∧ q) ←→ p] −→ (p ←→ q)

(g) [(p −→ q) ∨ (r −→ s)] −→ [(p ∨ r) −→ (q ∨ s)]

Soluci´on

(a) (p −→ q) ∧ (q −→ p)

p q p −→ q q −→ p V V V V V F F V F V V F F F V V

(p −→ q) ∧ (q −→ p) V F F V

Luego es una contingencia.

(b) [p ∧ (q ∨ r)] −→ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] Haremos una tabla de verdad abreviada. La proposici´on condicional s´olo es falsa cuando siendo verdad la hip´otesis, la conclusi´on es falsa. Ahora bien, la hip´otesis es verdad cuando lo sean, a un tiempo, p y q ∨ r y ´esta es verdad si, al menos, una de las dos q o r lo es, entonces

p q r q ∨ r p ∧ (q ∨ r) p ∧ q p ∧ r (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) V V F V V V F V V F V V V F V V V V V V V V V V

V

V

V

Por tanto, la proposici´on es una tautolog´ıa.

(c) (p ∨ ¬q) −→ q

p q ¬q p ∨ ¬q V V F V V F V V F V F F F F V V

(p ∨ ¬q) −→ q V F V F

luego la proposici´on es una contingencia.

(d) p −→ (p ∨ q) Esta proposici´on ser´a falsa ´unicamente cuando siendo verdad p, p ∨ q sea falsa, pero si p es verdad, entonces p ∨ q es verdad independientemente del valor de verdad de q, luego una tabla de verdad abreviada ser´a

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p p ∨ q V V

p −→ (p ∨ q) V

y la proposici´on es una tautolog´ıa.

(e) (p ∧ q) −→ p Haremos una tabla de verdad abreviada. la proposici´on condicional, ´unicamente, es falsa cuando siendo p ∧ q verdad, la conclusi´on p es falsa, pero p ∧ q es verdad, ´unicamente, cuando ambas, p y q, lo son, luego,

p q p ∧ q V V V

(p ∧ q) −→ p V

es decir, la proposici´on es una tautolog´ıa.

(f) [(p ∧ q) ←→ p] −→ (p ←→ q)

p q p ∧ q (p ∧ q) ←→ p p ←→ q V V V V V V F F F F F V F V F F F F V V

[(p ∧ q) ←→ p] −→ (p ←→ q) V V F V

luego la proposici´on es una contingencia.

(g) [(p −→ q) ∨ (r −→ s)] −→ [(p ∨ r) −→ (q ∨ s)] La proposici´on condicional ´unicamente es falsa cuando siendo verdad la hip´otesis es falsa la con- clusi´on. Por el mismo argumento (p ∨ r) −→ (q ∨ s) es falsa cuando siendo p ∨ r verdad sea q ∨ s sea falsa, y ´esta es falsa cuando ambas, q y s, lo son. Ahora bien, para que la conclusi´on (p ∨ r) −→ (q ∨ s) sea falsa, y utilizando el mismo argumento, p ∨ r ha de ser verdad y q ∨ s falsa, luego p y r han de ser una de las dos, al menos, verdad mientras q y s han de ser, las dos, falsas. Haremos, pues, una tabla de verdad abreviada que recoja ´unicamente estos casos.

p q r s (p −→ q) ∨ (r −→ s) (p ∨ r) −→ (q ∨ s) V F V F (F ) F (F ) (V ) F (F ) V F F F (F ) V (V ) (V ) F (F ) F F V F (V ) V (F ) (V ) F (F )

V

F

F

y, consecuentemente, la proposici´on es una contingencia. 

1.3 Implicaci´on

Estudiamos en este apartado la implicaci´on l´ogica entre dos proposiciones.

1.3.1 Implicaci´on L´ogica

Se dice que la proposici´on P implica l´ogicamente la proposici´on Q, y se escribe P =⇒ Q, si Q es verdad cuando P es verdad.

Obs´ervese que esto es equivalente a decir que P =⇒ Q es falso si P es falso cuando Q es falso, ya que si P es verdad siendo Q falso, no se cumplir´ıa la definici´on anterior. 

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p q p ∨ q ¬ (p ∨ q) ¬p V V V F F V F V F F F V V F V F F F V V

¬ (p ∨ q) −→ ¬p V V V V

luego, ¬(p ∨ q) −→ ¬p es, efectivamente, una tautolog´ıa. 

1.3.3 Implicaciones L´ogicas m´as Comunes

La tabla siguiente presenta algunas implicaciones l´ogicas con los nombres que usualmente reciben.

X Adici´on. P =⇒ (P ∨ Q)

X Simplif icaci´on. (P ∧ Q) =⇒ P

X Ley del Modus Ponendo Ponens (Modus Ponens). Dado un condicional y af irmando (“Po- nendo”) el antecedente, se puede af irmar (“Ponens”) el consecuente.

[(P −→ Q) ∧ P ] =⇒ Q

X Ley del Modus Tollendo Tollens (Modus Tollens). Dado un condicional y negando (“Tollendo”) el consecuente, se puede negar (“Tollens”) el antecedente.

[(P −→ Q) ∧ ¬Q] =⇒ ¬P

X Leyes de los Silogismos Hipot´eticos.

[(P −→ Q) ∧ (Q −→ R)] =⇒ (P −→ R) [(P ←→ Q) ∧ (Q ←→ R)] =⇒ (P ←→ R)

X Leyes de los silogismos disyuntivos.

[¬P ∧ (P ∨ Q)] =⇒ Q [P ∧ (¬P ∨ ¬Q] =⇒ ¬Q

X Ley del Dilema Constructivo.

[(P −→ Q) ∧ (R −→ S) ∧ (P ∨ R)] =⇒ (Q ∨ S)

X Contradicci´on. (P −→ C) =⇒ ¬P

Ejemplo 1.16 Verificar las leyes de los silogismos disyuntivos.

Soluci´on

(a) ¬P ∧ (P ∨ Q) =⇒ Q. En efecto, si ¬P ∧ (P ∨ Q) es verdad, entonces ¬P es verdad y P ∨ Q es verdad, de aqu´ı que P sea falso y P ∨ Q verdad, por lo tanto, Q ha de ser verdad.

Tambi´en, si hacemos la tabla de verdad del condicional ¬P ∧ (P ∨ Q) −→ Q,

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P Q P ∨ Q ¬P ¬P ∧ (P ∨ Q)

V V V F F

V F V F F

F V V V V

F F F V F

¬P ∧ (P ∨ Q) −→ Q

V

V

V

V

observamos que es una tautolog´ıa luego por el teorema 1.3.2 ¬P ∧ (P ∨ Q) implica l´ogicamente ¬Q.

(b) [P ∧ (¬P ∨ ¬Q)] =⇒ ¬Q. En efecto, si P ∧ (¬P ∨ ¬Q) es verdad, entonces P y ¬P ∨ ¬Q son verdad, luego ¬P es falso y ¬P ∨ ¬Q verdad, por lo tanto, ¬Q es verdad. Tambi´en, haciendo una tabla de verdad igual que en el apartado anterior.

P Q ¬P ¬Q ¬P ∨ ¬Q P ∧ (¬P ∨ ¬Q)

V V F F F F

V F F V V V

F V V F V F

F F V V V F

P ∧ (¬P ∨ ¬Q) −→ Q

V

V

V

V

se observa que P ∧ (¬P ∨ ¬Q) −→ ¬Q es una tautolog´ıa luego, por 1.3.2, P ∧ (¬P ∨ ¬Q) =⇒ ¬Q 

Ejemplo 1.17 Demostrar la implicaci´on l´ogica (P −→ Q) ∧ ¬Q =⇒ ¬P (Ley del Modus Tollendo Tollens).

Soluci´on

Veamos que ¬P es verdad cuando (P −→ Q) ∧ ¬Q es verdad.

En efecto, si (P −→ Q) ∧ ¬Q es verdad, entonces P −→ Q ha se ser verdad y ¬Q tambi´en, luego P −→ Q es verdad y Q es falso de aqu´ı que P tenga que ser falso y, consecuentemente, ¬P verdad.

Otra forma de hacerlo ser´ıa razonar en la forma siguiente: si ¬P es falso, entonces P es verdad y pueden ocurrir dos cosas,

− si Q es verdad, entonces P −→ Q es verdad, ¬Q falso y, por lo tanto, (P −→ Q) ∧ ¬Q es falso.

− si Q es falso, entonces P −→ Q es falso, ¬Q verdad y, por lo tanto, (P −→ Q) ∧ ¬Q es falso.

Es decir, en ambos casos, (P −→ Q) ∧ ¬Q es falso. 

1.4 Equivalencia L´ogica

1.4.1 Proposiciones L´ogicamente Equivalentes

Las proposiciones compuestas P y Q son l´ogicamente equivalentes y se escribe P ≡ Q ´o P ⇐⇒ Q cuando ambas tienen los mismos valores de verdad.

Obs´ervese que de esta definici´on se sigue que para probar que dos proposiciones son l´ogicamente equiv- alentes hay que probar que si P es verdad, Q tambi´en ha de serlo y que si P es falso, Q tiene que ser falso.

Obs´ervese tambi´en que otra forma de demostrar lo mismo es probar que P es verdad partiendo de que Q lo es y probar que si Q es falso, entonces P tambi´en lo es.