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Estadística Empresarial II. Tema II:
Características de las
Variables Aleatorias.
1.^
Introducción
Valor esperado de una variable aleatoria unidimensional
Valor esperado de cualquier función de una variable aleatoria.
Propiedades.
Momentos de una variable aleatoria.
La varianza y sus propiedades.
Otras
características
de
las
variables
aleatorias:
moda,
mediana, cuantiles, coeficiente de variación de Pearson.
Valor
esperado
de
variables
aleatorias
bidimensionales
discretas: propiedades.
Covarianza.
Tema 2: Características de las
Variables Aleatorias
Estadística Empresarial II. Tema II:
Características de las
Variables Aleatorias.
1. Introducción
Estudiamos
ahora
una
serie
de
características
numéricas
que
resumen la información que proporcionan las variables aleatorias, delmismo
modo
que
ocurría
en
Estadística
Descriptiva:
medidas
de
posición,
dispersión,
forma,
etc.
Todas
ellas
pueden
calcularse
ahora modificando las expresiones y adecuándolas a las herramientasde las variables aleatorias.
En cualquier caso, serán los momentos los que ofrezcan el máximo interés
Estadística Empresarial II. Tema II:
Características de las
Variables Aleatorias.
Según este resultado, podemos decir que no esperamos ni ganar ni perder en este juego, es decir,
la ganancia esperada
es cero.
Si designamos por E[X]
a la ganancia esperada, tenemos que:
es decir, la ganancia esperada es la suma ponderada, donde las ponderaciones son lasprobabilidades asociadas a cada valor de la variable.
Basándonos en esta situación podemos dar la siguiente definición: i.Caso Discreto Unidimensional: Sea X una variable aleatoria con valores {x
, x 1
, … } y función de 2
cuantía {p
, p 1
, … }, entonces 2
En
el
caso
discreto,
E[X]
es
la
media
ponderada
de
los
posibles
valores
que
puede
tomar
la
variable
aleatoria
X,
donde
los
pesos
son
las
probabilidades
de
ocurrencia de sus posibles valores
, y
no es el valor que se espera que tome X
, pues
puede suceder que
E[X]
no sea uno de los posibles valores de X.
Definición de valor esperado o esperanza matemática
2. Valor Esperado de una v.a. Unidimensional
Estadística Empresarial II. Tema II:
Características de las
Variables Aleatorias.
ii.
Caso Continuo Unidimensional^ Si X es una variable aleatoria de tipo continuo, con función dedensidad f(x), definimos el valor esperado, E[X]
,^
como
:
En este caso,
E[X]
nos indica el centro de gravedad de la función de densidad, es
decir nos indicará el centro de gravedad de la distribución. En ambos casos, el resultado de la Esperanza Matemática es
un número
Muchas veces estamos interesados en obtener el valor esperado de alguna función, g(x), de la variable aleatoria X y lo designaremos por E[g(X)]
2. Valor Esperado de una v.a. Unidimensional
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Características de las
Variables Aleatorias.
4. Propiedades
Si
c^
es una constante, entonces
E[
c]=c.
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Características de las
Variables Aleatorias.
5. Momentos de una variable aleatoria Unidimensional
Dentro del contexto general de valor esperado, estudiaremos
los momentos
, que nos
proporcionarán información sobre las propiedades de la distribución de la variablealeatoria. Los momentos nos permitirán hacer más fáciles las comparaciones entre dosdistribuciones. Corresponden al valor esperado de funciones potenciales.Sea X una variable aleatoria unidimensional Momento de orden r con respecto al origen
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Características de las
Variables Aleatorias.
Pueden deducirse del desarrollo de Newton de la potencia de unbinomio:
Momentos
5. Momentos de una variable aleatoria Unidimensional
Relación
entre
los
momentos
con
respecto
al
origen
y^
con
respecto a la media (μ)
Estadística Empresarial II. Tema II:
Características de las
Variables Aleatorias.
Dpto. de Economía© Juani Domínguez; José Javier Núñez
Nº 11
6. La Varianza y sus Propiedades
Sea
una variable aleatoria unidimensional, si definimos
entonces la varianza de X es:
Entre sus propiedades destacan las siguientes:
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7. Otras Medidas de Localización y Dispersión.
Moda relativa
–^
En el caso discreto:
-^
En el caso continuo:
-^
Es
la
moda
relativa
que
presenta
mayor
probabilidad
(caso
discreto) o densidad de probabilidad (caso continuo) de todasellas.
Cuantil de orden p Moda absoluta
–^
En el caso discreto:
-^
En el caso continuo:
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Variables Aleatorias.
Coeficiente de asimetría de Pearson:
(para distribuciones unimodales)
Coeficiente de asimetría de Fisher:
•^
Si Indice = 0
Simetría
•^
Si Indice > 0
Asimetría positiva (o a la derecha)
•^
Si Indice < 0
Asimetría negativa (o a la izquierda)
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Medidas de Forma
Medidas de Asimetría
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Variables Aleatorias.
Una variable
Z
se dice que está
tipificada o estandarizada
cuando
su media es cero y su desviación típica es uno;
–^
es decir, si
Proceso de Tipificación
Dada
cualquier
variable
X,
con
media
y^
Desviación
típica
siempre podemos obtener la correspondiente variable tipificada, Z,realizando el siguiente cambio de origen y de escala:
Tipificación de una variable
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Características de las
Variables Aleatorias.
8. Valor Esperado de una v.a. Bidimensional discreta Sea (X, Y) una v.a. de tipo discreto, con valores
y distribución de
probabilidad
, siendo g(., .) una función de la v.a. (X, Y),
se tiene:De modo que las medias marginales serán: Esperanza marginal de X
Si g(X, Y)=X, entonces
Esperanza marginal de X
Si g(X, Y)=Y, entonces
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Características de las
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5. Momentos de una variable aleatoria Bidimensional
Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional Momento de orden (p,q) con respecto al origen
Media marginal de XMedia marginal de Y
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5. Momentos de una variable aleatoria Bidimensional
Momentos centrados de orden (p,q)
Varianza marginal de XVarianza marginal de Y
