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EJERCICIO: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Aceptemos que existe la hipótesis según la cual, transcurridas 336 horas (dos semanas) desde que aprendemos un contenido concreto, los seres humanos perdemos el 60% de la información contenida en el almacén de la memoria a largo plazo. Se supone que la probabilidad de que se pierda una unidad de información no depende de ésta, sino que ese valor de probabilidad es igual a 0,6 para todas ellas. Mediante el siguiente supuesto experimento se pretende contrastar la mencionada hipótesis.
En un experimento de memoria se presenta a un sujeto experimental una lista formada por 10 palabras. Las diez palabras son sustantivos, cada uno compuesto por dos sílabas y cuatro letras (palo, mano, casa, tila, pico, ropa, lata, saco, pera y mito). Se presenta la lista al sujeto experimental y se le dice que dispone de 5 minutos para aprendérsela y que, después, se le requerirá que diga la lista entera de palabras. De hecho, ésta no es la tarea que interesa al experimentador, pues éste únicamente planifica esta parte de la tarea experimental para asegurarse de que el sujeto experimental ha aprendido la lista de diez palabras.
Se solicita al sujeto experimental que, transcurridos 14 días, se presenté de nuevo en el laboratorio. En esta ocasión se le presenta al sujeto experimental una a una las diez palabras que estaban en la lista que había aprendido hace dos semanas, debiendo el sujeto experimental decir, para cada una, si estaba o no presente en la lista que aprendió. La variable aleatoria de interés para el investigador es el número de palabras que el sujeto experimental reconoce como pertenecientes a la lista aprendida (nótese que la tarea experimental es de memoria de reconocimiento). Las palabras no se presentan en esta segunda fase del experimento en el mismo orden que estaban en la lista, sino que se muestran en un orden previamente establecido al azar. Por supuesto, si el sujeto experimental identifica cada una de las palabras como perteneciente a la lista aprendida, conseguirá 10 aciertos; pero, si dice que ninguna de ellas estaba en la lista, su número de aciertos será igual a 0. Por tanto, la variable aleatoria número de aciertos puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10.
Primera pregunta : Si la variable de interés es el número de aciertos, ¿qué modelo de función de distribución puede utilizarse para describir esa variable aleatoria?
La distribución binomial es la respuesta correcta. Primero, nótese que en cada experiencia aleatoria (en este caso, cada vez que se le presenta al sujeto experimental una palabra que estaba en la lista y debe decir si pertenece o no a ésta), sólo existen dos posibles resultados: reconocer que estaba o no reconocer que presentó; o sea, acertar o errar. Segundo, y relacionado con el anterior punto, ambos posibles sucesos aleatorios, acertar o errar, son mutuamente incompatibles o excluyentes (ocurre uno o se realiza el otro). Tercero, ambos sucesos aleatorios, acertar y errar, son exhaustivos, o sea, la probabilidad de que en cada ensayo ocurra uno de ambos sucesos es igual a uno. Nótese que la respuesta del sujeto experimental será reconocer o no cada palabra presentada como perteneciente a la lista, no existiendo ningún otro resultado posible. Cuarto, según el supuesto establecido, la probabilidad de que cada palabra presentada se recuerde como perteneciente a la lista es igual a 0,4. O sea, en cada ensayo aleatorio, la probabilidad de reconocer la palabra como perteneciente a la lista (acertar) es un valor constante e igual a 0,4. Por supuesto, la probabilidad de no reconocer la palabra como perteneciente a la lista (errar) es igual a 0,6. Quinto y último punto, la variable aleatoria de interés no es otra que el recuento del número de aciertos en el reconocimiento de las palabras que formaban la lista inicial (podría haberse escogido el número de errores).
En adelante, denotaremos mediante X la variable aleatoria correspondiente al número de aciertos obtenidos en la tarea experimental que aquí se considera.
Segunda pregunta : Si la variable aleatoria de interés, bajo la hipótesis establecida, pude ser descrita mediante un modelo de probabilidad binomial, calcular la esperanza matemática, la variancia, la desviación estándar, el coeficiente de asimetría y el coeficiente de apuntamiento para esa variable aleatoria.
Nótese que el número de ensayos aleatorios es n = 10, pues presentamos las diez palabras de la lista inicial, aquella que el sujeto experimental aprendió. La probabilidad de que reconozca cada palabra como perteneciente a la lista es π = 0,4 y, por supuesto, la probabilidad de no reconocerla es 1 − π = 0,6. Por tanto, ya tenemos toda la información para realizar los cálculos que se solicitan:
Si la hipótesis es plausible, se espera que el número de palabras correctamente reconocidas sea igual a 4. Ahora bien, se trata de un experimento concreto y, por tanto, el número de aciertos obtenidos por el sujeto experimental no debe ser forzosamente igual a la esperanza matemática. La esperanza matemática debe interpretarse de la siguiente manera: si la hipótesis fuera correcta y se hicieran muchos experimentos con distintos sujetos experimentales, el promedio de los aciertos de todos ellos sí que debería coincidir con el valor de la esperanza matemática o, al menos, ser prácticamente igual; o sea, un valor próximo a 4. De hecho, la existencia de variabilidad, pues la variancia y la desviación estándar toman valores distintos de cero, ya nos indica que el número de aciertos no será siempre igual a 4. Podemos tomar el valor de la desviación estándar y restarlo y sumarlo al valor de la esperanza matemática, obteniéndose los valores 2,4508 y 5,5492, respectivamente. Es obvio que, como resultado del experimento, no se pueden obtener números reales (con decimales), razón por la cual podemos redondear a números enteros y tomar los valores 2 y 5. O sea, aunque sea menos preciso que decir que el sujeto experimental obtendrá un número de aciertos igual a la esperanza matemática, concluir que un buen número de sujetos experimentales obtendrá entre 2 y 5 aciertos, ambos inclusive, puede ser más representativo para el conjunto de los resultados de los individuos. Sobre este último aspecto volveremos en una pregunta posterior.
Como se desprende del valor del coeficiente de asimetría, la distribución no es simétrica, pues presenta una asimetría positiva o, si se prefiere, un sesgo por la derecha. Este hecho se aprecia con claridad en la representación gráfica de la función de distribución que se muestra más abajo. En cuanto al otro coeficiente de forma, el coeficiente de apuntamiento, no tiene una interpretación evidente, al no ser simétrica la distribución de la variable aleatoria. En cualquier caso, como la distribución se aleja ligeramente de la simetría, y suponiendo que es prácticamente simétrica, podemos indicar que el valor del apuntamiento sugiere que la distribución es platicúrtica.
Se propone, como ejercicio complementario, que, a partir de la gráfica anterior, se represente de manera aproximada la función de distribución.
Tercera pregunta : ¿Cuál es el valor de la moda para la variable aleatoria?
Hubiéramos llegado al mismo resultado, aunque sin duda el procedimiento de cálculo es más largo, acudiendo a la definición de función de distribución y notando la siguiente igualdad:
Se deja el cómputo a quien desee verificar el cálculo, pero se recuerda que el proceso es más extenso que el utilizado previamente.
Nótese que la probabilidad de que se obtengan entre 2 y 5 aciertos es un valor aproximado a 0,7874, lo cual significa que se espera que más de 3 de cada 4 sujetos experimentales obtengan un número de aciertos comprendido entre ambos valores. Como se han calculado varios valores de la función de masa de probabilidad, también conocemos ahora, por ejemplo, que la probabilidad de obtener el valor correspondiente a la esperanza matemática es igual a 0,2508, que además, en este caso, es también la probabilidad de obtener un valor de la variable aleatoria coincidente con su moda.
Quinta pregunta : ¿Cuál es la probabilidad de que el sujeto experimental obtenga 10 aciertos si es cierta la hipótesis?
En esta ocasión se trata de un problema que puede resolverse acudiendo directamente a la definición de función de masa de probabilidad. Por tanto, el valor de probabilidad buscado se obtiene inmediatamente mediante el siguiente cálculo:
Adviértase que es poco probable que, si la hipótesis es cierta, se obtengan diez aciertos. De hecho, como la probabilidad para X = 10 es igual a 0,0001, ese valor puede interpretarse en el sentido de que, si la hipótesis es cierta, se espera que una de cada diez mil sujetos experimentales que realicen la tarea obtengan ese número de aciertos.
Sexta pregunta : Si es cierta la hipótesis, ¿cuál es la probabilidad de que el sujeto experimental cometa 8 o más errores en la tarea experimental?
Nótese que preguntarse por la probabilidad de obtener 8 o más errores es equivalente a cuestionarse sobre la probabilidad de obtener 2 o menos aciertos. Ahora, acudiendo a la definición de la función de distribución, el problema puede solventarse sin dificultad:
Por tanto, recordando que la función de distribución no es más que la suma de valores de la función de masa:
Es evidente que resulta notablemente más probable obtener más de dos aciertos que dos o menos aciertos. Por el complementario sabemos que F(X > 2) = 1 − F(2) ≈ 0,8327, resultado que justifica la afirmación anterior.
Séptima pregunta : Si el sujeto experimental obtuviera un número de aciertos igual a 8 o superior, ¿qué concluiría sobre la hipótesis?
El cálculo de probabilidades puede llevarse a cabo de dos maneras en este caso, una notablemente menos costosa en términos de cómputo que la otra. Puede acudirse a la definición de la función de distribución y notar la siguiente igualdad:
Se desaconseja esta forma de resolver el problema por ser más laboriosa, siendo mejor advertir la siguiente igualdad, que sólo requiere el cálculo de tres valores de la función de masa de probabilidad:
El cálculo se deja para que lo realice el lector y verifique si reproduce el resultado.
Adviértase que la probabilidad de obtener 8 o más aciertos es igual a 0,0123, siempre bajo el supuesto de que la hipótesis es cierta, o sea, que la probabilidad de mantener en el almacén de la memoria a largo plazo el material aprendido es igual a 0,4. De hecho, si la hipótesis fuera cierta, obtener 8, 9 o 10 aciertos no es un resultado que pueda considerarse muy probable. Por tanto, si en el experimento se obtuviera alguno de esos tres resultados, la plausibilidad de la hipótesis estaría en entredicho. Por supuesto, con un único sujeto experimental no se puede concluir con un mínimo grado de certeza sobre la hipótesis; pero si ese resultado se verificara para un número mayor de sujetos experimentales, sin duda deberíamos cuestionarnos esa hipótesis y pensar que quizá no se corresponde con la realidad.
Octava pregunta : En esta pregunta se solicita que se determine el valor de la mediana para la variable aleatoria que estamos considerando.
La definición de la mediana es la siguiente:
O sea, la mediana es el mínimo valor (el valor más pequeño) de la variable aleatoria para el cual la función de distribución toma un valor de probabilidad igual o mayor a 0,5. Se trata, entonces, de calcular, desde el menor valor de la variable aleatoria y en orden creciente, los valores de la función de distribución hasta llegar a aquel en el cual se iguale o supere el valor de probabilidad 0,5. El primero de los valores que cumpla esa condición será el correspondiente a la mediana de la variable aleatoria. A continuación se proporcionan estos valores para, así, no focalizar la atención tanto en el cálculo como en la comprensión del concepto de mediana:
La probabilidad de obtener cero aciertos o menos (de hecho, no puede ser un valor inferior a cero) es F(0) = 0,006, valor que no alcanza 0,5, razón por la cual la mediana no es igual a cero. Igual ocurre para los valores 1, 2 y 3 de la variable aleatoria. Ahora bien, nótese que para X = 4 no sólo se alcanza el valor de probabilidad igual a 0,5 para la función de distribución, sino que incluso se supera. Por tanto, Md(X) = 4, pues el
