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Estadística Empresarial II. Tema 1:
Variables Aleatorias.
1.^
Introducción
Variables aleatorias unidimensionales
Función de distribución
Distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas
Representaciones gráficas
Variables aleatorias continuas
Función de densidad
Función de distribución
Variables aleatorias bidimensionales
- Distribución de probabilidad bidimensional discreta,
distribuciones marginales y distribuciones condicionadas.
Tema 1: Variables Aleatorias
Estadística Empresarial II. Tema 1:
Variables Aleatorias.
1. Introducción
Las técnicas de la Estadística Descriptiva se aplican sobrefrecuencias y, entre estas, están las frecuencias relativas.De este modo, son muy útiles cuando se disponen de toda lainformación referente al problema que se está analizando.No obstante, muchas veces esto no es posible por una seriede
factores,
y^
entonces
las
frecuencias
relativas
se
convierten en cantidades que se modifican en relación conlos datos de que se dispone. Para paliar este inconveniente,se ha introducido el concepto de
probabilidad
.
Así, del mismo modo que en la Estadística Descriptiva, nosinteresa cerrar el ciclo, ya que, como entonces, en lugar delos
sucesos
es
más
interesante
a^
veces,
una
función
numérica de estos.
Estadística Empresarial II. Tema 1:
Variables Aleatorias.
1. Introducción
Al estudiar un fenómeno aleatorio más que en la descripción y análisis de sus resultados, el interés se centra en alguna función numérica de estos.
Por ejemplo, si un experimento consiste en lanzar una moneda
n^ veces, más que la
secuencia de caras o cruces obtenidas, puede que nuestro interés se centre en elnúmero de caras obtenidas al lanzar la moneda n veces ( qué será un valor entre 0 y n).En el control de calidad de una pieza, muchas veces interesa más estudiar el número depiezas defectuosas producidas por la máquina en un día que la secuencia diaria de piezasbuenas/defectuosas. En un concesionario de automóviles suele estar más interesado enel número de unidades vendidas al mes que en la secuencia diaria de estas ventas.
En los juegos de azar, el interés se centra en la pérdida o ganancia neta de un jugador (es indiferente apostar cierta cantidad monetaria
x^ al valor cara al lanzar una
moneda o al suceso
salir par al lanzar un dado
porque la cantidad de interés es ganar o
perder
x^ unidades monetarias y en los dos casos, esto ocurre con la misma probabilidad.Ahora, el interés se centra en funciones puntuales que toman valores numéricos,
es decir en funciones que asignarían a cada suceso elemental ωЄΩ un valor real. Estetipo de funciones reciben el nombre de variables aleatorias
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Variables Aleatorias.
2. Variables aleatorias unidimensionales
Definición:
Consideremos
los espacios
medibles
(Ω,A)- asociado
al fenómeno
aleatorio objeto de estudio- y
(ℝ
,^ β
(ℝ
))^ siendo
β(
ℝ)
el σ-álgebra de Borel en la recta real
ℝ. Se define una variable aleatoria X como una función medible de Ω en
ℝ
.
A^2 A^1 A^3
x^1 x^3 x^2
X
Es decir, una
variable aleatoria
es una función real de los
resultados de un experimento aleatorio y las imágenes poresta función de dichos resultados, se denominarán
valores
de la variable aleatoria.Como estos valores se corresponden con sucesos del espacioprobabilístico, el cálculo de probabilidades de valores de lasvariables aleatorias se reduce a obtener los sucesos que dancomo resultado dichos valores y obtener sus probabilidades
Estadística Empresarial II. Tema 1:
Variables Aleatorias.
3. Función de distribución
La
función
de
distribución
es
una
generalización
del
concepto
de
frecuencia
relativa acumulada ascendente y su importancia radica en que caracteriza a lavariable
aleatoria
en
el
sentido
de
que
podemos
conocer
su
comportamiento
probabilístico a partir de ella Definición:
Sea
una variable aleatoria, entonces se define la
función de distribución
de la variable aleatoria X, como una función
x
Siguiendo con el ejemplo 1, vamos a calcular su función de distribución
Estadística Empresarial II. Tema 1:
Variables Aleatorias.
3. Función de distribución
x 0
x 0
x
x
Estadística Empresarial II. Tema 1:
Variables Aleatorias.
3. Distribución de probabilidad de
variables aleatorias discretas
Sea X una v.a. definida sobre un espacio probabilístico (Ω,A, p) y seaF(.) su función de distribución. Definición:
Se dice que
es una
variable aleatoria de tipo
discreto
si toma un número finito o infinito numerable de valores.
Es decir, la probabilidad se reparte entre estos valores siendo cero laprobabilidad de que X tome los demás valores de
. En estos puntos
se dice que
existe masa de probabilidad.
Sean
los valores que puede tomar la v.a. X y sean los sucesos
de modo que
, entonces se tiene
Es un sistema completo de sucesos. Entonces
{p
, i=1,2,…} se lei denomina distribuciónde probabilidad ofunción de cuantía deX
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Variables Aleatorias.
3. Distribución de probabilidad de
variables aleatorias discretas
Una sucesión de valores reales {p
} es una función de cuantía, siemprei
que verifique i) y ii). Es decir: Definición:
Sea
X
una
v.a
discreta
,^
con
valores
x^1
,^
x^2
siendo
pi =p(X=x
). Entonces p(x) es una función de cuantía si verifica:i
Ejemplo
Un
lote
de
lámparas
contiene
lámparas
defectuosas. El minorista decide tomar 2 lámparas aleatoriamente, ysi
ninguna
de
las
dos
es
defectuosa
entonces
acepta
el
lote.
Definimos
la
variable
aleatoria
X
como
el
número
de
lámparas
defectuosas en una selección aleatoria de 2 lámparas.
Obtener la
distribución de probabilidad de la v.a. y su función de distribución
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Representaciones gráficas
En cuanto a su función de distribución, se tiene
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Variables Aleatorias.
Variables aleatorias continuas
Hay muchas ocasiones en que la variable aleatoria puede tomar cualquier valor sobreun intervalo de la recta real, es decir, puede tomar un número infinito de valores,siendo la correspondiente variable aleatoria, de tipo continuo.Las v.a. de tipo continuo se tratan de manera diferente a las de tipo discreto, ya queen el caso continuo no es posible calcular la probabilidad en cada uno de los infinitosposibles valores de la v.a. y que estas probabilidades sumen uno como en el casodiscreto. En este caso es necesario utilizar una aproximación diferente para llegar aobtener la distribución de probabilidad de la v.a. Ejemplo 3:
Supongamos que una v.a. X nos mide los tiempos que
transcurren entre dos llegadas consecutivas, de 1000 autocares auna
estación
de
autobuses.
Los
tiempos
son
medidos
con
un
cronómetro de alta precisión que es capaz de medir el tiempo hastala milésima de segundo, siendo el tiempo máximo entre llagadas de 15minutos.
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Variables Aleatorias.
Variables aleatorias continuas
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Variables Aleatorias.
Variables aleatorias continuas
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Variables Aleatorias.
Función de densidad
La
función
f(x),
cuya
representación
gráfica
es
la
curva
límite
correspondiente al histograma de frecuencias relativas es la función dedensidad de probabilidad o simplemente la función de densidad de la v.a.continua X. El área bajo la curva es 1. Definición:
Sea
X
una
v.a.
de
tipo
continuo.
Entonces
si
existe
una
función f(x) tal que verifica:
Diremos que f(x) es la función dedensidad de la v.a. continua X.
En
el
caso
continuo
p[X=x]=0.
Las
probabilidades se asignan a intervalosno a puntos.Como p[X=x
]= 0, entonces:i
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Variables Aleatorias.
Función de distribución
Definición:
Sea X una v.a. de tipo continuo y cuya función de densidad es
f(x). Se define
la función de distribución
de la variable aleatoria X, que
notaremos por F(x), como : Como la v.a. X es continua, entonces:
