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UNIVERSIDAD DE M
ALAGA
Dpto. Estad´ıstica e I.O.
GRADO EN BIOLOG
IA
ESTAD
ISTICA
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA RELACI
ON 1
- Se sabe que en una ciudad el 20% de las familias no tiene autom´ovil ni moto; el
65% de la poblaci´on tiene autom´ovil y el 40% de las que tienen autom´ovil no tienen
moto. Se escoge una familia de esta ciudad al azar.
a) Si ´esta tiene autom´ovil ¿cu´al es la probabilidad de que tenga tambi´en moto?
b) ¿Cu´al es la probabilidad de que tenga ambos veh´ıculos?
c) Si tiene moto ¿cu´al es la probabilidad de que no tenga autom´ovil?
Soluci´on:
Consideremos los sucesos A :“tener autom´ovil” y B : “tener moto”.
Seg´un el enunciados el 40% de las que tienen autom´ovil no tienen moto, esto sig-
nifica que hay que calcular el 40% de 65, es decir
40
100
Otra forma de interpretar este dato es considerar que
P (M
c
| A) = 0. 4 =) P (M
c
\ A) = P (M
c
| A)P (A) = 0. 4 · 0. 65 = 0. 26
luego el porcentaje es el 26%
Los datos que se dan en el enunciado se pueden disponer en una tabla de doble
entrada de la siguiente forma:
M^ M
c
A
A
c
a) P (M | A) =
39
65
b) P (M \ A) =
39
100
c) P (A
c | M ) =
15
54
- Un estudio de las corrientes acu´aticas que circulan en las proximidades de un com-
plejo industrial revela que el 30% tiene una alta demanda biol´ogica de ox´ıgeno
(DBO), el 12% muestra una acidez elevada y un 4% presenta ambas caracter´ısticas.
a) ¿Son independientes los sucesos “la corriente tiene una alta DBO” y “la corrien-
te posee una acidez elevada”?
b) Calcule la probabilidad de que la corriente presente una acidez elevada o que
tenga una alta DBO.
c) Calcule la probabilidad de que la corriente tenga una alta DBO, si se sabe que
presenta una acidez elevada.
Soluci´on:
Consideremos los sucesos A :“tener acidez elevada” y DBO : “alta demanda
biol´ogica de ox´ıgeno”.
Los datos que se dan en el enunciado se pueden disponer en una tabla de doble
entrada de la siguiente forma:
A^ A
c
DBO
DBO
c
a) Para ver si son independientes hay que comprobar si se verifica que
P (A \ DBO) = P (A) · P (DBO)
P (A \ DBO) =
4
100
= 0. 04 6 = P (A) · P (DBO) =
12
100
30
100
Por tanto los sucesos: “alta demanda biol´ogica de ox´ıgeno (DBO)” y “acidez ele-
vada” son dependientes.
Otra forma es comprobar si se verifica P (A | DBO) = P (A) o si
P (DBO | A) = P (DBO)
P (A | DBO) =
4
30
= P (A) =
12
100
o bien
P (DBO | A) =
4
12
= P (DBO) =
30
100
b) P (A[DBO) = P (A)+P (DBO) P (A\DBO) =
12
100
30
100
4
100
38
100
c) P (DBO | A) =
4
12
1
3
- Si se administran conjuntamente dos f´armacos, A y B, para combatir una enfer-
medad; la probabilidad de que ambos sean efectivos es del 56%, la de que no sea
efectivo ninguno es del 6% y la de que s´olo sea efectivo A es del 24%.
a) Calcule la probabilidad de que el f´armaco A sea efectivo.
b) Determine si ambos f´armacos act´uan o no de forma independiente sobre la
citada enfermedad.
Soluci´on:
Consideremos los sucesos A :“el f´armaco A es efectivo” y B : “el f´armaco B es
efectivo”.
Los datos que se dan en el enunciado se pueden disponer en una tabla de doble
entrada de la siguiente forma:
B^ B
c
A
A
c
porque los sucesos (H \ B) y (S \ M ) son incompatibles
c) P (T [ M | S) =
d) P (N | B) =
P (N
c
| B) =
Si el d´ıa es bueno, es m´as probable que el grado de contaminaci´on no sea
normal.
e) Para ver si son independientes hay que comprobar si se verifica que
P (T \ N ) = P (T ) · P (N )
P (T \ N ) =
= 0. 175 P (T ) · P (N ) =
No son independientes.
- Se sabe que la presencia de la enfermedad provocada por el ataque del picudo rojo
(Rhynchophorus cerrugineus) en una plantaci´on de palmeras datileras de Elche
es del 5%. La detecci´on de la enfermedad es muy dificil ya que se comienza en
el interior del tronco. Unos cient´ıficos han desarrollado un m´etodo de detecci´on
mediante ultrasonidos que da positivo en el 95% de las veces que se aplica a una
palmera enferma
Adem´as, se sabe que en el 1% de las palmeras no enfermas tambi´en dan positivo
en la prueba
a) Haz la tabla de las probabilidades de la intersecci´on y calcula la probabilidad
de que la prueba de positivo.
b) ¿Cu´al es la probabilidad de que una palmera datilera est´e realmente enferma
si la prueba ha dado positivo?
c) ¿Cu´al es la probabilidad de que una palmera datilera est´e realmente sana si la
prueba ha dado negativo?
d) Compara la probabilidad de que una palmera est´e enferma con la probablidad
de que no est´e enferma. Realiza las comparaciones anteriores en el caso de que
la prueba de positiva y en el caso de que la prueba de negativa. Interpreta los
resultados
Soluci´on:
Consideremos los sucesos E :“tener la enfermedad” y T
: “la prueba da positiva”;
(T
c
) = T
: “la prueba da negativa”.
Los datos del enunciado indican que
P (T
| E) = 0. 95 =) P (T
\ E) = P (T
| E) · P (E) = 0. 95 · 0. 05 = 0. 0475
P (T+ | E
c
) = 0. 01 =) P (T+ \ E
c
) = P (T+ | E
c
) · P (E
c
) = 0. 01 · 0. 95 = 0. 0095
Los datos que se dan en el enunciado se pueden disponer en una tabla de doble
entrada de la siguiente forma:
T+ T
E
0.^0475 0.^0025
0.^05
E
c
a) P (T
b) P (E | T
P (E\T+)
P (T+)
0475
057
c) P (E
c | T
P (E
c \T )
P (T )
9405
943
d)
P (E)
P (E
c )
Por cada 95 palmeras sanas hay 5 enfermas
P (E | T
P (E
c | T+)
Si la prueba da positiva, por cada palmera sana hay 5 enfermas
P (E | T )
P (E
c | T
Si la prueba da negativa, por cada 10000 palmeras sanas hay 26 enfermas
- Defina las relaciones de exclusi´on, inclusi´on, compatibilidad e independencia que
pueden darse entre dos sucesos, A y B, de un mismo espacio muestral y explique
a) Cu´ales de esas relaciones pueden ser ciertas a la vez para un par de sucesos dados.
b) Calcular la probabilidad de A condicionada por B en cada uno de los cuatro casos.
c) Calcular la probabilidad de la uni´on A [ B y de la intersecci´on A \ B en cada uno
de los cuatro casos.
Soluci´on:
Dos sucesos son excluyentes, incompatibles o disjuntos si nunca pueden veri-
ficarse a la vez. Su intersecci´on es el suceso imposible: A \ B = ;
El suceso A est´a incluido o contenido en otro B, y se nota A ⇢ B , si siempre
que se verifica A se verifica B. Si A ⇢ B , se verifican a la vez las igualdades
A \ B = A y A [ B = B.
Dos sucesos son compatibles cuando existe alg´un resultado que los verifica a la
vez. Su intersecci´on es distinta del suceso imposible: A \ B 6 = ;
Dos sucesos, A y B, son independientes (estoc´asticamente) cuando saber que ha
ocurrido uno de ellos no influye en la probabilidad de que ocurra el otro, es decir,
cuando se cumplen a la vez las igualdades
P (A | B) = P (A) y P (B | A) = P (B)
a)
Si los sucesos son incompatibles es decir A \ B = ; entonces
A ⇢ B es falsa
A \ B 6 = ; es falsa
P (A \ B) = P (A)P (B) es falsa en general.
S´olo se verificar´ıa si P (A) = 0 y/o P (B) = 0.
