Tema 2
Análisis de regresión
1. Análisis de regresión lineal
2. Correlación y predicción
3. Análisis de los residuos
4. Otros tipos de regresión
1. Análisis de regresión lineal
El análisis de regresión permite estimar y predecir una variable de la población
a través de un modelo formado por un conjunto de variables independien-
tes/predictoras.
Se llama análisis de regresión lineal cuando las predicciones sobre
Y
se rea-
lizan mediante una combinación lineal de las variables predictoras
−→
X=
(X1, ..., Xk)
a partir de las observaciones de la muestra
(x1i, ..., xki,y
i)
con
i=1,..., n
.
Denotando por
(−→
xi,y
i)
la muestra observada de las variables
(−→
X,Y )
,se
representa por
Yi
a la variable
Y
para la que se ha obtenido la observación
yi
cuando
−→
Xi=−→
xi=(x1i,..., xki)
.
Modelización
: Se llama modelo de regresión lineal a
Yi=E(Yi|−→
X=−→
xi)+εi=β0+β1x1i+... +βkxkiεi
para
i=1,..., n
siendo
β0,β
1, ..., βk
los coecientes del modelo y
εi=Yi−β0−β1x1i−... −
βkxki
el error aleatorio al ajustar
Y
mediante
β0+β1X1+... +βkXk
cuando
(X1, ..., Xk)=(x1i,..., xki)
.
Objetivo del modelo de regresión lineal
:
Estimar y predecir la variable de interés
Y
a través del modelo estimado o
ajustado,
Y=
β0+
β1X1+... ++
βkXk
llamado recta/plano/hiperplano de
regresión, que mejor se ajusta a la relación lineal entre
−→
X
e
Y
, e.d. el que
menor error produce al aproximar
Y
, siendo
ε=Y−
Y=Y−
β0−
β1X1−
... −
βkXk
los residuos ajustados
Observación
: Condiciones iniciales
Denotando por
Yi
la v.a.
Y
para
−→
X=−→
xi
,
i=1,..., n
, las condiciones iniciales
sobre
Y1, ..., Yn
para el desarrollo del análisis de regresión son:
Linealidad (media de
Y
lineal en
−→
X
, e.d. homogeneidad de residuos)
Homogeneidad de varianzas (igualdad de varianzas)
Incorrelación (aleatoriedad en la realización del experimento)
Normalidad (para las distribuciones exactas en el muestreo)
e.d.
Yi∼Nβ0+β1x1i+... +βkxki,σ
2⇔εi∼N0,σ
2
e independientes
Interpretación de las condiciones iniciales (regresión lineal simple)
