¡Descarga Polinomios de Taylor: Approximación de funciones mediante series - Prof. Martínez y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
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PÕvTÕTÕM SÜ!TÜM Ü T*vÕ!
Ï ü!ÕTTÕÜM vTÜvÜM n !uTM
La recta tangente txª (x) = f (xª) + f
′ (xª)(x − xª), un polinomio de orden Ï, aproxima linealmente a una funci´on
en un punto x = xª. La aproximacion´ es exacta en x = xª y ajustada en un entorno de x = xª.
Ejemplo Ï. Sea f (x) = cos x, donde x esta e´ n radianes. Es f´acil evaluar la tangente en x = ª, que da tª(x) = Ï. Es
instructivo comparar la funcion o´ riginal y la tangente.
Consideremos xª = ª. Ahora queremos hallar una aproximaci´on cuadra´tica , un polinomio de orden } P}(x), a una
funci´on f (x). Para hacerlo, necesitamos que coincidan los valores de la funcion´ , su primera y segunda derivada:
f (ª) = P}(ª), f ′(ª) = P }′(ª) y f ′′(ª) = P }′′ (ª). Sea P}(x) = cª + cÏx + c}x}. Entonces P }′(x) = cÏ + }c}x y
P }′′ (x) = }c}. Por lo tanto, debemos escoger los coeficientes tales que cª = f (ª), cÏ = f ′(ª) y c} = Ï } f ′′(ª). La
aproximaci´on cuadr´atica es por tanto
P}(x) = f (ª) + f
′ (ª)x +
Ï
f
′′ (ª)x
} .
Ejemplo }. (continuacion)´ Sea f (x) = cos x. La aproximaci´on cuadr´atica es P}(x) = Ï − (^) }Ï x}. Es instructivo
comparar la funcion o´ riginal con la tangente y esta aproximaci´on cuadr´atica.
La aproximaci´on cuadr´atica mejora a la lineal (o recta tangente) en un entorno de xª. Para mejorar la precision´ una
posible soluci´on es aproximar la funci´on f (x) for un polinomio de orden n, que denotamos Pn(x) = cª + cÏx +
c}x}^ + ⋯cn xn^ y se conoce como polinomio de Taylor de orden n.
} üÕvTÕTÕM Ü u*vÕ!
Los coeficientes del polinomio de Taylor se calculan imponiendo que el valor de la funci´on y sus n primeras deri-
vadas coincidan con los valores del polinomio y sus derivadas.
Tomemos n = k. Como antes, se debe cumplir que f (ª) = Pk(ª), f ′(ª) = P k′ (ª) = cÏ y f ′′(ª) = P k′′ (ª) = }c}.
Adem´as, f ′′′(ª) = P k′′′ (ª) = k ⋅ }ck. Por lo tanto, ck = (^) kÏ⋅} f ′′′(ª) y el polinomio de Taylor de orden k viene dado por
Pk(x) = f (ª) + f
′ (ª)x +
Ï
f
′′ (ª)x
}
Ï
C
f
′′′ (ª)x
k .
Si ahora tomamos n = , notaremos que los primeros k coeficientes no var´ıan y que c =
Ï ⋅k⋅} f^
()(ª) = Ï
} f^
En este punto conviene recordar la definicion´ de factorial de un nu´mero natural n. El factorial de un nu´mero
natural n se denota como n! y es el producto de todos los nu´meros naturales comprendidos entre Ï y n, es decir,
n! = Ï ⋅ } ⋅ k⋯n. Por convencion´ ª! = Ï. Es f´acil concluir que el coeficiente de xn, cn es cn = (^) nÏ! f (n)(ª).
El polinomio de Taylor de orden n, que escribimos Pn(x), viene dado por
Pn(x) = f (ª) + f
′ (ª)x +
Ï
f
′′ (ª)x
}
Ï
C
f
′′′ (ª)x
k
Ï
n!
f
(n) (ª)x
n .
Ejercicio k. Encontrar el polinomio de Taylor de orden 9 para la funcion´ cos x. Evaluar P 9 π k y comparar su valor
con el valor real de la funcion´ cos π k .
Ï
En general, estamos interesados en aproximar una funcion´ f (x) en xª ≠ ª. Si procedemos como antes, nos encon-
tramos con un problema en el primer paso, dado que evaluamos f (xª) = cª + cÏxª + ⋯cn x
n ª.^ ¿C´omo proceder?
Para obtener f (xª) = cª hay que hacer que los otros sumandos sean cero. Una opcion´ es considerar un polinomio
cª + cÏ(x − xª) + ⋯cn(x − xª)n, de modo que f (xª) = cª. Derivando el polinomio encontramos que f ′(xª) = cÏ.
Volviendo a derivar, hallamos f ′′(xª) = }c} y as´ı sucesivamente. El polinomio de Taylor de orden n en xª es
Pn,xª (x) = f (xª) + f ′(xª)(x − xª) +
Ï
f ′′(xª)(x − xª)}^ +
Ï
C
f ′′′(xª)(x − xª)k^ + ⋯ +
Ï
n!
f (n)(xª)(x − xª)n^.
Notemos que PÏ,xª is simplemente la recta tangente a f (x) en xª.
Para n ≥ Ï, tenemos que Pn,xª (x) = Pn−Ï,xª (x) + (^) nÏ! f (n)(xª)(x − xª)n.
Ejemplo . Encontrar el polinomio de Taylor de ´ordenes Ï a para la funci´on log x en xª = Ï. Dar las f´ormulas,
dibujar los polinomios y evaluar algunos valores, compar´andolos con la funci´on.
Ejemplo . Queremos calcular los polinomios de Taylor hasta orden k de f (x) = x cos(x) en xª = ª. Para hacerlo,
necesitamos las derivadas de f hasta orden k, y evaluarlas en x = ª.
f (x) = x cos(x) ⇒ f (ª) = ª
f ′(x) = cos(x) − x sin(x) ⇒ f ′(ª) = Ï
f ′′(x) = −} sin(x) − x cos(x) ⇒ f ′′(ª) = ª
f
′′′ (x) = −k cos(x) + x sin(x) ⇒ f
′′′ (ª) = −k
Por lo tanto,
- Pª,ª(x) = f (ª) = ª
- PÏ,ª(x) = Pª,ª(x) + f ′(ª) x = ª + Ï ⋅ x = x
- P},ª(x) = PÏ,ª(x) +
f ′′(ª) }! x
} (^) = x + ª }! x
} (^) = x
f ′′′(ª) k! x
k (^) = x + −k k! x
k (^) = x − xk }.
Ejercicio C. Sea f (x) = x}^ − 9 x + }. Hallar PÏ(x) y P}(x), as´ı como PÏ,Ï(x) y P},Ï(x).
Sea f (x) = x
k
} − x + Ï. Hallar PÏ(x), P}(x) y Pk(x), as´ı como PÏ,Ï(x), P},Ï(x) y Pk,Ï(x).
¿Qu´e conclusion´ se puede sacar de los valores de estos polinomios de Taylor?
Ejercicio 9. Usando las expansiones de Taylor de sin x y de cos x, justificar que limx→ª sinx^ x= Ï y limx→ª Ï−cxo}s x= Ï }.
k Ü!!Õ! Ü v* ü!ÕTTÕ üÕ! n üÕvTÕTÕ Ü u*vÕ!
Para cada n ∈ N, el residuo o el resto del polinomio de Taylor de orden n es la funci´on
Rn(x) = f (x) − Pn,xª (x).
Un resultado, tambi´en conocido como Teorema de Taylor nos da la llamada forma de Peano del residuo. Sea f
derivable n ∈ N veces en xª. Entonces,
Rn(x) = o((x − xª)
n ).
Hay otras maneras de expresar Rn(x), como por ejemplo la forma de Lagrange :
Rn(x) =
f (n+Ï)(ξ)
(n + Ï)!
(x − xª)
n+Ï ,
Para α ∈ R, los coeficientes binomiales del polinomio de Taylor de (Ï + x)α^ se calculan tomando
α
k
α(α − Ï)⋯(α − k + Ï)
k!
Observacion.´ El hecho de que f (x) = Pn,xª (x) + o((x − xª)
n ) quiere decir que
lim x→xª
f (x)
Pn,xª (x)
= lim x→xª
Pn,xª (x) + o((x − xª)n)
Pn,xª (x)
= lim x→xª
Ï +
o((x − xª)n)
Pn,xª (x)
= Ï + ª = Ï
por la definici´on de o((x − xª)
n ) y de Pn,xª (x). En definitiva, este c´alculo nos dice que
f (x) ∼ x→xª
Pn,xª (x)
para cualquier n ∈ N — un resultado muy importante que usaremos sobre todo para calcular l´ımites.
Ejemplo . Queremos calcular
lim x→ª
x}^ ex
cos(x) − Ï
que a priori presenta la forma de indeterminaci´on
ª ª.^ Usando^ que^ e
x ∼x→ª Ï + x y que cos(x) ∼x→ª Ï −
x} } ,^ tenemos
lim x→ª
x}^ ex
cos(x) − Ï
= lim x→ª
x}(Ï + x)
Ï −
x} } ^ −^ Ï^
= lim x→ª
x}^ + xk
−
x} }
(Ï) = lim x→ª
x}
−
x} }
(En (Ï) hemos usado que la suma de infinit´esimos es as´ıntotica al infinit´esimo de orden inferior.)
MÜ!TÜ Ü u*vÕ!
Conforme n aumenta, n! se hace cada vez ma´s grande. A la vez, el t´ermino (x − xª)
n crece siempre que Sx − xªS > Ï,
y tambi´en podr´ıa ocurrir que la derivada n-´esima aumentara con n. En general, es dif´ıcil saber qu´e factor domina.
Consideremos por ejemplo el polinomio de e
x
. Tomemos x = Ï y n = 9. El error cometido se puede acotar por
k ⋅ Ï
Ê Ê! =^9 .^ ⋅^ Ϫ
−. De hecho, para x fijo, si n aumenta, se puede demostrar queÏ
lim n−>∞
x
n
n!
lo cual implica que el error se hace cada vez m´as pequeno.˜ Un razonamiento similar se puede aplicar para el poli-
nomio de Taylor del seno o del coseno.
Si decimos que f (x)−Rn,xª (x) tiende a ª cuando n tiende a infinito, es porque estamos considerando una secuencia
de nu´meros, esencialmente una funci´on de los nu´meros naturales a los nu´meros reales. Cuando el l´ımite de la
secuencia es cero, f (x) se puede aproximar cada vez mejor por su polinomio de Taylor. Podemos considerar un
polinomio de “grado” infinito, la serie de Taylor Sxª (x), que viene dada por
S(x) = f (ª) + f
′ (ª)x +
Ï
f
′′ (ª)x
}
Ï
n!
f
(n) (ª)x
n
Observacion.´ Una serie de n´umeros es la suma infinita
S = aª + aÏ + a}⋯ +.
La suma S puede converger a un nu´mero real, la suma de la serie , o bien divergir a +∞ o −∞, o bien puede oscilar
entre dos o m´as valores.
Si S < +∞, entonces se tiene que cumplir que limn→∞ an = ª, pero no al contrario.
Ï (^) Aqu´ı el l´ımite es sobre los n´umeros naturales, no sobre los nu´meros reales. Sin embargo, un l´ımite de este tipo se puede encontrar
suponiendo que n es un n´umero real que tiende a infinito.
Ejemplo Ϫ. El comportamiento de la serie geome´trica de razon´ r ∈ R es
Ï + r + r}^ + ⋯ + rn^ + ⋯ =
Ï Ï−r si^ SrS^ <^ Ï +∞ si r ≥ Ï
∄ si r ≤ −Ï
Ejemplo ÏÏ. El comportamiento de la serie armoni´ ca generalizada , para p ∈ (ª, +∞), es
Ï +
Ï
}p^
Ï
np^
< +∞ si p > Ï
= +∞ si ª < p ≤ Ï
!* TÕ Ü ÕwÜ!$ÜT* Ü v* MÜ!TÜ Ü u*vÕ!
La serie de Taylor se escribe en general como
Sxª = aª + aÏ(x − xª) + a}(x − xª)
}
k
donde los coeficientes an incluyen el factorial y la derivada. Antes comentamos brevemente que una condici´on
necesaria, pero no suficiente, para que la serie converja es que limn→∞ an = ª. Una condicion´ suficiente es la
siguiente. La serie de Taylor converge a una funci´on de x para los valores tales que
lim n→∞
W
an+Ï(x − xª)n+Ï
an(x − xª)n^
W = lim n→∞
W
an+Ï
an
(x − xª)W < Ï.
Si el l´ımite es mayor que Ï, la serie diverge. Cuando el l´ımite es Ï, no podemos asegurar si la serie converge o no.
Trabajando la expresion´ dentro del l´ımite, podemos reescribir la condicion´ de la siguiente manera
S(x − xª)S lim n→∞
W
an+Ï
an
W < Ï
(Ï) ⇐⇒ S(x − xª)S <
Ï
limn→∞T^
an+Ï an
T
(}) ⇐⇒ −xª −
Ï
limn→∞T^
an+Ï an
T
< x < xª +
Ï
limn→∞T^
an+Ï an
T
donde primero sacamos el factor (x − xª), que no depende de n, fuera del l´ımite, en (Ï) pasamos el l´ımite al otro
lado del denominador y en (}) resolvemos la desigualdad para x.
El radio de convergencia de la serie de Taylor R viene dado por
R =
Ï
limn→∞T a an+Ï n
T
Ejemplo Ï}. Consideremos la serie
x
Ï ⋅ k
x}
} ⋅ k}^
xk
k ⋅ kk^
xn
n ⋅ kn^
Como an =
Ï nkn^ ,^ tenemos que
lim n→∞
W
an+Ï
an
W = lim n→∞
T
n
(n + Ï)k
T = lim n→∞
nkn
(n + Ï)kn+Ï^
Ï
k
y por lo tanto R = k. La serie converge para SxS < k y diverge para SxS > k.
Para la funcion´ exponencial, un c´alculo sencillo similar al anterior muestra que R = ∞, dado que el l´ımite es cero,
y por lo tanto la serie de Taylor converge a la funcion´ exponencial para cualquier nu´mero real. Un razonamiento
similar muestra que la serie del coseno y del seno convergen tambi´en para cualquier nu´mero real.
Por ´ultimo, tambi´en podemos obtener series de Taylor diferenciando e integrando t´ermino a t´ermino. Por ejemplo,
sea f (x) = (Ï − x)
−}
. Como tenemos que f (x) es la derivada de (Ï − x)
−Ï , podemos hallar su serie derivando la
correspondiente a la serie geom´etrica, obteniendo
Ï
(Ï − x)}^
= Ï + }x + kx
}
k
Como debe ser, la serie coincide con que vimos anteriormente. Adema´s, el radio de convergencia no var´ıa cuando
obtenemos una serie por derivaci´on o integracion´ t´ermino a te´rmino.
Problema Ï. Calcular los l´ımites siguientes.
(a) lim x→+∞
x}^ + x − x (b) lim x→−∞
x −
x}^ +
x
S√oluci´on. (a) Resolvemos este l´ımite en dos formas diferentes. En la primera forma, multiplicamos y dividimos por
x}^ + x + x para obtener
lim x→+∞
x}^ + x − x =
x}^ + x − x)(
x}^ + x + x √ x}^ + x + x
x}^ + x)}^ − x}) √ x}^ + x + x
un producto notable de la forma (a − b)(a + b) = a}^ − b}.
Adem´as, tenemos en cuenta que aunque en general (
x}^ + x)}^ = Sx}^ + xS, como es positivo ya que x → +∞,
tomamos Sx
}
}
- x. Simplificando, obtenemos
x
} (^) + x − x
} √ x}^ + x + x
x √ x}^ + x + x
pero para x → +∞ (^) √
x}^ + x + x ∼
x}^ + x = x + x = }x.
Finalmente, como x √ x}^ + x + x
x→+∞
x
}x
Ï
tenemos que
lim x→+∞
x}^ + x − x =
Ï
La segunda forma pasa por hacer un desarrollo de Taylor. Recordamos que si f (x) → x→xª
ª entonces (Ï+ f (x))α^ ∼ x→xª
Ï + α f (x). En nuestro caso y tomando en cuenta que SxS = x si x → ∞, tenemos por un lado que
x}^ + x =
x}(Ï +
Ï
x
x}
Ï +
Ï
x
= x Ï +
Ï
x
Ï } ,
y por otro que
Ï
x
x→+∞
ª ⇒ Ï +
Ï
x
Ï } ∼ x→+∞
Ï +
Ï
Ï
x
Combinando ambos hechos, tenemos
x}^ + x − x = x Ï +
Ï
x
Ï } − x ∼ x→+∞
x Ï +
Ï
}x
− x = ∼ x→+∞
x^ +^
Ï
−x =
Ï
Y por lo tanto
lim x→+∞
x}^ + x − x =
Ï
Observacion.´ Mientras la t´ecnica del desarrollo de Taylor funciona siempre en el caso de l´ımites como el que aca-
bamos de resolver (posiblemente con relaciones asinto´ticas de ´ordenes superiores) las multiplicaciones algebr´aicas
de resolver el l´ımite no siempre funcionan.
(b) De nuevo lo resolvemos de dos maneras diferentes. El primer m´etodo incluye un desarrollo de Taylor. Escribimos
x}^ + =
x}(Ï +
x}^
x}
Ï +
x}^
= −x
Ï +
x}^
donde hemos usado que
x}^ = SxS = −x si x → −∞. Ahora, tenemos que
x −
x}^ +
x
x − (−x
Ï +
x}^ )
x
x + x
Ï +
x}
x
x→−∞
x + x(Ï + Ï } ⋅
x}^ ) x
x(Ï^ +^ Ï^ +^
} x}^ )
x^
x}^
x→−∞
donde hemos usado el desarrollo de Taylor del apartado (a), y por lo tanto
lim x→−∞
x −
x}^ +
x
Por el m´etodo del producto notable, tenemos que
x −
x}^ +
x
x +
x}^ +
x +
x}^ +
x}^ + x
x}^ +
Como (
x}^ + )
} = Sx
}
}
- si x → −∞ seguimos teniendo el denominador una indeterminacion´ :
x → −∞ x
} (+∞)
x}^ + (+∞)
Entonces tenemos que usar el desarrollo de Taylor tambi´en en este caso:
x
}
x}^ + = x
}
x}^ Ï +
x}^
= x
}
x}
Ï +
x}^
= x
} − x
} Ï +
x}^
Ï } ,
donde hemos tenido en cuenta que
x}^ = SxS = −x cuando x → −∞. Y usando finalmente el desarrollo de Taylor,
tenemos
x
} − x
} Ï +
x}^
Ï } ∼ x→−∞
x
} − x
} Ï +
Ï
x}^
= (^) x
} − (^) x
} − (^) x
x
} =^ −},
y finalmente obtenemos el mismo resultado obtenido en el primer m´etodo
−
x}^ + x
x}^ +
x→−∞
Observacion.´ Recordar que
» [ f (x)]}^ =
f (x), si f (x) → +∞
− f (x), si f (x) → −∞.
Problema ÏC. Calculeu els l´ımits segu¨ents amb desenvolupaments de Taylor i comproveu que el resultat coincideix
amb els l´ımits del Tema }.
(a) lim x→ª
log(Ï + }x)
sin(kx)
(c) lim x→+∞
cosh
√ x}^ +Ï −x (^) (x) (e) lim x→+∞
x ⋅ log
x + k
x + Ï
(b) lim x→Ï
(x − Ï)}
ek(x−Ï)
} − Ï
(d) lim x→ª
log(cos(x))
x}^
(f) lim x→ª
(Ï + sin(x))
kx Ï−cos(x)
Ê
i fem servir el desenvolupament de Taylor per tal d’obtenir
x log Ï +
x + Ï
x→∞
x
x + Ï
x→∞
}x
x
Per a (f), com que el l´ımit ´es de la forma lim x→ª
f (x)g(x), passem a la forma exponencial
eg(x)^ log^ f^ (x)^ = e
kx Ï−cos x log(Ï+sin^ x)^ = eφ(x),
on φ(x) =
kx
Ï − cos x
log(Ï + sin x). A m´es, com que els desenvolupaments de Taylor ens donen
kx
Ï − cos x
x→ª
kx
Ï − (^) Ï + x }
C
x
i
log(Ï + sin x) ∼ x→ª
sin x ∼ x→ª
x,
trobem que ⇒ φ(x) ∼ x→ª
C x
x^ =^ C^ i per tant
e
φ(x) → x→ª
e
C = lim x→ª
(Ï + sin x)
kx Ï−cos x (^).
Ϫ
