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Examen de C·lculo - Convocatoria de Febrero (Tipo A)
Grados en IngenierÌa EPSE
Universidad Miguel Hern·ndez de Elche - Jueves 5 de Febrero de 2015
INSTRUCCIONES : Leer atentamente antes de empezar el examen.
El tiempo disponible es de tres horas.
Se deben realizar los ejercicios 1 y 2, y dos a elegir entre el 3, el 4 y el 5.
El examen punt˙a sobre 7 puntos correspondientes al 70% de la nota Önal de la asignatura. Para optar a aprobar la asignatura es necesario obtener en este examen al menos 3 puntos de los 7.
Ejercicio 1 (2 pts.): Tipo test; consta de cinco preguntas tipo test, cada una con tres opciones a elegir. Para cada pregunta hay una ˙nica opciÛn correcta. Se debe elegir una ˙nica opciÛn. Si la respuesta elegida es correcta suma 0.4 puntos. Si la respuesta es incorrecta resta 0.2 puntos. Las preguntas sin responder no suman ni restan.
Test 1) El lÌmite lim x! 0
x sen x ex^3 1
vale: 0
e ^1 =^2
Test 2) El conjunto A =
(x; y) 2 R^2 j x^2 y < x veriÖca:
f r (A) =
(x; y) 2 R^2 j x^2 = y = x A es compacto A es conexo
^ Test 3)^ Los valores mÌnimo y m·ximo absolutos de la funciÛn^ f^ (x; y) =^ x^2 +^ y^2 en el conjuto^ K^ = (x; y) 2 R^2 j x 2 ; y 32 ; x + y 2 son respectivamente:
p 2 y
2 y
2 y
Test 4) Sean f : R^2! R y g : R! R^2 dadas por f (x; y) = x^2 + y^2 , g (t) =
t^2 ; t^3
. La matriz Jacobiana de g f en (1; 0) vale:
Test 5) La serie
X+ 1
n=
xn n cumple que: Converge en [ 1 ; 1] Converge en [ 1 ; 1[ Converge en ] 1 ; 1]
Ejercicio 2 (2 pts): Sea f : R^2 ! R la funciÛn dada por
f (x; y) :=
xy^2 x^2 + y^4
si (x; y) 6 = (0; 0) 0 si (x; y) = (0; 0)
a) (1 pt.) En el punto (0; 0) se pide:
a1) (0.35 pt.) Estudiar la continuidad de f
a2) (0.35 pt.) Calcular las derivadas direccionales de f en la direcciÛn (u; v) 6 = (0; 0).
a3) (0.3 pt.) Estudiar la diferenciabilidad de f y, en caso de ser diferenciable, proporcionar la diferencial (o, si se preÖere, la matriz jacobiana).
b) (1 pt.) En el punto (2; 1) se pide:
b1) (0.3 pt.) Estudiar la continuidad de f
b2) (0.35 pt.) Calcular las derivadas direccionales de f en la direcciÛn (u; v) 6 = (0; 0).
b3) (0.35 pt.) Estudiar la diferenciabilidad de f y, en caso de ser diferenciable, proporcionar la diferencial (o, si se preÖere, la matriz jacobiana).
Elegir dos, y sÛlo dos, de los siguientes ejercicios:
Ejercicio 3 (1.5 pts): Sea la frontera del conjunto A =
(x; y) 2 R^2 : x^2 + y^2 2 ; x 1 orientada positivamente. Calcular la siguiente integral de lÌnea I
ydx + 2xdy
Ejercicio 4 (1.5 pts): Hallar y clasiÖcar en funciÛn del par·metro real a los puntos crÌticos de la funciÛn f (x; y) = x^3 ax^2 + y^2 Ayuda: Las soluciones de la ecuaciÛn x^3 + y^2 = 0 son de la forma
Ejercicio 5 (1.5 pts): Dada la ecuaciÛn xey^ + zex^ yz = 0, se pide: a) (0.5 pt.) Comprobar que la ecuaciÛn deÖne a la variable x como funciÛn implÌcita de (y; z) en un entorno de (x; y; z) = (0; 0 ; 0) :
b) (1 pt.) Calcular @x @y
(0; 0) y @x @z
Ejercicio 2 (2 pts): Sea f : R^2 ! R la funciÛn dada por
f (x; y) :=
xy^2 x^2 + y^4
si (x; y) 6 = (0; 0) 0 si (x; y) = (0; 0)
a) (1 pt.) En el punto (0; 0) se pide:
a1) (0.35 pt.) Estudiar la continuidad de f
a2) (0.35 pt.) Calcular las derivadas direccionales de f en la direcciÛn (u; v) 6 = (0; 0).
a3) (0.3 pt.) Estudiar la diferenciabilidad de f y, en caso de ser diferenciable, proporcionar la diferencial (o, si se preÖere, la matriz jacobiana).
b) (1 pt.) En el punto (2; 1) se pide:
b1) (0.3 pt.) Estudiar la continuidad de f
b2) (0.35 pt.) Calcular las derivadas direccionales de f en la direcciÛn (u; v) 6 = (0; 0).
b3) (0.35 pt.) Estudiar la diferenciabilidad de f y, en caso de ser diferenciable, proporcionar la diferencial (o, si se preÖere, la matriz jacobiana).
Elegir dos, y sÛlo dos, de los siguientes ejercicios:
Ejercicio 3 (1.5 pts): Sea la frontera del conjunto A =
(x; y) 2 R^2 : x^2 + y^2 2 ; x 1 orientada positivamente. Calcular la siguiente integral de lÌnea I
ydx + 2xdy
Ejercicio 4 (1.5 pts): Hallar y clasiÖcar en funciÛn del par·metro real a los puntos crÌticos de la funciÛn f (x; y) = x^3 ax^2 + y^2 Ayuda: Las soluciones de la ecuaciÛn x^3 + y^2 = 0 son de la forma
Ejercicio 5 (1.5 pts): Dada la ecuaciÛn xey^ + zex^ yz = 0, se pide: a) (0.5 pt.) Comprobar que la ecuaciÛn deÖne a la variable x como funciÛn implÌcita de (y; z) en un entorno de (x; y; z) = (0; 0 ; 0) :
b) (1 pt.) Calcular
@x @y
(0; 0) y
@x @z
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Examen de C·lculo - Convocatoria de Febrero (Tipo C)
Grados en IngenierÌa EPSE
Universidad Miguel Hern·ndez de Elche - Jueves 5 de Febrero de 2015
INSTRUCCIONES : Leer atentamente antes de empezar el examen.
El tiempo disponible es de tres horas.
Se deben realizar los ejercicios 1 y 2, y dos a elegir entre el 3, el 4 y el 5.
El examen punt˙a sobre 7 puntos correspondientes al 70% de la nota Önal de la asignatura. Para optar a aprobar la asignatura es necesario obtener en este examen al menos 3 puntos de los 7.
Ejercicio 1 (2 pts.): Tipo test; consta de cinco preguntas tipo test, cada una con tres opciones a elegir. Para cada pregunta hay una ˙nica opciÛn correcta. Se debe elegir una ˙nica opciÛn. Si la respuesta elegida es correcta suma 0.4 puntos. Si la respuesta es incorrecta resta 0.2 puntos. Las preguntas sin responder no suman ni restan.
Test 1) Sean f : R^2! R y g : R! R^2 dadas por f (x; y) = x^2 + y^2 , g (t) =
t^2 ; t^3
. La matriz Jacobiana de g f en (2; 0) vale:
Test 2) La serie
X+ 1
n=
( 1)nxn n cumple que: Converge en [ 1 ; 1] Converge en [ 1 ; 1[ Converge en ] 1 ; 1]
Test 3) El lÌmite lim x! 0
sen x x ex^2 1
vale: 0
^ Test 4)^ Los valores mÌnimo y m·ximo absolutos de la funciÛn^ f^ (x; y) =^ x^2 +^ y^2 en el conjuto^ K^ =
(x; y) 2 R^2 j x 2 ; y
; x + y
son respectivamente:
y
p 5 2
y
p 5
y 4
Test 5) El conjunto A =
(x; y) 2 R^2 j 1 x^2 + y^2 < 2 veriÖca: A es conexo (0; 0) 2 int (A) (1; 1) no es punto de acumulaciÛn de A
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Examen de C·lculo - Convocatoria de Febrero (Tipo D)
Grados en IngenierÌa EPSE
Universidad Miguel Hern·ndez de Elche - Jueves 5 de Febrero de 2015
INSTRUCCIONES : Leer atentamente antes de empezar el examen.
El tiempo disponible es de tres horas.
Se deben realizar los ejercicios 1 y 2, y dos a elegir entre el 3, el 4 y el 5.
El examen punt˙a sobre 7 puntos correspondientes al 70% de la nota Önal de la asignatura. Para optar a aprobar la asignatura es necesario obtener en este examen al menos 3 puntos de los 7.
Ejercicio 1 (2 pts.): Tipo test; consta de cinco preguntas tipo test, cada una con tres opciones a elegir. Para cada pregunta hay una ˙nica opciÛn correcta. Se debe elegir una ˙nica opciÛn. Si la respuesta elegida es correcta suma 0.4 puntos. Si la respuesta es incorrecta resta 0.2 puntos. Las preguntas sin responder no suman ni restan.
Test 1) El conjunto A =
(x; y) 2 R^2 j 0 < x^2 + y^2 1 veriÖca: A es cerrado A es acotado f r (A) es conexa
Test 2) Sean f : R^2! R y g : R! R^2 dadas por f (x; y) = x^2 + y^2 , g (t) =
t^2 ; t^3
. La matriz Jacobiana de g f en ( 1 ; 1) vale:
Test 3) La serie
X+ 1
n=
x^2 n n cumple que: Converge en ] 1 ; 1[ Converge en [ 1 ; 1[ Converge en ] 1 ; 1]
Test 4) El lÌmite lim x! 0
1 ex 3
x sen x
vale:
e^3 0 6
^ Test 5)^ Los valores mÌnimo y m·ximo absolutos de la funciÛn^ f^ (x; y) =^ x^2 +^ y^2 en el conjuto^ K^ = (x; y) 2 R^2 j x 2 ; y 1 ; x + y 1 son respectivamente:
p 2 y
p 17 1 y 5
y 5
Ejercicio 2 (2 pts): Sea f : R^2 ! R la funciÛn dada por
f (x; y) :=
xy^2 x^2 + y^4
si (x; y) 6 = (0; 0) 0 si (x; y) = (0; 0)
a) (1 pt.) En el punto (0; 0) se pide:
a1) (0.35 pt.) Estudiar la continuidad de f
a2) (0.35 pt.) Calcular las derivadas direccionales de f en la direcciÛn (u; v) 6 = (0; 0).
a3) (0.3 pt.) Estudiar la diferenciabilidad de f y, en caso de ser diferenciable, proporcionar la diferencial (o, si se preÖere, la matriz jacobiana).
b) (1 pt.) En el punto (2; 1) se pide:
b1) (0.3 pt.) Estudiar la continuidad de f
b2) (0.35 pt.) Calcular las derivadas direccionales de f en la direcciÛn (u; v) 6 = (0; 0).
b3) (0.35 pt.) Estudiar la diferenciabilidad de f y, en caso de ser diferenciable, proporcionar la diferencial (o, si se preÖere, la matriz jacobiana).
Elegir dos, y sÛlo dos, de los siguientes ejercicios:
Ejercicio 3 (1.5 pts): Sea la frontera del conjunto A =
(x; y) 2 R^2 : x^2 + y^2 2 ; x 1 orientada positivamente. Calcular la siguiente integral de lÌnea I
ydx + 2xdy
Ejercicio 4 (1.5 pts): Hallar y clasiÖcar en funciÛn del par·metro real a los puntos crÌticos de la funciÛn f (x; y) = x^3 ax^2 + y^2 Ayuda: Las soluciones de la ecuaciÛn x^3 + y^2 = 0 son de la forma
Ejercicio 5 (1.5 pts): Dada la ecuaciÛn xey^ + zex^ yz = 0, se pide: a) (0.5 pt.) Comprobar que la ecuaciÛn deÖne a la variable x como funciÛn implÌcita de (y; z) en un entorno de (x; y; z) = (0; 0 ; 0) :
b) (1 pt.) Calcular
@x @y
(0; 0) y
@x @z
